Алгебраическая прогрессия

Вычисления

Определение числовой последовательности

Числовая последовательность — это набор чисел, каждому из которых можно присвоить уникальный номер.

Последовательности могут быть указаны различными способами:

  1. Устно — когда правило последовательности объясняется словами:»Последовательность простых чисел: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23…»
  2. Аналитический — когда указана формула его n-го члена: yn = f(n).Последовательность yn = C называется постоянной или стационарной.
  3. Рекурсивный — когда указано правило, помогающее вычислить n-й член последовательности, если известны ее предыдущие члены.Последовательность Фибоначчи — когда каждое следующее число равно сумме двух предыдущих чисел: ан + 1 = ан + ан-1.

    Пример: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55…

  4. Графический — когда график последовательности состоит из точек с абсциссами
    1, 2, 3, 4…
    прогрессия

Поскольку алгебраическая числовая последовательность является частным случаем числовой функции, для последовательностей также рассматривается ряд свойств функций.

Свойства числовых последовательностей:

  1. Последовательность {yn} называется возрастающей, если каждый ее член, кроме первого, больше предыдущего:y1 < y2 < y3 < … < yn < yn+1 < …

    Читайте также: Что измеряют в герцах и гигагерцах герц частота Естественные науки

  2. Последовательность {yn} называется убывающей, если каждый ее член, кроме первого, меньше предыдущего:y1 > y2 > y3 > … > yn > yn+1 > …

    возрастающие и убывающие последовательности называются монотонными последовательностями.

  3. Последовательность можно назвать периодической, если существует натуральное число T такое, что, начиная с некоторого N, выполняется следующее равенство: yn = yn+T. Число Т — это длина периода.

Запишем цифры, которые появились первыми: 7, 19, 0, -1, -2, -11, 0… Сколько бы цифр вы ни написали, всегда можно сказать, какая из них первая, какая вторая, и так до последнего. То есть мы можем их пронумеровать.

Пример числовой последовательности выглядит так:

таблица прогрессии

В такой математической последовательности каждому числу соответствует одно число. Это означает, что в последовательности не может быть первых двух чисел и т д. Первое число (как и все остальные) всегда равно единице.

N-й член алгебраической последовательности — это число с порядковым номером n.

Всю последовательность можно обозначить любой буквой латинского алфавита, например а.Каждый член этой последовательности является одной и той же буквой с индексом, равным номеру этого члена: а1, а2,…, а10.., ан.

таблица прогрессии

N-й член последовательности может быть задан формулой. Например:

  • Формула an = 3n − 5 определяет последовательность: −2, 1, 4, 7, 10…
  • Формула an = 1 : (n + 2) дает последовательность: 1/3, 1/4, 1/5, 1/6…

Что представляет собой арифметическая прогрессия?

d92500f344db29b66224a921b95afd16.jpg

Следует сразу сказать, что алгебраическую прогрессию часто называют арифметической, так как ее свойства изучает раздел математики — арифметика.

Эта прогрессия представляет собой последовательность чисел, в которой каждый следующий член отличается от предыдущего на постоянное число. Это называется разностью алгебраической прогрессии. Для определенности обозначим его латинской буквой d.

Примером такой последовательности может быть следующая: 3, 5, 7, 9, 11…, здесь вы видите, что число 5 больше, чем 3 раза по 2, 7 также больше, чем 5 раз по 2, и так далее на. Таким образом, в показанном примере d = 5-3 = 7-5 = 9-7 = 11-9 = 2.

Свойство арифметической прогрессии

свойство арифметической прогрессии

Переведем с языка формул на русский язык: каждый член арифметической прогрессии, из другого, равен среднему арифметическому двух членов рядом с ним. Что как раз и объясняет название «арифметическая» прогрессия.

Какие бывают арифметические прогрессии?

Характер этих упорядоченных последовательностей чисел во многом определяется знаком числа D. Существуют следующие типы алгебраических прогрессий:

  • увеличивается, когда d положительно (d>0);
  • постоянный при d = 0;
  • уменьшается, когда d отрицательно (d<0).

Пример в предыдущем разделе показывает возрастающую прогрессию. Примером убывающей последовательности является следующая последовательность чисел: 10, 5, 0, -5, -10, -15 . Постоянная прогрессия, которая следует из определения, представляет собой набор одинаковых чисел.

n-й член прогрессии

c3a14c1b8053e6ac37328e87cc391a38.jpg

Благодаря тому, что каждое последующее число в рассматриваемой прогрессии отличается на константу d от предыдущего, легко определяется ее n-й член. Для этого нужно знать не только d, но и a1 — первый член прогрессии. Используя рекурсивный подход, можно получить формулу алгебраической прогрессии для нахождения n-го члена. Это выглядит так: an = a1 + (n-1)*d. Эта формула довольно проста, и вы можете понять ее на интуитивном уровне.

Это также не сложно в использовании. Например, в показанной выше прогрессии (d=2, a1=3) давайте определим ее 35 членов. По формуле это будет равно: а35 = 3 + (35-1)*2 = 71.

Формула для суммы

13973d938533328489e8c500b24487d4.jpg

При задании арифметической прогрессии сумма первых n членов является общей проблемой, наряду с определением значения n-го члена. Формула суммы алгебраической прогрессии записывается так: ∑n1 = n*(a1+an)/2, здесь символ ∑n1 указывает на то, что добавлена ​​сумма от 1 до n членов.

Приведенное выше выражение можно получить, прибегая к свойствам той же рекурсии, но есть более простой способ доказать его справедливость. Запишем первые 2 и последние 2 члена этой суммы, выразим их в числах a1, an и d, и получим: a1, a1+d,…,and-d, an. Теперь заметьте, что если вы прибавите первое слагаемое к последнему, оно будет в точности равно сумме второго и предпоследнего слагаемых, то есть a1 + an. Аналогичным образом можно показать, что та же сумма может быть получена сложением третьего и предпоследнего слагаемых и т.д. При четном числе чисел в последовательности мы получаем n/2 сумм, каждая из которых равна a1+an. То есть мы получаем приведенную выше формулу алгебраической прогрессии суммы: ∑n1 = n*(a1+an)/2.

Для нечетного числа членов n аналогичная формула получается, если следовать приведенным выше рассуждениям. Просто не забудьте добавить оставшуюся ссылку, которая находится в середине прогрессии.

Мы покажем, как использовать приведенную выше формулу, на примере представленной выше простой прогрессии (3, 5, 7, 9, 11…). Например, вам нужно определить сумму первых 15 членов. Во-первых, давайте определим a15. Используя формулу для n-го члена (см предыдущий раздел), мы получаем: a15 = a1 + (n-1)*d = 3 + (15-1)*2 = 31. Теперь мы можем использовать формулу для суммы алгебраическая прогрессия: ∑151 = 15 * (3 + 31) / 2 = 255.

8d77cb2601fe124b4336163f0b105086.jpg

Интересно привести интересный исторический факт. Формулу суммы арифметической прогрессии впервые получил Карл Гаусс (известный немецкий математик 18 века). Когда ему было всего 10 лет, учитель задал задачу найти сумму чисел от 1 до 100. Говорят, что маленький Гаусс решил эту задачу за несколько секунд, заметив, что, складывая числа попарно с начала и В конце последовательности всегда можно получить 101, а так как таких сумм 50, он быстро дал ответ: 50 * 101 = 5050.

Символ суммирования

В математике для записи сумм, содержащих много слагаемых, или в случае, когда количество слагаемых обозначается буквой, используются следующие обозначения: img1568-1.png

который расшифровывается как

img1569-1.png (14.1)

 

где img1570-1.png
— функция целочисленного аргумента. Здесь символ img1571-1.png
(греческая заглавная буква «сигма») означает суммирование. Запись img1572-1.png
в нижней части символа суммирования показано, что переменная, меняющая свое значение от термина к термину, обозначается буквой img938-1.png
и что начальное значение этой переменной равно img1469-1.png
. Запись вверху указывает последнее значение, которое принимает переменная img938-1.png
.

Пример 14.2. Подсчитаем несколько сумм:

1) img1573-1.png
.

2) img1574-1.png
. Поскольку правая часть, сумма геометрической прогрессии с первым членом равна img1575-1.png
а знаменатель прогрессии равен img1469-1.png
, то эту сумму легко найти

img1576-1.png

3) img1577-1.png
.

4) img1578-1.png
.

5) img1579-1.png
.

В прогрессии линейной алгебры сумма формы img1583-1.png
. Здесь индексированная переменная рассматривается как функция индекса. Поэтому

img1584-1.png

Используя знак суммы, формулу (10.1) для скалярного произведения векторов можно записать следующим образом:

img1585-1.png (14.2)

 

где для трехмерного пространства img1586-1.png
, для самолета img194-1.png
.

Для единообразия будем считать, что

img1587-1.png

и говорят, что это сумма, содержащая один член.

Примечание 14.1 Буква под знаком суммы (индекс суммирования) не влияет на результат суммирования. Важно только то, как суммарное значение зависит от этого показателя. Например, img1588.png

Или

img1589.png

без буквы справа img938-1.png
нет, так результат img938-1.png
не является зависимым.

Предложение 14.1. Множитель, не зависящий от индекса суммирования, можно вынести из-под знака суммы: img1590.png

Доказательство этого утверждения предоставляется читателю.

Предложение 14.2

img1591.png (14.3)

 

Это предложение является частным случаем следующего предложения.

Предложение 14.3

img1592.png (14.4)

 

Доказательство. Позволять

img1593.png

Затем

img1594.png

Раскроем скобки в правой части этого равенства. Получить сумму элементов img1595-1.png
для всех допустимых значений индексов суммирования. Мы группируем термы по-другому, а именно сначала собираем все термы, у которых первый индекс равен 1, затем те, у которых первый индекс равен 2, и так далее

img1596.png

Заменители в этом равенстве img532-1.png
в левой части выражения через знаки суммирования получаем формулу (14.4).

Примечание 14.2. Двойные суммы из равенства (14.4) можно записать без скобок img1597-1.png

Необходимо помнить, что двойная сумма означает сумму элементов img1595-1.png
для всех допустимых значений индекса суммирования. По той же причине, если есть запись, содержащая три и более символа суммы подряд, порядок этих символов может быть изменен произвольно.

Если пределы изменения всех суммирующих показателей одинаковы, то можно использовать регистрацию вида

img1598.png

Иногда под символом суммы указывают дополнительные условия, накладываемые на индексы суммы. Так что запись

img1599.png

означает, что в сумму не входят значения img1600.png
, img1601.png
,…, img1602.png
, это img1520-1.png
с одинаковыми индексами.

Иногда в итоговой записи не указываются пределы изменения показателей, например

img1603.png

Такая запись используется, когда значения, которые могут принимать индексы, очевидны из предыдущего текста или будут указаны сразу после окончания формулы.

Свойства алгебраической суммы

В любой сумме члены можно менять местами и произвольно объединять в группы, то есть использовать свойства сложения (коммутативного и ассоциативного):

10 + (-7) = -7 + 10 = 3

-7 + 28 + (- 13) + 12 = (-7 + (- 13)) + (28 + 12) = -20 + 40 = 20

Вывод: каждое из этих выражений есть сумма либо положительного и отрицательного, либо двух отрицательных чисел.

Выражения, содержащие числа, знаки + и -, можно представить в виде суммы положительных и отрицательных чисел. Такие выражения называются алгебраическими суммами. Алгебраическая сумма — это выражение, которое можно представить в виде суммы положительных и отрицательных чисел

064b-00091a82-294bebd2-400x267.jpg

0a45-0001cb7c-b23ac833-400x267.jpg

048a-00090539-3a5255cf-400x267.jpg

Рассмотрим выражения, каждое из которых представляет собой сумму либо положительного и отрицательного числа, либо двух отрицательных чисел. Такие выражения называются алгебраическими суммами. Рассмотрим использование коммутативных и ассоциативных законов для чисел всех знаков. Ввести понятие алгебраической суммы, рассмотреть примеры преобразования этих выражений. Например: Назовите члены алгебраической суммы, напишите выражение без скобок и найдите значение. Используя законы арифметических действий, вычислите значение выражения. Составьте сумму этих слагаемых, запишите ее со скобками и без скобок.

Основываясь на правиле вычитания, мы можем заменить все вычитания добавлением чисел, противоположных вычитаемым. Мы получаем:

Таким образом, все числа в выражении (1) стали слагаемыми.

Определение. Выражение, обозначающее несколько последовательных сложений и вычитаний, называется алгебраической суммой.

В алгебраической сумме любое вычитание можно заменить добавлением числа, противоположного вычитаемому.

Заменив в алгебраической сумме все вычитания сложениями, мы можем записать ее в виде суммы, где слагаемыми могут быть любые рациональные числа (положительные, отрицательные, равные нулю), а также числа, обозначенные буквами.

Для упрощения записи можно везде опустить знак сложения перед скобками и запомнить раз и навсегда, что каждый символ в выражении относится к числу после него и что все эти числа необходимо складывать.

Таким образом, выражение (2) можно записать короче:

Это выражение также показывает, что необходимо складывать числа вместе .

В алгебраической сумме любое сложение можно заменить вычитанием противоположного числа.

Здесь сложение числа заменяется вычитанием числа .

Пример решения задачи

В качестве дополнения к теме алгебраической прогрессии приведем пример решения еще одной странной задачи, тем самым закрепив понимание рассматриваемой темы. Пусть дана некоторая прогрессия, для которой известна разность d = —3, а также ее член а35 = —114. Необходимо найти 7-й член прогрессии a7.

Как видно из состояния задачи, значение a1 неизвестно, поэтому формулу для n-го члена нельзя использовать напрямую. К тому же метод рекурсии неудобен, что сложно реализовать вручную, и велика вероятность ошибиться. Действуем следующим образом: выводим формулы для a7 и a35, имеем: a7 = a1 + 6*d и a35 = a1 + 34*d. Вычтем из первого выражения второе, получим: а7 — а35 = а1 + 6*d — а1 — 34*d. Отсюда следует: а7 = а35 — 28*d. Остается заменить известные данные из постановки задачи и записать ответ: а7 = -114 — 28*(-3) = -30.

14710a9be00a9601021908115f91190f.jpg

Геометрическая прогрессия

Чтобы полнее раскрыть тему статьи, дадим краткую характеристику еще одному типу прогрессии — геометрической. В математике под этим названием понимается последовательность чисел, в которой каждый последующий член отличается от предыдущего некоторым коэффициентом. Обозначим этот фактор буквой г. Он называется знаменателем оцениваемого типа прогрессии. Примером этой последовательности чисел может быть: 1, 5, 25, 125,…

Как видно из приведенного выше определения, алгебраическая и геометрическая прогрессии по идее схожи. Разница между ними в том, что первый меняется медленнее, чем второй.

Геометрическая прогрессия также может быть возрастающей, постоянной и убывающей. Его вид зависит от значения знаменателя r: если r>1, то это возрастающая прогрессия, если r<1 – убывающая, наконец, если r=1 – постоянная, которую в данном случае тоже можно назвать константой арифметическая прогрессия.

Формулы геометрической прогрессии

Как и в случае алгебраической, формулы геометрической прогрессии сводятся к определению ее n-го члена и суммы n членов. Ниже приведены эти выражения:

  • an = a1*r(n-1) — эта формула следует из определения геометрической прогрессии.
  • ∑n1 = al*(rn-1)/(r-1). Важно отметить, что если r = 1, приведенная выше формула вносит неопределенность, поэтому ее нельзя использовать. В этом случае сумма n слагаемых будет равна простому произведению a1*n.

Например, найдем сумму всего 10 членов последовательности 1, 5, 25, 125,… Зная, что a1 = 1 и r = 5, получим: ∑101 = 1*(510-1)/4 = 2441406. Полученное значение — наглядный пример того, как быстро растет геометрическая прогрессия.

0b528f32022b11bfb8bfaf93f604b587.jpg

Пожалуй, первым упоминанием об этой прогрессии в истории является легенда о шахматной доске, когда друг султана, научив его играть в шахматы, попросил за свою услугу зерна. Причем количество зерен должно было быть следующим: на первую клетку шахматной доски надо положить одно зерно, на вторую вдвое больше, чем на первую, на третью в 2 раза больше, чем на вторую, и скоро. Султан охотно согласился на эту просьбу, но не знал, что ему придется опустошить все помойки в своей стране, чтобы сдержать свое слово.

Оцените статью
Блог о Microsoft Word