- Формулы сокращенного умножения
- Как читать формулы сокращенного умножения
- Доказательство формул сокращенного умножения
- Дополнительные формулы сокращенного умножения
- Бином Ньютона
- Формула возведения в квадрат суммы трех, четырех и более слагаемых
- Формула разности n-ых степеней двух слагаемых
- Формула куба суммы
- Доказательство формулы
- Неполный квадрат суммы
- Пример
- Решение задач
- Задание 1
- Задание 2
- Задание 3
Формулы сокращенного умножения
Вместо букв a, b это может быть любое число, переменная или даже целочисленное выражение. Чтобы быстро решать задачи, лучше выучить наизусть основные 7 формул сокращенного умножения (ФСУ). Да, алгебра такая, надо быть готовым многое запоминать.
Ниже представлена удобная таблица, которую можно распечатать и использовать как закладку для быстрого запоминания формул.
Читайте также: Миля квадратная в метр квадратный, калькулятор онлайн, конвертер
Как читать формулы сокращенного умножения
Научитесь произносить формулы сокращенного выражения:
- Разность между квадратами двух выражений равна произведению их разности на их сумму.
- Квадрат суммы двух выражений равен квадрату первого плюс удвоенное произведение первого и второго плюс квадрат второго.
- Квадрат разности двух выражений равен квадрату первого минус удвоенное произведение первого и второго плюс квадрат второго.
- Сумма кубов двух выражений равна произведению суммы первого и второго на неполный квадрат их разности.
- Разность кубов двух выражений равна произведению разности первого и второго выражений на неполный квадрат их суммы.
- Куб суммы двух выражений равен кубу первого плюс утроенное произведение квадрата первого на второе плюс утроенное произведение первого на квадрат второго плюс куб второй.
- Куб разности двух выражений равен кубу первого минус утроенное произведение квадрата первого и второго плюс утроенное произведение первого на квадрат второго минус куб второго.
Доказательство формул сокращенного умножения
Помните, что разность квадратов двух чисел a и b равна произведению их разности на их сумму: a2 — b2 = (a — b) * (a + b).
Другими словами, произведение суммы а и b на их разность равно разности их квадратов: (а — b) * (а + b) = а2 — b2.
Важно знать, что разность квадратов не равна квадрату разности: a2 — b2 ≠ (a — b)2.
Докажем, что a2 — b2 = (a — b) * (a + b).
Идти:
- Искусственным методом сложим и вычтем одно и то же a * b.+ а * б — а * б = 0
а2 — Ь2 = а2 — Ь2 + аб — аб
- Сгруппируйте по-разному: a2 — b2 + a * b — a * b = a2 — a * b + a * b — b2
- Продолжим группировку: a2 — a * b — b2 + a * b = (a2 — a * b) + (a * b — b2)
- Вынесем общие множители за скобки:(a2 — a * b) + (a * b — b2) = a * (a — b) + b * (a — b)
- Вынесем за скобки (a — b) a * (a — b) + b * (a — b) = (a — b) * (a + b)
- Результат доказательства: a2 — b2 = (a — b) * (a + b)
- Чтобы доказать в обратном направлении: (a — b) * (a + b) = a2 — b2, нужно раскрыть скобки: (a — b) * (a + b) = a * a + a * b — б * а — б * б = а2 — б2.
Аналогичным методом можно доказать остальные ФСО.
Дополнительные формулы сокращенного умножения
В таблицу основных ФСО следует добавить еще несколько важных тождеств, которые будут полезны при решении задач.
Бином Ньютона
Формула разложения в отдельные члены целой неотрицательной степени суммы двух переменных. Записывается следующим образом:
Пример вычисления биномиальных коэффициентов, находящихся в строке номер девять треугольника Паскаля:
БСС квадрата и куба суммы и разности являются частными случаями биномиальной формулы Ньютона для n = 2 и n = 3.
Формула возведения в квадрат суммы трех, четырех и более слагаемых
Полезно, если в сумме больше двух членов, которые нужно возвести в степень.
(a1+a2+…+an)2 = a12 + a22 + … + an-12 + an2 + 2 * a1 * a2 + 2 * a1 * a3 + 2 * a1 * a4 + … +
+ 2 * a1 * an-1 + 2 * a1 * an + 2 * a2 * a3 + 2 * a2 * a4 +… + 2 * a2 * an-1 + 2 * a2 * an +…+
+2*ан-1*ан
Читается оно так: квадрат суммы n слагаемых равен сумме квадратов всех этих слагаемых и удвоенному произведению всех возможных пар этих слагаемых.
Формула разности n-ых степеней двух слагаемых
an − bn = (a − b) * (an-1 + an-2 * b + an-3 * b2 +… + a * bn-2 + bn-1).
Для четных чисел вы можете написать это так:
a2*m − b2*m = (a2 − b2) *(a2*m−2 + a2*m−4 * b2 + a2*m−6 * b4 + … + b2*m−2).
Для нечетных показателей:
a2*m+1 − b2* m+1 = (a − b) * (a2*m + a2*m−1 * b + a2*m−2 * b2 + … + b2*m).
Частными случаями являются формулы для разности квадратов и кубов при n = 2 и n = 3. Для разности кубов b также можно заменить на −b.
Формула куба суммы
Куб суммы слагаемых a и b равен кубу a плюс три умножения на квадрат a на b плюс три умножения на квадрат b на a плюс куб b.
(а + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
Формула эквивалентна в обратном порядке:
a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 = (a + b)3
Доказательство формулы
Куб числа/выражения есть его возведение в третью степень. Представим наше выражение в виде куба:
(а + b)3 = (а + b)(а + b)(а + b).
Умножаем скобки, учитывая правила арифметики:
(a + b)(a + b)(a + b) = (a + b)(a + b)2 = (a + b)(a2 + 2ab + b2) = a3 + 2a2b + ab2 + a2b + 2ab2 + b3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3.
Примечание: при раскрытии скобок использовалась формула квадрата суммы:
(а + b)2 = а2 + 2ab + b2.
Неполный квадрат суммы
Выражение:
а2 + 2аб + б2
является квадратом суммы, также называемым целым квадратом суммы, по отношению к выражению:
а2 + аб + Ь2,
который называется неполным квадратом суммы. Неполный квадрат суммы – это сумма квадратов двух чисел и их произведения. Неполный квадрат суммы отличается от полного квадрата только произведением чисел, которые не удваиваются.
Пример
Чему равен куб суммы (5x + 7y)3?
Решение
Воспользуемся формулой сокращенного умножения:
(5x + 7y)3 = (5x)3 + 3 ⋅ (5x)2 ⋅ 7y + 3 ⋅ 5x ⋅ (7y)2 + (7y)3 = 125×3 + 525x2y + 735xy2 + 343y3
Обследование
Перемножим три одинаковые скобки:
(5x + 7y)3 = (5x + 7y)(5x + 7y)(5x + 7y) = (5x + 7y)(5x + 7y)2 = (5x + 7y)(25×2 + 70xy + 49y2) = 125×3 + 350x2y + 245xy2 + 175x2y + 490xy2 + 343y3 = 125×3 + 525x2y + 735xy2 + 343y3
Решение задач
Давайте потренируемся и рассмотрим примеры с дробями.
Задание 1
Что делать: вычислить квадрат произведения (55 + 10)2.
Как решить: используем формулу суммы квадратов: (55+10)2=552+2*55*10+102=3025+1100+100=4225.
Задание 2
Что делать: упростить выражение 64*с3 — 8.
Как решаем: используем разность кубов: 64*s3 — 8 = (4*s) 3 — 23 = (4*s — 2) ((4*s) 2 + 4*s * 2 + 22) = (4*с — 2) (16*с2+8*с+4).
Задание 3
Что делать: раскроем скобки (7*у — х)*(7*у+х).
Как мы решаем:
- Умножьте: (7 * у — х) * (7 * у + х) = 7 * у * 7 * у + 7 * у * х — х * 7 * у — х * х = 49 * у2 + 7 * у * х — 7 * у * х — х2 = 49 * у2 — х2.
- Воспользуемся приведенной формулой умножения: (7 * у — х) * (7 * у + х) = (7 * у)2 — х2 = 49 * у2 — х2.
Не стоит бояться многочленов, просто выполняйте каждую операцию по порядку. С формулами быстрее и удобнее решать задачи — сохраняйте шпаргалку, запоминайте и радуйте учителей 🙂