Арктангенс угла (arctg): определение, формула, таблица, график, свойства

Что такое обратные тригонометрические функции

К обратным тригонометрическим функциям относятся: арксинус, арккосинус, арктангенс, арккотангенс, арксеканс, арккосеканс.

Если известен некоторый угол α, то по величине этого угла можно найти значения таких тригонометрических функций, как: синус, косинус, тангенс, котангенс, секанс, косеканс, точно так же, зная значение тригонометрической Функция, вы можете рассчитать угол.
Приведем пример, значение синуса угла α равно √2/2
грех (α) = √ 2/2

Чтобы узнать, чему равен угол α, нужно вычислить арксинус этого угла.
arcsin(√2/2) = π/4 радиан
Следовательно, sin(π/4) = √2/2

Значение обратной тригонометрической функции всегда будет в радианах. Чтобы преобразовать радианы в градусы, умножьте угол в радианах на 180 и разделите на π.
В этом случае, поскольку угол π = 180°, мы можем написать:
π/4 радиана = 180/4 градуса = 45°.

Определение

Арктангенс (arctg или arctg) — обратная тригонометрическая функция.

Арктангенс x определяется как функция, обратная тангенсу x, где x — любое число (x∈ℝ).

Если тангенс угла y равен x (tg y = x), то арктангенс x равен y:

arctg x = tg-1 x = y и -π/2<><π>

Примечание: tg-1x означает арктангенс, а не тангенс в степени -1.

Например:

arctg 1 = tg-1 1 = 45° = π/4 рад

График арктангенса

Функция арктангенса записывается как y = arctan(x). Схема в целом выглядит так:

Свойства арктангенса

Ниже в табличной форме представлены основные свойства арктангенса с формулами.

Читайте также: Свойства биссектрисы угла равностороннего (правильного) треугольника

Что такое арккотангенс?

Решим уравнение сtg(x)=1. Для этого построим два графика: y=1 и y=сtg(x). Графики наших функций имеют бесконечное число пересечений. Абсцисса этих точек имеет вид: x= x1 + πk x1 – абсцисса пересечения прямой y= 1 и главной ветви функции y= сtg(x), (0 π).
Для числа x1 введено обозначение арктангенса. Тогда решение нашего уравнения запишется: x= arcсtg(1) + πk.

Определение арккотангенса

arcctg(a) — такое число из интервала , котангенс которого равен a.

Уравнение ctg(x)= a имеет решение: x= arcctg(a) + πk, где k — целое число.

Заметим также: arcctg(-a)= π — arcctg(a).

Таблица арктангенсов и арккотангенсов.

В таблице ниже вы найдете значения обратных тригонометрических функций, например: арктангенса и арктангенса, в градусах и радианах, с некоторыми значениями аргумента.

икс	дуга х	дуга х
	градусов.	счастливый.	градусов.	счастливый.
– ∞	— 90°	–	180°	π
–	— 60°	–	150°
— 1	— 45°	–	135°
–	— 30°	–	120°
0	0°	0	90°
	30°		60°
1	45°		45°
	60°		30°
+ ∞	90°		0°	0

≈ 0,5773502691896258;

≈ 1,7320508075688772.

Получение функции arctg .

Это функция y = tg x. Она кусочно-монотонна во всей своей области определения, поэтому обратное соответствие y = arctg x не является функцией. Поэтому считаем отрезок, где он только возрастает и берем все значения только 1 раз —
. На таком отрезке y = tg x возрастает только монотонно и принимает все значения только 1 раз, т е на отрезке
существует обратный y = arctg x, граф симметричен графу y = tg x на отрезке
относительно прямой y = x.

Нахождение значений по таблицам синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов Брадиса

arcsin, arccos, arctg и arcctg

Для точного значения arcsin, arccos, arctg и arcctg числа a необходимо знать величину угла. Об этом упоминалось в предыдущем разделе. Однако мы не знаем точного значения функции. Если необходимо найти числовую аппроксимацию дуговых функций, воспользуйтесь таблицей синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов Брейди.

Такая таблица позволяет производить достаточно точные расчеты, так как значения даны с точностью до четырех знаков после запятой. Благодаря этому числа выходят с точностью до минуты. Значения arcsin, arccos, arctg и arcctg отрицательных и положительных чисел сводятся к нахождению формул для arcsin, arccos, arctg и arcctg противоположных чисел вида arcsin(-α)=-arcsin α, arccos(-α)=π -arccos α, arctg(- α)=-arctg α, arcctg(-α)=π-arctg α.

Рассмотрим решение нахождения значений arcsin, arccos, arctg и arcctg с помощью таблицы Брейди.

Если нам нужно найти значение арксинуса 0,2857, мы ищем значение, находя таблицу синусов. Мы видим, что это число соответствует значению его угла 16 градусов и 36 минут. Это означает, что дуга числа 0,2857 является искомым углом 16 градусов и 36 минут. Рассмотрим рисунок ниже.

Справа от градусов находятся столбцы, называемые поправками. При желаемом арксинусе 0,2863 используется та же поправка 0,0006, поскольку ближайшим числом будет 0,2857. Итак, благодаря коррекции мы получаем синус 16 градусов 38 минут 2 минуты. Давайте рассмотрим рисунок, изображающий таблицу Брейди.

Бывают ситуации, когда нужного числа нет в таблице, да еще и с изменениями не найти, тогда находятся два ближайших значения синусов. Если искомое число равно 0,2861573, ближайшими значениями будут числа 0,2860 и 0,2863. Эти числа соответствуют значениям синуса 16 градусов 37 минут и 16 градусов 38 минут. Тогда приблизительное значение этого числа можно определить с точностью до минуты.

Таким образом находятся значения arcsin, arccos, arctg и arcctg.

Нахождение значения arcsin, arccos, arctg и arcctg

Чтобы найти арксинус через известный арккосинус заданного числа, нужно воспользоваться тригонометрическими формулами arcsin α + arccos α = π2, arctg α + arcctg α = π2 (нужно смотреть в теме формулы для суммы арккосинуса и арксинуса, суммы арктангенса и арккотангенса).

При известном arcsin α = -π12 необходимо найти значение arccos α, затем необходимо вычислить арккосинус по формуле:

arccos α=π2−arcsin α=π2−(−π12)=7π12.

Если вам нужно найти значение арктангенса или арккотангенса числа а по известному арктангенсу или арккосинусу, то придется делать долгие вычисления, так как стандартных формул нет. Давайте посмотрим на пример.

Если арккосинус числа а задан и равен π10, то таблица тангенсов поможет вычислить арктангенс этого числа. Угол π10 радиан равен 18 градусов, то по таблице косинусов видим, что косинус 18 градусов имеет значение 0,9511, после чего смотрим в таблицу Брадиса.

Ищем значение арктангенса 0,9511, определяем, что значение угла равно 43 градуса 34 минуты. Давайте посмотрим на таблицу ниже.

На самом деле таблица Брадиса помогает найти искомое значение угла и по величине угла позволяет определить количество градусов.

</π>