- Что такое обратные тригонометрические функции
- Определение
- График арккотангенса
- Свойства арккотангенса
- Таблица арктангенсов(arctg)
- Получение функции arcctg .
- Формулы обратных тригонометрических функций
- Формулы суммы: арксинус + арккосинус, арктангенс + арккотангенс
- Формулы связи между прямыми и обратными тригонометрическими функциями
- Доказательства формул синусов арккосинуса, арккотангенса и арктангенса
- Доказательства формул тангенсов арксинуса, арккосинуса и арккотангенса
- Как выразить арксинус через арккосинус, арктангенс и арккотангенс и так далее
Что такое обратные тригонометрические функции
К обратным тригонометрическим функциям относятся: арксинус, арккосинус, арктангенс, арккотангенс, арксеканс, арккосеканс.
| Арксинус | лук грех |
| Арккосинус | арккос |
| Арктангенс | арктг, арктанг |
| Арктангенс | arcctg, арккот |
| Аркскан | угловая секунда |
| Арккосеканс | arcsc |
Если известен некоторый угол α, то по величине этого угла можно найти значения таких тригонометрических функций, как: синус, косинус, тангенс, котангенс, секанс, косеканс, точно так же, зная значение тригонометрической Функция, вы можете рассчитать угол.
Приведем пример, значение синуса угла α равно √2/2
грех (α) = √ 2/2
Чтобы узнать, чему равен угол α, нужно вычислить арксинус этого угла.
arcsin(√2/2) = π/4 радиан
Следовательно, sin(π/4) = √2/2
Значение обратной тригонометрической функции всегда будет в радианах. Чтобы преобразовать радианы в градусы, умножьте угол в радианах на 180 и разделите на π.
В этом случае, поскольку угол π = 180°, мы можем написать:
π/4 радиана = 180/4 градуса = 45°.
Определение
Арккотангенс (arcctg или arccot) является обратной тригонометрической функцией.
Арккотангенс x определяется как обратная функция котангенса x.
Если котангенс угла y равен x (ctg y = x), то арккотангенс угла x равен y:
arcctgx=ctg-1x=y
Примечание: ctg-1x означает арккотангенс, а не котангенс в степени -1.
Например:
arctg 1 = ctg-1 1 = 45° = π/4 рад
Читайте также: Единицы измерения атмосферного давления: атмосферы, паскали и мегапаскали, сколько атмосфер в 1 МПа
График арккотангенса
Функция арктангенса записывается как y = arcctg (x). В общем случае график выглядит так (0 < y < π, –∞ < x < +∞):
Свойства арккотангенса
Ниже в табличной форме представлены основные свойства арктангенса с формулами.
| Свойство | Формула |
| котангенс» data-order=»Дуговой котангенс котангенс»> арккотангенс котангенс |
arcctg (ctg x) = x» data-order=»arcctg (ctg x) = x»> arcctg (ctg x) = x |
| отрицательное число» data-order=»Арккотангенс отрицательное число»>Арккотангенс отрицательное число |
arcctg (-x) = 180° — arcctg x»data-order=»arcctg (-x) = 180° — arcctg x»> arcctg (-x) = 180° — arcctg x |
| арктангенс» data-order=»Сумма арктангенс»>Сумма арктангенсы |
|
| арктангенс» data-order=»Разница арктангенс»>Разница арктангенсы |
|
| from arcsine» data-order=»Арккотангенс от арксинуса»> арккотангенс от арксинуса |
|
| from arccosine» data-order=»Арккотангенс от арккосинуса»> арккотангенс из арккосинуса |
|
| из арктангенса» data-order=»Арккотангенс из арктангенса»>Арккотангенс от арктангенса |
|
| арктангенс» data-order=»Производный арктангенс»> Производная арктангенс |
|
| интеграл арктангенса» data-order=»Undefined интеграл от арктангенса»>Не определено интеграл арккотангенса |
Таблица арктангенсов(arctg)
| арктангенс(0) = 0° | арктан(-1,732050808) = 120° | арктан(1,732050808) = 240° |
| арктан(0,01745506493) = 1° | арктан(-1,664279482) = 121° | арктан(1,804047755) = 241° |
| арктан(0,03492076949) = 2° | арктан(-1,600334529) = 122° | арктан(1,880726465) = 242° |
| арктан(0,05240777928) = 3° | арктан(-1,539864964) = 123° | арктан(1,962610506) = 243° |
| арктан(0,06992681194) = 4° | арктан(-1,482560969) = 124° | арктан(2,050303842) = 244° |
| арктан(0,08748866353) = 5° | арктан(-1,428148007) = 125° | арктан(2,144506921) = 245° |
| арктан(0,1051042353) = 6° | арктан(-1,37638192) = 126° | арктан(2,246036774) = 246° |
| арктан(0,1227845609) = 7° | арктан(-1,327044822) = 127° | арктан(2,355852366) = 247° |
| арктан(0,1405408347) = 8° | арктан(-1,279941632) = 128° | арктан(2,475086853) = 248° |
| арктан(0,1583844403) = 9° | арктан(-1,234897157) = 129° | арктан(2,605089065) = 249° |
| арктан(0,1763269807) = 10° | арктан(-1,191753593) = 130° | арктан(2,747477419) = 250° |
| арктан(0,1943803091) = 11° | арктан(-1,150368407) = 131° | арктан(2,904210878) = 251° |
| арктан(0,2125565617) = 12° | арктан(-1,110612515) = 132° | арктан(3,077683537) = 252° |
| арктан(0,2308681911) = 13° | арктан(-1,07236871) = 133° | арктан(3,270852618) = 253° |
| арктан(0,2493280028) = 14° | арктан(-1,035530314) = 134° | арктан(3,487414444) = 254° |
| арктан(0,2679491924) = 15° | арктан(-1) = 135° | арктан(3,732050808) = 255° |
| арктан(0,2867453858) = 16° | арктан(-0,9656887748) = 136° | арктан(4,010780934) = 256° |
| арктан(0,3057306815) = 17° | арктан(-0,9325150861) = 137° | арктан(4,331475874) = 257° |
| арктан(0,3249196962) = 18° | арктан(-0,9004040443) = 138° | арктан(4,704630109) = 258° |
| арктан(0,3443276133) = 19° | арктан(-0,8692867378) = 139° | арктан(5,144554016) = 259° |
| арктан(0,3639702343) = 20° | арктан(-0,8390996312) = 140° | арктан(5,67128182) = 260° |
| арктан(0,383864035) = 21° | арктан(-0,8097840332) = 141° | арктан(6,313751515) = 261° |
| арктан(0,4040262258) = 22° | арктан(-0,7812856265) = 142° | арктан(7,115369722) = 262° |
| арктан(0,4244748162) = 23° | арктан(-0,7535540501) = 143° | арктан(8,144346428) = 263° |
| арктан(0,4452286853) = 24° | арктан(-0,726542528) = 144° | арктан(9,514364454) = 264° |
| арктан(0,4663076582) = 25° | арктан(-0,7002075382) = 145° | арктан(11,4300523) = 265° |
| арктан(0,4877325886) = 26° | арктан(-0,6745085168) = 146° | арктан(14,30066626) = 266° |
| арктан(0,5095254495) = 27° | арктан(-0,6494075932) = 147° | арктан(19,08113669) = 267° |
| арктан(0,5317094317) = 28° | арктан(-0,6248693519) = 148° | арктан(28,63625328) = 268° |
| арктан(0,5543090515) = 29° | арктан(-0,600860619) = 149° | арктан(57,28996163) = 269° |
| арктан(0,5773502692) = 30° | арктан(-0,5773502692) = 150° | арктангенс(∞) = 270° |
| арктан(0,600860619) = 31° | арктан(-0,5543090515) = 151° | арктан(-57,28996163) = 271° |
| арктан(0,6248693519) = 32° | арктан(-0,5317094317) = 152° | арктан(-28,63625328) = 272° |
| арктан(0,6494075932) = 33° | арктан(-0,5095254495) = 153° | арктан(-19,08113669) = 273° |
| арктан(0,6745085168) = 34° | арктан(-0,4877325886) = 154° | арктан(-14,30066626) = 274° |
| арктан(0,7002075382) = 35° | арктан(-0,4663076582) = 155° | арктан(-11,4300523) = 275° |
| арктан(0,726542528) = 36° | арктан(-0,4452286853) = 156° | арктан(-9,514364454) = 276° |
| арктан(0,7535540501) = 37° | арктан(-0,4244748162) = 157° | арктан(-8,144346428) = 277° |
| арктан(0,7812856265) = 38° | арктан(-0,4040262258) = 158° | арктан(-7,115369722) = 278° |
| арктан(0,8097840332) = 39° | арктан(-0,383864035) = 159° | арктан(-6,313751515) = 279° |
| арктан(0,8390996312) = 40° | арктан(-0,3639702343) = 160° | арктан(-5,67128182) = 280° |
| арктан(0,8692867378) = 41° | арктан(-0,3443276133) = 161° | арктан(-5,144554016) = 281° |
| арктан(0,9004040443) = 42° | арктан(-0,3249196962) = 162° | арктан(-4,704630109) = 282° |
| арктан(0,9325150861) = 43° | арктан(-0,3057306815) = 163° | арктан(-4,331475874) = 283° |
| арктангенс (0,9656887748) = 44° | арктан(-0,2867453858) = 164° | арктан(-4,010780934) = 284° |
| арктан(1) = 45° | арктан(-0,2679491924) = 165° | арктан(-3,732050808) = 285° |
| арктан(1,035530314) = 46° | арктан(-0,2493280028) = 166° | арктан(-3,487414444) = 286° |
| арктан(1,07236871) = 47° | арктан(-0,2308681911) = 167° | арктан(-3,270852618) = 287° |
| арктан(1,110612515) = 48° | арктан(-0,2125565617) = 168° | арктан(-3,077683537) = 288° |
| арктан(1,150368407) = 49° | арктан(-0,1943803091) = 169° | арктан(-2,904210878) = 289° |
| арктан(1,191753593) = 50° | арктан(-0,1763269807) = 170° | арктан(-2,747477419) = 290° |
| арктан(1,234897157) = 51° | арктан(-0,1583844403) = 171° | арктан(-2,605089065) = 291° |
| арктан(1,279941632) = 52° | арктан(-0,1405408347) = 172° | арктан(-2,475086853) = 292° |
| арктан(1,327044822) = 53° | арктан(-0,1227845609) = 173° | арктан(-2,355852366) = 293° |
| арктан(1,37638192) = 54° | арктан(-0,1051042353) = 174° | арктан(-2,246036774) = 294° |
| арктан(1,428148007) = 55° | арктан(-0,08748866353) = 175° | арктан(-2,144506921) = 295° |
| арктан(1,482560969) = 56° | арктан(-0,06992681194) = 176° | арктан(-2,050303842) = 296° |
| арктан(1,539864964) = 57° | арктан(-0,05240777928) = 177° | арктан(-1,962610506) = 297° |
| арктан(1,600334529) = 58° | арктан(-0,03492076949) = 178° | арктан(-1,880726465) = 298° |
| арктан(1,664279482) = 59° | арктан(-0,01745506493) = 179° | арктан(-1,804047755) = 299° |
| арктан(1,732050808) = 60° | арктангенс(0) = 180° | арктан(-1,732050808) = 300° |
| арктангенс (1,804047755) = 61° | арктан(0,01745506493) = 181° | арктан(-1,664279482) = 301° |
| арктан(1,880726465) = 62° | арктан(0,03492076949) = 182° | арктан(-1,600334529) = 302° |
| арктан(1,962610506) = 63° | арктан(0,05240777928) = 183° | арктан(-1,539864964) = 303° |
| арктангенс (2,050303842) = 64° | арктан(0,06992681194) = 184° | арктан(-1,482560969) = 304° |
| арктан(2,144506921) = 65° | арктан(0,08748866353) = 185° | арктан(-1,428148007) = 305° |
| арктан(2,246036774) = 66° | арктан(0,1051042353) = 186° | арктан(-1,37638192) = 306° |
| арктан(2,355852366) = 67° | арктан(0,1227845609) = 187° | арктан(-1,327044822) = 307° |
| арктан(2,475086853) = 68° | арктан(0,1405408347) = 188° | арктан(-1,279941632) = 308° |
| арктан(2,605089065) = 69° | арктан(0,1583844403) = 189° | арктан(-1,234897157) = 309° |
| арктан(2,747477419) = 70° | арктан(0,1763269807) = 190° | арктан(-1,191753593) = 310° |
| арктан(2,904210878) = 71° | арктан(0,1943803091) = 191° | арктан(-1,150368407) = 311° |
| арктан(3,077683537) = 72° | арктан(0,2125565617) = 192° | арктан(-1,110612515) = 312° |
| арктан(3,270852618) = 73° | арктан(0,2308681911) = 193° | арктан(-1,07236871) = 313° |
| арктан(3,487414444) = 74° | арктан(0,2493280028) = 194° | арктан(-1,035530314) = 314° |
| арктан(3,732050808) = 75° | арктан(0,2679491924) = 195° | арктан(-1) = 315° |
| арктан(4,010780934) = 76° | арктан(0,2867453858) = 196° | арктан(-0,9656887748) = 316° |
| арктан(4,331475874) = 77° | арктан(0,3057306815) = 197° | арктан(-0,9325150861) = 317° |
| арктан(4,704630109) = 78° | арктан(0,3249196962) = 198° | арктан(-0,9004040443) = 318° |
| арктан(5,144554016) = 79° | арктан(0,3443276133) = 199° | арктан(-0,8692867378) = 319° |
| арктан(5,67128182) = 80° | арктан(0,3639702343) = 200° | арктан(-0,8390996312) = 320° |
| арктан(6,313751515) = 81° | арктан(0,383864035) = 201° | арктан(-0,8097840332) = 321° |
| арктан(7,115369722) = 82° | арктан(0,4040262258) = 202° | арктан(-0,7812856265) = 322° |
| арктан(8,144346428) = 83° | арктан(0,4244748162) = 203° | арктан(-0,7535540501) = 323° |
| арктан(9,514364454) = 84° | арктан(0,4452286853) = 204° | арктан(-0,726542528) = 324° |
| арктан(11,4300523) = 85° | арктан(0,4663076582) = 205° | арктан(-0,7002075382) = 325° |
| арктан(14,30066626) = 86° | арктан(0,4877325886) = 206° | арктан(-0,6745085168) = 326° |
| арктан(19,08113669) = 87° | арктан(0,5095254495) = 207° | арктан(-0,6494075932) = 327° |
| арктан(28,63625328) = 88° | арктан(0,5317094317) = 208° | арктан(-0,6248693519) = 328° |
| арктан(57,28996163) = 89° | арктан(0,5543090515) = 209° | арктан(-0,600860619) = 329° |
| арктангенс(∞) = 90° | арктан(0,5773502692) = 210° | арктан(-0,5773502692) = 330° |
| арктан(-57,28996163) = 91° | арктан(0,600860619) = 211° | арктан(-0,5543090515) = 331° |
| арктан(-28,63625328) = 92° | арктан(0,6248693519) = 212° | арктан(-0,5317094317) = 332° |
| арктан(-19,08113669) = 93° | арктан(0,6494075932) = 213° | арктан(-0,5095254495) = 333° |
| арктан(-14,30066626) = 94° | арктан(0,6745085168) = 214° | арктан(-0,4877325886) = 334° |
| арктан(-11,4300523) = 95° | арктан(0,7002075382) = 215° | арктан(-0,4663076582) = 335° |
| арктан(-9,514364454) = 96° | арктан(0,726542528) = 216° | арктан(-0,4452286853) = 336° |
| арктан(-8,144346428) = 97° | арктан(0,7535540501) = 217° | арктан(-0,4244748162) = 337° |
| арктан(-7,115369722) = 98° | арктан(0,7812856265) = 218° | арктан(-0,4040262258) = 338° |
| арктан(-6,313751515) = 99° | арктан(0,8097840332) = 219° | арктан(-0,383864035) = 339° |
| арктан(-5,67128182) = 100° | арктан(0,8390996312) = 220° | арктан(-0,3639702343) = 340° |
| арктан(-5,144554016) = 101° | арктан(0,8692867378) = 221° | арктан(-0,3443276133) = 341° |
| арктан(-4,704630109) = 102° | арктан(0,9004040443) = 222° | арктан(-0,3249196962) = 342° |
| арктан(-4,331475874) = 103° | арктан(0,9325150861) = 223° | арктан(-0,3057306815) = 343° |
| арктан(-4,010780934) = 104° | арктан(0,9656887748) = 224° | арктан(-0,2867453858) = 344° |
| арктан(-3,732050808) = 105° | арктан(1) = 225° | арктан(-0,2679491924) = 345° |
| арктан(-3,487414444) = 106° | арктан(1,035530314) = 226° | арктан(-0,2493280028) = 346° |
| арктан(-3,270852618) = 107° | арктан(1,07236871) = 227° | арктан(-0,2308681911) = 347° |
| арктан(-3,077683537) = 108° | арктан(1,110612515) = 228° | арктан(-0,2125565617) = 348° |
| арктан(-2,904210878) = 109° | арктан(1,150368407) = 229° | арктан(-0,1943803091) = 349° |
| арктан(-2,747477419) = 110° | арктан(1,191753593) = 230° | арктан(-0,1763269807) = 350° |
| арктан(-2,605089065) = 111° | арктан(1,234897157) = 231° | арктан(-0,1583844403) = 351° |
| арктан(-2,475086853) = 112° | арктан(1,279941632) = 232° | арктан(-0,1405408347) = 352° |
| арктан(-2,355852366) = 113° | арктан(1,327044822) = 233° | арктан(-0,1227845609) = 353° |
| арктан(-2,246036774) = 114° | арктан(1,37638192) = 234° | арктан(-0,1051042353) = 354° |
| арктан(-2,144506921) = 115° | арктан(1,428148007) = 235° | арктан(-0,08748866353) = 355° |
| арктан(-2,050303842) = 116° | арктан(1,482560969) = 236° | арктан(-0,06992681194) = 356° |
| арктан(-1,962610506) = 117° | арктан(1,539864964) = 237° | арктан(-0,05240777928) = 357° |
| арктан(-1,880726465) = 118° | арктан(1,600334529) = 238° | арктан(-0,03492076949) = 358° |
| арктан(-1,804047755) = 119° | арктан(1,664279482) = 239° | арктан(-0,01745506493) = 359° |
Получение функции arcctg .
Это функция y = ctg x. Эта функция оказывается кусочно-монотонной во всей области определения, поэтому обратное соответствие y = arcctg x не является функцией. Поэтому рассмотрим интервал, в котором функция только убывает и принимает все значения только 1 раз — (0; π). На таком отрезке y = ctg x только убывает и принимает каждое значение только 1 раз, то есть на интервале (0; π) находится обратная функция y = arcctg x, ее график симметричен графику y = ctg x на отрезке (0; π) относительно прямой y = x.
Формулы обратных тригонометрических функций
Обратные тригонометрические функции связаны друг с другом и с тригонометрическими функциями. Специальные формулы упростят решение примеров и найдут функцию с известными значениями для другой. Рассмотрим основные формулы:
- arcsinx+arccosx=π2
- arctgx+arctgx=π2
- arcsinx=arccos1-x2, 0⩽x≤1-arccos1-x2, -1⩽x<0
- arcsinx=arctgx 1-x2
- arcsinx=arcctg 1-x2x, 0<>
- arccosx=π2-arcsinx.
- arccosx=arcsin1-x2, 0⩽x⩽1π-arcsin 1-x2, -1⩽x<0
- arccosx=arcctgx1-x2
- arccosx=arctg 1-x2x, 0<>
- arccosx=2arcsin 1-x2
- arccosx=2arccos 1+x2
- arccosx=2arctg 1-x1+x
- arctgx=arcsinx1+x2
- arctgx=arccos1 1+x2, если x>0.
- arctgx=arcctg1x
- arcctgx=arcsin11+x2, x⩾0π-arcsin11+x2, x<0
- arcctgx=π/2-arctgx.
- arcsecx=arcsinx2-1x, x⩾1π+arcsinx2-1x, x⩽-1
- arcsecx=π2-arccosecx
- arcsecx=arccos1x.
- arccosecx=arctgsgnxx2-1=arctg1x2-1, x>1-arctg1x2-1, x<-1
- угл.сек = π/2-угл.сек
- arccosecx=arcsin1x.
Формулы суммы: арксинус + арккосинус, арктангенс + арккотангенс
Они выглядят так:
для α∈-1, 1 arccis α+arccos α=π2, для α∈(-∞, ∞) arctan α+arcctg α=π2
Из написанного видно, что арксинус некоторого числа можно вывести, используя его арккосинус, и наоборот. То же самое с арктангенсом и арккотангенсом — они связаны друг с другом аналогичным образом.
Формулы связи между прямыми и обратными тригонометрическими функциями
знание связи между прямыми функциями и их дуговыми функциями очень важно для решения многих практических задач. Что делать, если нам нужно вычислить, например, тангенс арксинуса? Ниже приведен список основных формул для этого, которые полезно распечатать самостоятельно.
| -1≤α≤1,sin(arcsinα)=α | -1≤α≤1,sin (arccos α)=1-α2 | -∞≤α≤+∞,sin (arctg α)=α1+α2 | -∞≤α≤+∞, sin (arcctg α)=11+α2 |
| -1≤α≤1, cos(arcsinα)=1-α2 | -1≤α≤1, cos (arccos α)=α | -∞≤α≤+∞, потому что (arctg α)=11+α2 | -∞≤α≤+∞, cos(arcctgα)=11+α2 |
| -1<> | α∈(-1, 0)∪(0, 1),tg (arccos α) =1-α2α | -∞≤α≤+∞,tg (arctg α)=α | α≠0,tg (arcctg α)=1α |
| α∈(-1, 0)∪(0, 1),ctg (arcsin α)=1-α2α | -1<> | α≠0,ctg (arctg α)=1α | -∞≤α≤+∞, ctg (arcctg α)=α |
Теперь давайте рассмотрим примеры того, как они используются в задачах.
Пример 1
Вычислите косинус арктангенса из 5.
Решение
Для этого у нас есть подходящая формула следующего вида: cos(arctg α)=11+α2
Подставьте нужное значение: cos(arctg5)=11+(5)2=26
Пример 2
Вычислите синус арккосинуса 12.
Решение
Для этого нам понадобится формула: sin (arccos α)=1-a2
Заменяем в нем значения и получаем: sin(arccos 12)=1-(12)2=32
Обратите внимание, что прямые вычисления приводят к аналогичному ответу: sin(arccos 12)=sin π3=32
Если вы забыли, как правильно вычислять значения прямых и обратных функций, вы всегда можете вернуться к нашим предыдущим материалам, где мы это разбирали.
Доказательства формул синусов арккосинуса, арккотангенса и арктангенса
Для наглядного вывода полученных формул нам потребуются основные тригонометрические тождества и собственно формулы важнейших обратных функций — косинуса к арккосинусу и т д. Мы уже вывели их ранее, поэтому не будем тратить время на их доказательства. Начнем сразу с формул для синусов арккосинуса, арктангенса и арктангенса. Используя тождество, получаем:
sin2α+cos2α=11+ctg2α=1sin2α
Помните, что tgα·ctgα=1. Отсюда вы можете получить:
sinα=1-cos2α, 0≤α≤π sinα=tgα1+tg2α, -π2<><><><>
Оказалось, что мы выразили синус через необходимые дуговые функции при заданном условии.
Теперь в первой формуле вместо а добавим арккосинус а. В результате получится формула синуса арккосинуса.
Далее во втором вместо а ставим arctg а. Это формула синуса арктангенса.
Аналогично с третьим — если к нему добавить arcctg a, то это будет формула синуса арктангенса.
Все наши расчеты можно сформулировать более развернуто:
- sinα=1-cos2α, 0≤α≤π
Поэтому sin(arccosα)=1-cos2(arccosα)=1-a2
- sinα=tgα1+tgα, -π2<><>
Поэтому sin(arctgα)=tg(arctgα)1+tg2(arctgα)=α1+α2
- sinα=11+ctg2α, 0<><>
Следовательно, sin(arctgα)=11+tg2(arctgα)=11+α2
Выведем формулы для преобразования косинуса в арксинус, косинуса в арктангенс и косинуса в арккотангенс.
Отобразим их по существующему шаблону:
- Из cosα=1-sin2α, -π2≤α≤π2 следует, что
cos(arcsinα)=1-sin2(arcsinα)=1-a2
- Из cosα=11+tg2α, -π2<><π2 следует,=»»></π2>
- Из cosα=ctgα1+ctg2α, 0<><>
отсюда следует, что cos(arctga)=ctg(arcctga)1+ctg2(arcctga)=α1+α2
Доказательства формул тангенсов арксинуса, арккосинуса и арккотангенса
- Мы начинаем с tgα=sin α1-sin2α, -π2<><π2 мы=»» получаем=»» tg(arcsin=»» α)=»sin(arcsinα)1-sin2(arcsinα)=α1-α2″ с=»» условием=» » это=»»><></π2>
- Начиная с tgα=1-cos2αcosα, α∈0, π2)∪(π2, π, получаем
tg(arccosα)=1-cos2(arccosα)cos(arccosα)=1-α2α при заданном α∈(-1, 0)∪(0, 1).
- Начнем с tgα=1ctgα, α∈(0, π2)∪(π2, π), получим tg(arcctgα)=1ctg(arcctgα)=1α при условии, что α≠0.
Теперь нам нужны формулы для котангенсов арксинуса, арккосинуса и арктангенса. Вспомните одно из тригонометрических уравнений:
ctgα=1tgα
Используя его, мы можем сами вывести необходимые формулы, используя формулы арксинус-тангенс, арккосинус-тангенс и арктангенс-тангенс. Для этого нужно поменять в них числитель и знаменатель.
Как выразить арксинус через арккосинус, арктангенс и арккотангенс и так далее
Мы связали прямую и обратную тригонометрические функции. Полученные формулы дадут нам возможность связывать одни обратные функции с другими, то есть выражать одни дуговые функции через другие дуговые функции. Давайте посмотрим на примеры.
Здесь мы можем заменить арксинус на арккосинус, арктангенс и арккотангенс соответственно и получить искомую формулу:
arcsinα=arccos1-α2, 0≤α≤1-arccos1-a2, -1≤α<0arcsinα=arctgα1-α2, -1<><>
А затем выразим арккосинус через остальные обратные функции:
arccosα=arcsin1-α2, 0≤α≤1π-arcsin1-α2, -1≤α<0arccosα=arctg1-α2α, 0<><><>
Формула выражения арктангенса:
arctanα=arcsinα1+α2, -∞<>
Последняя часть представляет собой выражение арктангенса через другие обратные функции:
arcctgα=arcsin11+α2, α≥0π-arcsin11+α2, α<0arcctga=arccosα1+α2, -∞<>
Теперь попробуем их доказать, опираясь на основные определения обратных функций и ранее выведенные формулы.
Возьмем arcsinα=arctgα1-α2, -1<α<1 и=»» try=»» на=»» выходе=»»>
Мы знаем, что arctgα1-α2 — это число, величина которого находится в диапазоне от минус половины пи до плюс половины пи. Из формулы синуса тангенса получаем:
sin(arctgα1-α2)=α1-α21+(α1-α2)2=α1-α21+α21-α2=α1-α21+α21-α2=α1-α211-α2=α
Получается, что arctgα1-α2 при условии 1<1>
Вывод: arcsina=arctga1-a2, -1<>
Остальные формулы доказываются аналогично.
В заключение разберем пример применения формул на практике.
Пример 3
Условие Вычислите синус арктангенса минус корень из 3.
Решение
Нам нужна формула для выражения арктангенса через арксинус: arcctgα=arcsin11+a2, α≥0π-arcsin 11+a2, α<0
Подставим в него α=-3 и получим ответ — 12. Прямой расчет даст нам те же результаты: sin(arcctg(-3))=sin5π6=12 Для решения задачи можно взять другую формулу, выражающую синус через котангенс: sinα= 11+ctg2α, 0<><>
В результате получим: sin(arcctg(-3))=11+ctg2(arcctg(-3))=11+(-3)2=12
Или возьмите формулу синуса арккотангенса и получите тот же ответ: sin(arcctgα)=11+α2 sin(arcctg(-3))=11+(-3)2=12
</α<1>
