- Свойства квадрата
- Признаки квадрата
- Формула нахождения площади квадрата
- Если известна длина стороны
- Если нам дана диагональ
- Если известен радиус вписанной окружности
- Если у нас есть радиус описанной окружности
- Если есть периметр
- Формула площади квадрата через сторону
- Формула площади квадрата через диагональ
- Формула площади квадрата через радиус вписанной окружности
- Формула площади квадрата через радиус описанной окружности
- Формула площади квадрата через периметр
- Примеры задач на нахождение площади квадрата
Свойства квадрата
- Длина всех сторон квадрата равна.
- Все углы квадрата прямые.
- Диагонали квадрата равны.
- Диагонали пересекаются под прямым углом.
- Диагонали квадрата являются биссектрисами угла.
- Диагонали квадрата делятся точкой пересечения пополам.
Указанные свойства показаны на рисунках ниже:
Признаки квадрата
Нарисуйте 1. Если все стороны четырехугольника равны и один из углов четырехугольника прямой, то этот четырехугольник является четырехугольником.
Доказательство. По условию, в четырехугольнике противоположные стороны равны, то этот четырехугольник является параллелограммом (признак 2 статьи Параллелограмм). В параллелограмме противоположные углы равны. Следовательно, против прямого угла лежит прямой угол. Тогда сумма оставшихся двух углов равна: 360°-90°-90°=180°, но так как они тоже противоположные углы, то они тоже равны и каждый из них равен 90°. Мы нашли, что все углы четырехугольника прямые, и согласно определению 1 этот четырехугольник является четырехугольником.
Нарисуйте 2. Если диагонали квадрата равны, перпендикулярны и точка пересечения делится пополам, то такой квадрат является квадратом (рис. 5).
Доказательство. Пусть диагонали квадрата ABCD пересекаются в точке O и пусть
(10) |
Так как AD и BC перпендикулярны, то есть
(одиннадцать) |
Из (10) и (11) следует, что треугольники OAB, OBD, ODC, OCA равны (с учетом двух сторон и угла между ними (см статью на стр. Треугольники. Признаки равенства треугольников)). Затем
(12) |
Эти треугольники также равнобедренные. Затем
(1. 3) |
Из (13) следует, что
(14) |
Уравнения (12) и (14) показывают, что квадрат ABCD является квадратом (определение 1).
Читайте также: Самые большие дикие кошки
Формула нахождения площади квадрата
Квадрат — это форма, которая является частным случаем прямоугольника, поэтому можно увидеть сходство некоторых алгоритмов. Метод расчета всегда зависит от исходных данных. Чтобы узнать площадь квадрата, нужно знать специальные формулы, рассмотрим пять из них.
Если известна длина стороны
Умножаем на это же число или возводим в квадрат.
S = a × a = a2, где S — площадь, а — сторона.
Эта формула была пройдена в 3-м классе. Остальные формулы знать пока не нужно третьеклассникам, а вот восьмиклассникам они пригодятся.
Если нам дана диагональ
Возводим в квадрат и делим на два.
S = d2 : 2, где d — диагональ.
Если известен радиус вписанной окружности
Умножаем квадрат на четыре.
S = 4 × r2, где r — радиус вписанной окружности.
Если у нас есть радиус описанной окружности
Возведем в квадрат и умножим на два.
S = 2 × R2, где R — радиус описанной окружности.
У нас есть курсы по математике для школьников с 1 по 11 класс — запишитесь прямо сейчас! |
Если есть периметр
Нам нужно возвести это в квадрат и разделить на 16.
S = P2 : 16, где P — длина окружности.
Периметр любого квадрата равен сумме длин всех его сторон.
Важно! Задачу нельзя решить, если длина и ширина даны в разных единицах измерения. Для правильного решения переведите все данные в одну единицу измерения и все будет хорошо.
Популярные единицы площади:
- квадратный миллиметр (мм2);
- квадратный сантиметр (см2);
- квадратный дециметр (дм2);
- квадратные метры (м2);
- квадратные километры (км2);
- гектаров (га).
Формула площади квадрата через сторону
S = а ^ 2
а — сторона квадрата
Формула площади квадрата через диагональ
S=dfrac{d^2}{2}
г — диагональ квадрата
Формула площади квадрата через радиус вписанной окружности
S = 4r ^ 2
r — радиус вписанной окружности
Формула площади квадрата через радиус описанной окружности
С = 2R ^ 2
R — радиус описанной окружности
Формула площади квадрата через периметр
S = dfrac{P^2}{16}
P — квадратный периметр
Примеры задач на нахождение площади квадрата
Задание 1
Найдите площадь квадрата, если его диагональ равна 1.
Решение
Для решения задачи воспользуемся формулой.
S = dfrac{d^2}{2} = dfrac{1^2}{2} = dfrac{1}{2} = 0,5 :см^2
Ответ: 0,5 см²
Проверим ответ с помощью калькулятора .
Задача 2
Найдите площадь квадрата, описанного около окружности радиусом 83.
Решение
Для решения этой задачи воспользуемся формулой площади квадрата через радиус описанной окружности.
S = 2R^2 = 2 cdot 83^2 = 2 cdot 6889 = 13778 :см^2
Ответ: 13778 см²
Проверьте свой ответ с помощью калькулятора .
Задача 3
Найдите площадь квадрата, сторона которого равна 8 см.
Решение
Воспользуемся первой формулой.
S = а ^ 2 = 8 ^ 2 = 64 : см ^ 2
Ответ: 64 см²
Проверим результат на калькуляторе .
Задача 4
Найдите площадь квадрата, периметр которого равен 456 см.
Решение
Воспользуйтесь формулой площади квадрата через его периметр.
S = dfrac{P^2}{16} = dfrac{456^2}{16} = dfrac{456 cdot cancel{456}^{ : 57}}{cancel{16}^{ : 2}} = dfrac{57 cdot cancel{456}^{ : 228}}{cancel{2}^{ : 1}} = 57 cdot 228 = 12996 : см^2
Ответ: 12996 см²
Экзамен .
Упражнение 5
Найдите площадь квадрата со стороной 15 см.
Решение
Воспользуемся формулой площади квадрата через сторону.
S = а ^2 = 15 ^2 = 225 : см^2
Ответ: 225 см²