Биссектриса на прямоугольном треугольнике

Что такое биссектриса в геометрии

Рассмотрим луч, выходящий из вершины угла или его части (отрезка), которая делит угол пополам. Такой луч (или, соответственно, отрезок) называется биссектрисой.

Часто для треугольников определение немного ограничивают, говоря об отрезке, соединяющем вершину угла, делящего его пополам, с точкой на противоположной стороне. При этом рассматривается внутренняя область фигуры.

При этом при решении задач часто используют прямые линии, делящие внешние углы на две равные части.

Биссектриса — свойства, признаки и формулы

Базовым понятием и одним из самых интересных и полезных объектов в школьной математике является биссектриса. С его помощью доказываются многие планиметрические определения и упрощается решение задач.

Известные свойства позволяют рассматривать геометрические фигуры с разных точек зрения. Существуют различия в выборе доказательств.

Появляется возможность использовать инструмент алгебры, например свойство пропорции, находить неизвестные величины, решать алгебраические уравнения при решении геометрических задач.

Прямоугольный треугольник и его свойства:

В прямоугольном треугольнике катеты — это две стороны треугольника, образующие прямой угол. Сторона гипотенузы лежит против прямого угла.

Некоторые свойства прямоугольного треугольника:

1. Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90 градусов.

2. Катет прямоугольного треугольника, противолежащий углу в 30 градусов, равен половине гипотенузы. (Эта нога называется маленькой ногой.)

3. Медиана прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, равна половине и радиусу описанной окружности (R)

4. Медиана прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, делит треугольник на два равнобедренных треугольника, основаниями которых являются катеты этого треугольника.

$CD=AC=CB=R$

5. В прямоугольном треугольнике радиус вписанной окружности равен: $r={a+bc}/{2}$ , где $a$ и $b$ — катеты, $c$ — гипотенуза.

Теорема Пифагора

В прямоугольном треугольнике сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы.

$AC^2+BC^2=AB^2$

Читайте также: Величайшие водопады мира: рейтинг самых полноводных, высоких и значимых каскадов планеты

Соотношение между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике:

В прямоугольном треугольнике $ABC$ с прямым углом $C$

Для острого угла $B: AC$ — противолежащий катет; $ВС$ — соседняя ветвь.

Для острого угла $A: BC$ — противолежащий катет; $AC$ — соседняя нога.

1. Синус (sin) острого угла в прямоугольном треугольнике – это отношение противолежащего катета к гипотенузе.
2. Косинусом (cos) острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе.
3. Тангенс (tg) острого угла прямоугольного треугольника – это отношение противолежащего катета к прилежащему катету.
4. Котангенс (ctg) острого угла прямоугольного треугольника — это отношение прилежащего катета к противолежащему.
5. В прямоугольном треугольнике синус одного острого угла равен косинусу другого острого угла.
6. Синусы, косинусы, тангенсы и котангенсы острых равных углов равны.
7. Синусы смежных углов равны, а косинусы, тангенсы и котангенсы различаются по знаку: для острых углов положительные значения, для тупых углов отрицательные значения

Значения тригонометрических функций некоторых углов:

$α$	$30$	$45$	$60$
$сина$	${1}/{2}$	${√2}/{2}$	${√3}/{2}$
$cosα$	${√3}/{2}$	${√2}/{2}$	${1}/{2}$
$тга$	${√3}/{3}$	$1$	$√3$
$ctga$	$√3$	$1$	${√3}/{3}$

Биссектриса прямоугольного треугольника

Для прямоугольного треугольника одна из биссектрис образует равные углы, значения которых хорошо вычисляются (45 градусов).

Это помогает вычислять углы при решении задач, связанных с фигурами, которые можно представить в виде прямоугольных треугольников или прямоугольников.

В тупоугольном треугольнике биссектриса делит больший угол на равные части, величина которых меньше 90 0 .

Доказательство теоремы

Теорема 1

Биссектриса в вершине треугольника делит противоположную сторону на два отрезка, пропорциональных сторонам, примыкающим к данной вершине.

Доказательство через метод площадей

Биссектриса AD опущена в вершине A. Постройте высоту треугольника AH. Найдите площади треугольников ABD и ACD:

С(АБД)=АХ*БД/2

S(ACD)=AH*DC/2

S(ABD)/S(ACD)=(AH*BD/2)/(AH*DC/2)=BD/DC

С другой стороны, площади треугольников можно найти по формулам:

S(ABD)=AB*AD*sinα/2

S(ACD)=AD*AC*sinα/2

S(ABD)/S(ACD)=(AB*AD*sinα/2)/(AD*AC*sinα/2)=AB/AC ⇒

BD/DC=AB/AC.

Доказательство через теорему синусов

Проведите биссектрису AD из вершины A треугольника ABC.

По теореме синусов для треугольников ABD и ACD:

AB/sin(180-δ)=BD/sinα

AC/sinδ=CD/sinα

(AB/sin(180-δ))/(AC/sinδ)=(BD/sinα)/(CD/sinα) ⇒

АВ/АС=BD/DC.

Доказательство через подобие треугольников

Проведите биссектрису AD из вершины A треугольника ABC.

Из вершин B и C проведите перпендикуляры к лучу AD и отметьте точки пересечения L и K.

Рассмотрим треугольники ABL и ACK. Эти треугольники равны по двум углам (∠ALB=∠AKC, ∠BAL=∠CAK). Затем:

АВ/АС=БЛ/СК

Треугольники BLD и CKD равны, так как ∠BLD=∠CKD, а углы BDL и CDK равны по вертикали. Затем:

BD/CD=BL/CK ⇒

АВ/АС=BD/DC.

Прямая и обратная теорема о свойстве биссектрисы угла

Теорема 2

Каждая точка биссектрисы неразвернутого угла равноудалена от сторон угла, то есть расстояния от точки М до АС и до ВС (стороны угла) равны.

Дан угол ∠BAC, AL — биссектриса, точка M лежит на биссектрисе.

Докажите, что MK=MP.

Доказательство:

Расстояние от точки до прямой равно длине перпендикуляра. Из точки М провести перпендикуляры МК к стороне АВ и МР к стороне АС.

Треугольники AMK и AMP прямоугольные. Они равны, так как имеют общую гипотенузу AM, а углы ∠KAM и ∠PAM равны, так как AL — биссектриса угла ∠BAC.

Таким образом, прямоугольные треугольники равны по гипотенузе и острому углу, поэтому следует, что MK=MP=d.

Следовательно, точка на биссектрисе угла равноудалена от сторон этого угла.

Обратная теорема: если точка равноудалена от сторон нерасширенного угла, то она лежит на биссектрисе.

Дан расширенный угол ВАС, точка М равноудалена от сторон угла.

Докажите, что точка М лежит на биссектрисе угла.

Доказательство:

Расстояние от точки до прямой равно длине перпендикуляра. Из точки М провести перпендикуляры МК к стороне АВ и МР к стороне АС.

Треугольники AMK и AMP прямоугольные. Они равны, так как имеют общую гипотенузу АМ, катеты МК и MR равны по условию.

Таким образом, прямоугольные треугольники равны по гипотенузе и катету.

Подобие соответствующих элементов следует из подобия треугольников: равные углы лежат на равных катетах, значит ∠КАМ=∠ПАМ.

Следовательно, точка М лежит на биссектрисе данного угла.

Примеры решения задач

Задание 1

Даны стороны треугольника ABC: AB=16, AC=4, BC=18. Найдите отрезки, разделив биссектрису длинной стороны треугольника.

Решение:

Поскольку вершина A лежит напротив большей стороны треугольника, биссектриса AD делит сторону BC на отрезки BD и CD. Затем:

АВ/АС=BD/CD

Установите BD=x. Итак, CD=BC-x=18-x. Подключим данные:

16/4=х/(18−х)

4=х/(18−х)

х=4(18−х)

х=72-4х

5х=72

х=14,4=БД

CD=BC-x=18-x=18-14,4=3,6.

Ответ: 14,4; 3.6.

Задача 2

Дан прямоугольный треугольник с катетами 6 см и 8 см. Найдите длину биссектрисы, проведенной к гипотенузе.

Решение:

По теореме Пифагора:

ВС2 = АВ2 + АС2 = 62 + 82 = 100.

ВС = 10 см.

По свойству 1 составим пропорцию, приняв за единицу отрезок BD на гипотенузе (тогда DC = 10-а):

БД/постоянный ток=АВ/переменный ток

а/(10-а)=6/8

8а=60-6а

14а=60

а≈4

BD=4, DC=10-a=10-4=6.

По свойству 4 вычисляем длину биссектрисы:

AD2 = AB*AC — BD*DC =6*8-4*6=24

Н.э.≈4,9.

Ответ: 4,9 см.