Арксинус угла (arcsin): определение, формула, таблица, график, свойства

Что такое обратные тригонометрические функции

К обратным тригонометрическим функциям относятся: арксинус, арккосинус, арктангенс, арккотангенс, арксеканс, арккосеканс.

Арксинус	лук грех
Арккосинус	арккос
Арктангенс	арктг, арктанг
Арктангенс	arcctg, арккот
Аркскан	угловая секунда
Арккосеканс	arcsc

Если известен некоторый угол α, то по величине этого угла можно найти значения таких тригонометрических функций, как: синус, косинус, тангенс, котангенс, секанс, косеканс, точно так же, зная значение тригонометрической Функция, вы можете рассчитать угол.
Приведем пример, значение синуса угла α равно √2/2
грех (α) = √ 2/2
Чтобы узнать, чему равен угол α, нужно вычислить арксинус этого угла.

arcsin(√2/2) = π/4 радиан
Следовательно, sin(π/4) = √2/2
Значение обратной тригонометрической функции всегда будет в радианах. Чтобы преобразовать радианы в градусы, умножьте угол в радианах на 180 и разделите на π.
В этом случае, поскольку угол π = 180°, мы можем написать:
π/4 радиана = 180/4 градуса = 45°.

Определение

Арксинус (arcsin) — обратная тригонометрическая функция.

Арксинус x определяется как величина, обратная синусу x при -1≤x≤1.

Если синус угла y равен x (sin y = x), то дуга x равна y:

arcsinx=sin-1x=y

Примечание: sin-1x означает обратный синус, а не синус в степени -1.

Например:

arcsin 1 = sin-1 1 = 90° (π/2 рад)

График арксинуса

Функция арксинуса записывается как y = arcsin(x). В целом график выглядит так (-1≤x≤1, -π/2≤y≤π/2):

Свойства арксинуса

Основные свойства арксинуса с формулами представлены в табличной форме ниже.

Свойство	Формула
арксинус» data-order=»Синус арксинус»>Синус арксинус	sin (arcsin x) = x» data-order=»sin (arcsin x) = x»>sin (arcsin x) = x
синус» порядок данных = «арксинус синус»>арксинус пазуха	arcsin (sin x) = x + 2kπ, где k∈ℤ (k — целое число)» data-order=»arcsin (sin x) = x + 2kπ, где k∈ℤ (k — целое число)»> arcsin (sin x) = x + 2kπ, где k∈ℤ (k целое число)
отрицательное число» data-order=»Арксинус отрицательное число»> Арксинус отрицательное число	arcsin (-x) = -arcsin x»data-order=»arcsin (-x) = -arcsin x»>arcsin(-x) = -arcsinx
Дополнительные углы	arcsin x = π/2 — arccos x = 90° — arccos x» data-order=»arcsin x = π/2 — arccos x = 90° — arccos x»> arcsin x = π/2 — arccos x = 90° — arccos x
арксинусы» data-order=»Сумма арксинусы»>Сумма арксинусы
arcsines» data-order=»Разница арксинус»>разность арксинусы
арксинус» data-order=»Косинус арксинус»>Косинус арксинус
арксинус» data-order=»тангенс арксинус»> Тангенс арксинус
арксинус» data-order=»Производный арксинус»>Производная арксинус
интеграл арксинуса» data-order=»Не определено интеграл арксинуса»>Не определено интеграл арксинуса

Таблица арксинусов и арккосинусов.

В таблице ниже вы найдете значения обратных тригонометрических функций, например: арксинусов и арккосинусов, в градусах и радианах, с некоторыми значениями аргумента.

Читайте также: Самые глубокие места на Земле: подборка с фото и описанием

икс	арксинус х	арккос х
	градусов.	счастливый.	градусов.	счастливый.
— 1	— 90°	–	180°	π
–	— 60°	–	150°
–	— 45°	–	135°
–	— 30°	–	120°
0	0°	0	90°
	30°		60°
	45°		45°
	60°		30°
1	90°		0°	0

≈ 0,7071067811865476;

≈ 0,8660254037844386.

Получение функции arcsin .

Это функция y = sin x. Он кусочно монотонен во всей своей области определения, поэтому обратное соответствие y = arcsin x не является функцией. Поэтому мы рассматриваем отрезок, где она только возрастает и принимает каждое значение в диапазоне — -frac{pi}{2}; frac{pi}{2} вправо» src=»https://www.calc.ru/imgs/articles/328-e1fb66727bc8ca279ae0cfb350aca96a.png»>

. Поскольку для функции y = sin x на интервале -frac{pi}{2}; frac{pi}{2} вправо» src=»https://www.calc.ru/imgs/articles/328-e1fb66727bc8ca279ae0cfb350aca96a.png»>
все значения функции получаются только при одном значении аргумента, а это значит, что на этом отрезке находится обратная функция y = arcsin x, где график симметричен графику функции y = sin x на сегмент -frac{pi}{2}; frac{pi}{2} вправо» src=»https://www.calc.ru/imgs/articles/328-e1fb66727bc8ca279ae0cfb350aca96a.png»>
относительно прямой y = x.

Как соотносятся между собой арксинусы, арккосинусы, арктангенсы и арккотангенсы противоположных чисел

В этом блоке сформулируем важное утверждение:

Определение 1

Обратные тригонометрические функции отрицательного числа могут быть выражены через арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс противоположного ему положительного числа.

для α∈-1, 1 arccis (-α)=-arcsin α, arccos (-α)=π-arccos α, для α∈(-∞, ∞) arctg (-α)=-arctg α, arcctg (- α)=π-arctg α

Поэтому, если мы сталкиваемся с этими функциями отрицательных чисел в наших вычислениях, мы можем избавиться от них, преобразовав их в дуговые функции положительных чисел, с которыми проще обращаться.

Формулы суммы: арксинус + арккосинус, арктангенс + арккотангенс

Они выглядят так:

для α∈-1, 1 arccis α+arccos α=π2, для α∈(-∞, ∞) arctan α+arcctg α=π2

Из написанного видно, что арксинус некоторого числа можно вывести, используя его арккосинус, и наоборот. То же самое с арктангенсом и арккотангенсом — они связаны друг с другом аналогичным образом.

Формулы связи между прямыми и обратными тригонометрическими функциями

знание связи между прямыми функциями и их дуговыми функциями очень важно для решения многих практических задач. Что делать, если нам нужно вычислить, например, тангенс арксинуса? Ниже приведен список основных формул для этого, которые полезно распечатать самостоятельно.

-1≤α≤1,sin(arcsinα)=α	-1≤α≤1,sin (arccos α)=1-α2	-∞≤α≤+∞,sin (arctg α)=α1+α2	-∞≤α≤+∞, sin (arcctg α)=11+α2
-1≤α≤1, cos(arcsinα)=1-α2	-1≤α≤1, cos (arccos α)=α	-∞≤α≤+∞, потому что (arctg α)=11+α2	-∞≤α≤+∞, cos(arcctgα)=11+α2
-1<>	α∈(-1, 0)∪(0, 1),tg (arccos α) =1-α2α	-∞≤α≤+∞,tg (arctg α)=α	α≠0,tg (arcctg α)=1α
α∈(-1, 0)∪(0, 1),ctg (arcsin α)=1-α2α	-1<>	α≠0,ctg (arctg α)=1α	-∞≤α≤+∞, ctg (arcctg α)=α

Теперь давайте рассмотрим примеры того, как они используются в задачах.

Пример 1

Вычислите косинус арктангенса из 5.

Решение

Для этого у нас есть подходящая формула следующего вида: cos(arctg α)=11+α2

Подставьте нужное значение: cos(arctg5)=11+(5)2=26

Пример 2

Вычислите синус арккосинуса 12.

Решение

Для этого нам понадобится формула: sin (arccos α)=1-a2

Заменяем в нем значения и получаем: sin(arccos 12)=1-(12)2=32

Обратите внимание, что прямые вычисления приводят к аналогичному ответу: sin(arccos 12)=sin π3=32

Если вы забыли, как правильно вычислять значения прямых и обратных функций, вы всегда можете вернуться к нашим предыдущим материалам, где мы это разбирали.

Доказательства формул тангенсов арксинуса, арккосинуса и арккотангенса

1. Мы начинаем с tgα=sin α1-sin2α, -π2<><π2 мы=»» получаем=»» tg(arcsin=»» α)=»sin(arcsinα)1-sin2(arcsinα)=α1-α2″ с=»» условием=» » это=»»><></π2>
2. Начиная с tgα=1-cos2αcosα, α∈0, π2)∪(π2, π, получаем

tg(arccosα)=1-cos2(arccosα)cos(arccosα)=1-α2α при заданном α∈(-1, 0)∪(0, 1).

1. Начнем с tgα=1ctgα, α∈(0, π2)∪(π2, π), получим tg(arcctgα)=1ctg(arcctgα)=1α при условии, что α≠0.

Теперь нам нужны формулы для котангенсов арксинуса, арккосинуса и арктангенса. Вспомните одно из тригонометрических уравнений:

ctgα=1tgα

Используя его, мы можем сами вывести необходимые формулы, используя формулы арксинус-тангенс, арккосинус-тангенс и арктангенс-тангенс. Для этого нужно поменять в них числитель и знаменатель.

Как выразить арксинус через арккосинус, арктангенс и арккотангенс и так далее

Мы связали прямую и обратную тригонометрические функции. Полученные формулы дадут нам возможность связывать одни обратные функции с другими, то есть выражать одни дуговые функции через другие дуговые функции. Давайте посмотрим на примеры.

Здесь мы можем заменить арксинус на арккосинус, арктангенс и арккотангенс соответственно и получить искомую формулу:

arcsinα=arccos1-α2, 0≤α≤1-arccos1-a2, -1≤α<0arcsinα=arctgα1-α2, -1<><>

А затем выразим арккосинус через остальные обратные функции:

arccosα=arcsin1-α2, 0≤α≤1π-arcsin1-α2, -1≤α<0arccosα=arctg1-α2α, 0<><><>

Формула выражения арктангенса:

arctanα=arcsinα1+α2, -∞<>

Последняя часть представляет собой выражение арктангенса через другие обратные функции:

arcctgα=arcsin11+α2, α≥0π-arcsin11+α2, α<0arcctga=arccosα1+α2, -∞<>

Теперь попробуем их доказать, опираясь на основные определения обратных функций и ранее выведенные формулы.

Возьмем arcsinα=arctgα1-α2, -1<α<1 и=»» try=»» на=»» выходе=»»>

Мы знаем, что arctgα1-α2 — это число, величина которого находится в диапазоне от минус половины пи до плюс половины пи. Из формулы синуса тангенса получаем:

sin(arctgα1-α2)=α1-α21+(α1-α2)2=α1-α21+α21-α2=α1-α21+α21-α2=α1-α211-α2=α

Получается, что arctgα1-α2 при условии 1<1>

Вывод: arcsina=arctga1-a2, -1<>

Остальные формулы доказываются аналогично.

В заключение разберем пример применения формул на практике.

Пример 3

Условие Вычислите синус арктангенса минус корень из 3.

Решение

Нам нужна формула для выражения арктангенса через арксинус: arcctgα=arcsin11+a2, α≥0π-arcsin 11+a2, α<0
Подставим в него α=-3 и получим ответ — 12. Прямой расчет даст нам те же результаты: sin(arcctg(-3))=sin5π6=12 Для решения задачи можно взять другую формулу, выражающую синус через котангенс: sinα= 11+ctg2α, 0<><>

В результате получим: sin(arcctg(-3))=11+ctg2(arcctg(-3))=11+(-3)2=12

Или возьмите формулу синуса арккотангенса и получите тот же ответ: sin(arcctgα)=11+α2 sin(arcctg(-3))=11+(-3)2=12

</α<1>