Чему равна сумма кубов: формула, доказательство, примеры

Формулы сокращенного умножения

Вместо букв a, b могут использоваться любые числа, переменные или даже целые выражения. Для быстрых решений задач лючешь выучить основы 7 форум ручного умножения (ФСУ) наизусть. Да, алгебра такая, неужно быть готовим много запоминать.

Ниже представлена ​​удобная таблица, которую можно распечатать и использовать как закладку для быстрого запоминания формул.

Читайте также: Признаки равенства прямоугольных треугольников с примерами вычисления и решения

Как читать формулы сокращенного умножения

Учимся произносить формулы сокращенного выражения:

1. Разность квадратов двух времен ревана продукты их разности и их суммы.
2. Квадрат суммы двух выражений равен квадрату первого плюс удвоенное произведение первого на второе плюс квадрат второго.
3. Квадрат разности двух выражений равен квадрату первого минус удвоенное произведение первого на второе плюс квадрат второго.
4. Сумма кубов двух выражений равна произведению суммы первого и второго на неполный квадрат их разности.
5. Разность между кубами двух выражений равна произведению разности между первым и вторым на неполный квадрат их суммы.
6. Куб суммы двух выражений равен кубу первого плюс утроенное произведение квадрата первого на второе плюс тройка квадрата первого на квадрат второго плюс куб второго.
7. Куб разности двух выражений равен кубу первого минус утроенное произведение квадрата первого на второе плюс тройка квадрата первого на квадрат второго минус куб второго.

Доказательство формул сокращенного умножения

Вспомните, что разность краватов двух чисел a и b ревана продукты их разности и их суммы: a2 — b2 = (a — b) * (a + b).

В противном случае сумма a и b равна разности двух квадратов: (a — b) * (a + b) = a2 — b2.

Важно знать, что разность квадратов не ревана квадрату разности: a2 — b2 ≠ (a — b)2.

Докажем, что a2 — b2 = (a — b) * (a + b).

Они пошли:

1. Используя искусственный метод, мы складываем и вычитаем одну вещь, а также a * b.+ а * б — а * б = 0

   а2 — Ь2 = а2 — Ь2 + аб — аб

1. Сгрупприем одна: a2 — b2 + a * b — a * b = a2 — a * b + a * b — b2
2. Продолжим группировать: а2 — а * b — b2 + а * b = (а2 — а * b) + (а * b — b2)
3. Возьмем общие множители для скобок:(a2 — a * b) + (a * b — b2) = a * (a — b) + b * (a — b)

1. Выносим за скобки (a — b) а * (а — b) + b * (а — b) = (а — b) * (а + b)
2. Результат: a2 — b2 = (a — b) * (a + b)
3. Для того, что выясняется в выявлении строения: (a — b) * (a + b) = a2 — b2, неужно сопричтите скобки: (a — b) * (a + b) = a * a + a * b — б * а — б * б = а2 — б2.

Таким же методом можно доказать и остальные ФСУ.

Формула суммы кубов

Сумма кубов чисел/выражений равна произведению их сумм на неполный квадрат их разности.

a3 + b3 = (a + b)(a2 – ab + b2)

Полный квадрат разности выглядит так: (a – b)2 = a2 – 2ab + b2. В нашем случае во второй скобке вместо удвоенного произведения стоит одинарное произведение, поэтому выражение называется неполным.

Формула правильная и правая-левая:

(а + b)(a2 – ab + b2) = a3 + b3

Примечание: a3 + b3 ≠ (a + b)3

Доказательство формулы

Убедиться в правильности выражения можно, просто перемонживив скобки, следуя правилам арифметики при их открытии. Давайте так и сделаем:

(a + b)(a2 – ab + b2) = a3 – a2b + ab2 + a2b – ab2 + b3 = a3 + b3.

Разность кубов двух выражений

Найдем продукт двучлена
и трехчлена
. По правилу умножения многоэлементного на многоэлементное получаем:

Итак, мы получили тождество:

, которые находят формулой разности кубов двух врезей.

Многочлен
, стоящий в правой части, выглядит как многочленный
, что равно квадрату суммы
и
, так много членов
найти непольским квадратом суммы.

Правило:

Разность кубов двух выражений равна произведению разности этих выражений на неполный квадрат их суммы.

Пример:

Разместите на множители .

Решение:

Используя свойства степеней, представим этот полином как разность кубов двух выражений, получим:

Дополнительные формулы сокращенного умножения

К таблице базовых ФСУ следует добавить еще несколько важных тождеств, полезных для решения задач.

Бином Ньютона

Формула разложения на отдельные члены всей неотрицательной степени суммы двух переменных. Записано так:

Пример расчета биномиальных коэффициентов, стоящих в очереди под номером n в треугольнике Паскаля:

ФСУ для кварта и куба суммы и разности — частные случаи биномиальной формулы Ньютона при n = 2 и n = 3.

Формула возведения в квадрат суммы трех, четырех и более слагаемых

Полезно, если сумма сумм, которые нужно возвести в степень, больше двух.

(a1+a2+…+an)2 = a12 + a22 + … + an-12 + an2 + 2 * a1 * a2 + 2 * a1 * a3 + 2 * a1 * a4 + … +

+ 2 * a1 * an-1 + 2 * a1 * an + 2 * a2 * a3 + 2 * a2 * a4 + … + 2 * a2 * an-1 + 2 * a2 * an +…+

+2*ан-1*ан

Читается так: квадрат суммы n слагаемых равен сумме квадратов всех этих слагаемых и удвоенных произведений всех возможных пар этих слагаемых.

Формула разности n-ых степеней двух слагаемых

ан − bn = (a − b) * (an-1 + an-2 * b + an-3 * b2 + … + a * bn-2 + bn-1).

Для четных показателей можно записать так:

a2*m − b2*m = (a2 − b2) *(a2*m−2 + a2*m−4 * b2 + a2*m−6 * b4 + … + b2*m−2).

Для нечетных показателей:

a2*m+1 − b2*·m+1 = (a − b) * (a2*m + a2*m−1 * b + a2*m−2 * b2 + … + b2*m).

Частные кассовые работы разности квартир и кубов при n = 2 и n = 3.

Примеры задач

задание 1
Разместите на множественных выражениях: 63 + (4x)3.

Решение
63 + (4x)3 = (6 + 4x)(62 – 6 ⋅ 4x + (4x)2) = (6 + 4x)(36 – 24x + 16×2)

Задание 2
Разложения выражения на продукт множителей: (7x)3 + (3y2)3.

Решение
(7x)3 + (3y2)3 = (7x + 3y2)((7x)2 – 7x ⋅ 3y2 + (3y)2) = (7x + 3y2)(49×2 – 21xy2 + 9y2)

Задание 3
Представим выражение 64×3+125 в виде суммы кубов и разделим на множители.

Решение
64×3 + 125 = (4x)3 + 53 = (4x + 5)((4x)2 – 4x ⋅ 5 + 52) = (4x + 5)(16×2 – 20x + 25)

Задание 1

Что делать: вычислить квадрат произведения (55 + 10)2.

Как решаем: воспользуемся формулой квартата суммы: (55 + 10)2 = 552 + 2 * 55 * 10 + 102 = 3025 + 1100 + 100 = 4225.

Задание 2

Что делать: упростить выражение 64*с3 – 8.

Как решаем: предменим разность кубов: 64 * с3 – 8 = (4 * с)3 – 23 = (4 * с – 2)((4 * с)2 + 4 * с * 2 + 22) = (4 * с) – 2)(16*с2+8*с+4).

Задание 3

Что доставить: раскрыть скобки (7*у — х)*(7*у+х).

Как решить:

1. Произведем умножение: (7 * у — х) * (7 * у + х) = 7 * у * 7 * у + 7 * у * х — х * 7 * у — х * х = 49 * у2 + 7 * у * х — 7 * у * х — х2 = 49 * у2 — х2.
2. Используем формулу ручечкового умножения: (7 * у — х) * (7 * у + х) = (7 * у)2 — х2 = 49 * у2 — х2.

Многочленовться бояться не стоит, просто просмотрите сочественный красивейший каке. С формулами решайте задачи быстрее и удобнее — сохраняйте шпаргалку, запоминайте и радуйте учителей 🙂