Признаки равенства треугольников

Два треугольника равны, если выполняется одно из следующих условий.

Первый признак равенства треугольников

Конечно, конгруэнтность треугольников всегда можно доказать, наложив один треугольник на другой. Но видите ли, это не серьезно. Что можно навязывать, когда есть три теоремы и их можно доказать.

Давайте рассмотрим три признака равенства в треугольниках.

Теорема 1. Подобие треугольников по двум сторонам и углу между ними.

Если две стороны и угол между ними в треугольнике соответственно равны двум сторонам и углу между ними в другом треугольнике, то такие треугольники равны.

Даны два треугольника △ABC и △A1B1C1, где AC = A1C1, AB = A1B1, ∠A = ∠A1.

Докажите, что △ABC = △A1B1C1.

Доказательство:

Когда △A1B1C1 накладывается на △ABC, вершина A1 выравнивается с вершиной A, и сторона A1B1 накладывается на сторону AB, а AC на сторону A1C1.

Сторона A1B1 лежит на одной линии со стороной AB, вершина B совпадает с вершиной B1, сторона A1C1 лежит на одной линии со стороной AC, вершина C совпадает с вершиной C1.

Итак, это комбинация углов B и B1, C и C1.

B1C1 = BC, поэтому △ABC соответствует △A1B1C, поэтому △ABC = △A1B1C1.

Теорема доказана.

Важно! Первый знак используется для доказательства второго и третьего признаков конгруэнтности в треугольниках.

Читайте также: Формулы степеней и корней

Второй признак равенства треугольников

Теорема 2. Равенство треугольников по стороне и двум прилежащим к ней углам.

Если сторона и два смежных угла треугольника соответственно равны стороне и двум смежным углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Даны два треугольника △ABC и △A1B1C1, для которых:
АС = А1С1, ∠А = ∠А1, ∠С = ∠С1.

Докажите, что △ABC = △A1B1C1.

Доказательство:

Накладывая △ABC на △A1B1C1, мы соединяем вершину A с вершиной A1, вершины B и B1 находятся по одну сторону от A1C1.

Тогда AC совпадает с A1C1, вершина C совпадает с C1, так как мы знаем, что AC = A1C1.

AB перекрывает A1B1, потому что мы знаем, что ∠A = ∠A1.

CB перекрывает C1B1, потому что мы знаем, что ∠C = ∠C1.

Вершина B совпадает с вершиной B1.

Если AB сочетается с A1B1, то BC объединяется с B1C1, затем △ABC объединяется с △A1B1C1, поэтому △ABC = △A1B1C1 .

Теорема доказана.

Третий признак равенства треугольников

Теорема 3. Подобие треугольников по трем сторонам.

Если три стороны треугольника равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Даны два треугольника △ABC и △A1B1C1, для которых:
АС=А1С1,
АВ=А1В1,
СВ=С1В1.

Докажите, что △ABC = △A1B1C1.

Докажите 3 признака равенства треугольников:

Применим △ABC к △A1B1C1 так, чтобы вершина A совпадала с вершиной A1, вершина B совпадала с вершиной B1, вершина C и вершина C1 лежали по разные стороны от прямой A1B1.

AC = A1C1, BC = B1C1, тогда △A1C1C и △B1C1C равнобедренные.
∠1=∠2, ∠3=∠4 (по свойству равнобедренного треугольника), поэтому
∠A1СB1 = ∠A1C1B1.
АС=А1С1, ВС=В1С1.
∠C = ∠C1, тогда △ABC = △A1B1C1 (после первого критерия подобия треугольника).

Теорема доказана.

Помимо трех основных теорем, запомните еще несколько признаков подобия треугольников.

Подобие треугольников можно определить не только по сторонам и углам, но и по высоте, медиане и биссектрисе.

Если угол, сторона, противолежащая этому углу, и высота, опирающаяся на другую сторону, треугольника соответственно равны углу, стороне и высоте другого треугольника, то такие треугольники конгруэнтны.
Если две стороны и медиана между ними в треугольнике соответственно равны двум сторонам и медиане другого треугольника, то такие треугольники равны.
Если сторона и две медианы, проведенные к двум другим сторонам треугольника, соответственно равны стороне и двум медианам другого треугольника, то такие треугольники также конгруэнтны.
Если две стороны и биссектриса, заключенная между ними в треугольнике, равны соответственно двум сторонам и биссектрисе другого треугольника — вы уже сами догадались: эти ребята равны.
Два треугольника конгруэнтны, если сторона, медиана и высота, проведенные к другой стороне одного треугольника, соответственно равны стороне, медиане и высоте другого треугольника.

Как видите, доказать подобие треугольников можно многими признаками и десятком способов. Три признака подобия треугольников являются наиболее важными. Все остальные способы также стоит запомнить, ведь треугольник – это всего лишь, казалось бы, простая фигура.

Доказательство

Рассмотрим треугольники ABC и A1B1C1, где AB = A1B1, AC = A1C1, ∠ A = ∠ A1.

Докажем, что ΔABC = ΔA1B1C1.

Так как ∠A=∠A1, то треугольник ABC можно наложить на треугольник A1B1C1 так, чтобы вершина A совпадала с вершиной A1, а стороны AB и AC перекрывали лучи A1B1 и A1C1 соответственно.

Так как АВ=А1В1, АС=А1С1, то сторона АВ совмещена со стороной А1В1, а сторона АС совмещена со стороной А1С1; в частности точки B и B1, C и C1 совпадут.

Следовательно, стороны BC и B1C1 будут объединены. Итак, треугольники ABC и A1B1C1 полностью равны, а значит, подобны.

Доказанная теорема выражает признак (подобие треугольников по двум сторонам и углу между ними), из которого можно сделать вывод, что треугольники подобны. Его называют первым признаком равенства треугольников.

Как запомнить признаки равенства треугольников?

Чтобы запомнить знаки равенства треугольников, вы можете использовать мнемоническое правило, используя аналогичные элементы для определенного знака.

Задачи и решения

Упражнение 1. На сторонах угла CAD отмечены точки B и E так, что точка B лежит на отрезке AC, а точка E лежит на отрезке AD, причем AC=AD и AB=AE. Докажите, что ∠CBD=∠DEC (рис.9).

Докажите, что треугольники AC=AD, AE=AB, ∠CAD являются общими для треугольников CAE и DAB. Тогда по первому критерию подобия треугольников (теорема 1) ⊿ACE=⊿ADB. Следовательно, ∠DBA=∠AEC. Поскольку углы CBD и DBA смежные, CBD=180°−∠DBA. Соответствует CED=180°-∠AEC. То есть ∠CBD=∠DEC. Конец доказательств.

Упражнение 2. По рисунку 10 докажите, что OP=OT, ∠P=∠T

Доказательство.OC=OB, ∠TCO=∠PBO=90°. Углы TOC и POB вертикальны (следовательно, равны), поэтому, повторяя тест подобия треугольников (теорема 2), ⊿TCO=⊿PBO. Конец доказательств.

Альтернативные признаки равенства треугольников

Признак равенства треугольников по двум сторонам и противолежащему углу

Если две стороны и угол, противолежащий одной из этих сторон в треугольнике, соответственно равны двум сторонам и углу в другом треугольнике, а сторона, противолежащая углу, не меньше другой из этих сторон, то такие треугольники равны.

Признак равенства треугольников по двум сторонам и медиане

Если две стороны и медиана, проведенные из общей вершины этих сторон в одном треугольнике, соответственно равны двум сторонам и медиане, проведенной из общей вершины этих сторон в другом треугольнике, то такие треугольники равны.

Признак равенства треугольников по двум сторонам и биссектрисе

Если две стороны и биссектриса, проведенная из общей вершины к этим сторонам в одном треугольнике, соответственно равны двум сторонам и биссектрисе, проведенной из общей вершины к этим сторонам в другом треугольнике, то такие треугольники равны.

Признак равенства треугольников по двум сторонам и высоте

Если две стороны и высота, проведенные из общей вершины этих сторон в треугольнике, соответственно равны двум сторонам и высоте, проведенной из общей вершины этих сторон в другом треугольнике, то такие треугольники равны.

Признак равенства треугольников по стороне, прилежащему углу и высоте к этой стороне

Если сторона, прилежащий к ней угол и высота, проведенная к этой стороне треугольника, соответственно равны стороне, прилежащему к ней углу и высоте, проведенной к этой стороне, другого треугольника, то такие треугольники равны.