Чему равен куб суммы: формула, доказательство, пример

Формулы сокращенного умножения

Вместо букв a, b это может быть любое число, переменная или даже целочисленное выражение. Чтобы быстро решать задачи, лучше выучить наизусть основные 7 формул сокращенного умножения (ФСУ). Да, алгебра такая, надо быть готовым многое запоминать.

Ниже представлена ​​удобная таблица, которую можно распечатать и использовать как закладку для быстрого запоминания формул.

Читайте также: Миля квадратная в метр квадратный, калькулятор онлайн, конвертер

Как читать формулы сокращенного умножения

Научитесь произносить формулы сокращенного выражения:

1. Разность между квадратами двух выражений равна произведению их разности на их сумму.
2. Квадрат суммы двух выражений равен квадрату первого плюс удвоенное произведение первого и второго плюс квадрат второго.
3. Квадрат разности двух выражений равен квадрату первого минус удвоенное произведение первого и второго плюс квадрат второго.
4. Сумма кубов двух выражений равна произведению суммы первого и второго на неполный квадрат их разности.
5. Разность кубов двух выражений равна произведению разности первого и второго выражений на неполный квадрат их суммы.
6. Куб суммы двух выражений равен кубу первого плюс утроенное произведение квадрата первого на второе плюс утроенное произведение первого на квадрат второго плюс куб второй.
7. Куб разности двух выражений равен кубу первого минус утроенное произведение квадрата первого и второго плюс утроенное произведение первого на квадрат второго минус куб второго.

Доказательство формул сокращенного умножения

Помните, что разность квадратов двух чисел a и b равна произведению их разности на их сумму: a2 — b2 = (a — b) * (a + b).

Другими словами, произведение суммы а и b на их разность равно разности их квадратов: (а — b) * (а + b) = а2 — b2.

Важно знать, что разность квадратов не равна квадрату разности: a2 — b2 ≠ (a — b)2.

Докажем, что a2 — b2 = (a — b) * (a + b).

Идти:

1. Искусственным методом сложим и вычтем одно и то же a * b.+ а * б — а * б = 0

   а2 — Ь2 = а2 — Ь2 + аб — аб

1. Сгруппируйте по-разному: a2 — b2 + a * b — a * b = a2 — a * b + a * b — b2
2. Продолжим группировку: a2 — a * b — b2 + a * b = (a2 — a * b) + (a * b — b2)
3. Вынесем общие множители за скобки:(a2 — a * b) + (a * b — b2) = a * (a — b) + b * (a — b)

1. Вынесем за скобки (a — b) a * (a — b) + b * (a — b) = (a — b) * (a + b)
2. Результат доказательства: a2 — b2 = (a — b) * (a + b)
3. Чтобы доказать в обратном направлении: (a — b) * (a + b) = a2 — b2, нужно раскрыть скобки: (a — b) * (a + b) = a * a + a * b — б * а — б * б = а2 — б2.

Аналогичным методом можно доказать остальные ФСО.

Дополнительные формулы сокращенного умножения

В таблицу основных ФСО следует добавить еще несколько важных тождеств, которые будут полезны при решении задач.

Бином Ньютона

Формула разложения в отдельные члены целой неотрицательной степени суммы двух переменных. Записывается следующим образом:

Пример вычисления биномиальных коэффициентов, находящихся в строке номер девять треугольника Паскаля:

БСС квадрата и куба суммы и разности являются частными случаями биномиальной формулы Ньютона для n = 2 и n = 3.

Формула возведения в квадрат суммы трех, четырех и более слагаемых

Полезно, если в сумме больше двух членов, которые нужно возвести в степень.

(a1+a2+…+an)2 = a12 + a22 + … + an-12 + an2 + 2 * a1 * a2 + 2 * a1 * a3 + 2 * a1 * a4 + … +

+ 2 * a1 * an-1 + 2 * a1 * an + 2 * a2 * a3 + 2 * a2 * a4 +… + 2 * a2 * an-1 + 2 * a2 * an +…+

+2*ан-1*ан

Читается оно так: квадрат суммы n слагаемых равен сумме квадратов всех этих слагаемых и удвоенному произведению всех возможных пар этих слагаемых.

Формула разности n-ых степеней двух слагаемых

an − bn = (a − b) * (an-1 + an-2 * b + an-3 * b2 +… + a * bn-2 + bn-1).

Для четных чисел вы можете написать это так:

a2*m − b2*m = (a2 − b2) *(a2*m−2 + a2*m−4 * b2 + a2*m−6 * b4 + … + b2*m−2).

Для нечетных показателей:

a2*m+1 − b2* m+1 = (a − b) * (a2*m + a2*m−1 * b + a2*m−2 * b2 + … + b2*m).

Частными случаями являются формулы для разности квадратов и кубов при n = 2 и n = 3. Для разности кубов b также можно заменить на −b.

Формула куба суммы

Куб суммы слагаемых a и b равен кубу a плюс три умножения на квадрат a на b плюс три умножения на квадрат b на a плюс куб b.

(а + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

Формула эквивалентна в обратном порядке:

a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 = (a + b)3

Доказательство формулы

Куб числа/выражения есть его возведение в третью степень. Представим наше выражение в виде куба:
(а + b)3 = (а + b)(а + b)(а + b).

Умножаем скобки, учитывая правила арифметики:
(a + b)(a + b)(a + b) = (a + b)(a + b)2 = (a + b)(a2 + 2ab + b2) = a3 + 2a2b + ab2 + a2b + 2ab2 + b3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3.

Примечание: при раскрытии скобок использовалась формула квадрата суммы:
(а + b)2 = а2 + 2ab + b2.

Неполный квадрат суммы

Выражение:

а2 + 2аб + б2

является квадратом суммы, также называемым целым квадратом суммы, по отношению к выражению:

а2 + аб + Ь2,

который называется неполным квадратом суммы. Неполный квадрат суммы – это сумма квадратов двух чисел и их произведения. Неполный квадрат суммы отличается от полного квадрата только произведением чисел, которые не удваиваются.

Пример

Чему равен куб суммы (5x + 7y)3?

Решение
Воспользуемся формулой сокращенного умножения:
(5x + 7y)3 = (5x)3 + 3 ⋅ (5x)2 ⋅ 7y + 3 ⋅ 5x ⋅ (7y)2 + (7y)3 = 125×3 + 525x2y + 735xy2 + 343y3

Обследование
Перемножим три одинаковые скобки:
(5x + 7y)3 = (5x + 7y)(5x + 7y)(5x + 7y) = (5x + 7y)(5x + 7y)2 = (5x + 7y)(25×2 + 70xy + 49y2) = 125×3 + 350x2y + 245xy2 + 175x2y + 490xy2 + 343y3 = 125×3 + 525x2y + 735xy2 + 343y3

Решение задач

Давайте потренируемся и рассмотрим примеры с дробями.

Задание 1

Что делать: вычислить квадрат произведения (55 + 10)2.

Как решить: используем формулу суммы квадратов: (55+10)2=552+2*55*10+102=3025+1100+100=4225.

Задание 2

Что делать: упростить выражение 64*с3 — 8.

Как решаем: используем разность кубов: 64*s3 — 8 = (4*s) 3 — 23 = (4*s — 2) ((4*s) 2 + 4*s * 2 + 22) = (4*с — 2) (16*с2+8*с+4).

Задание 3

Что делать: раскроем скобки (7*у — х)*(7*у+х).

Как мы решаем:

1. Умножьте: (7 * у — х) * (7 * у + х) = 7 * у * 7 * у + 7 * у * х — х * 7 * у — х * х = 49 * у2 + 7 * у * х — 7 * у * х — х2 = 49 * у2 — х2.
2. Воспользуемся приведенной формулой умножения: (7 * у — х) * (7 * у + х) = (7 * у)2 — х2 = 49 * у2 — х2.

Не стоит бояться многочленов, просто выполняйте каждую операцию по порядку. С формулами быстрее и удобнее решать задачи — сохраняйте шпаргалку, запоминайте и радуйте учителей 🙂