Числа Фибоначчи: что, как и почему

Кто такой Фибоначчи?

Леонардо Пизанский считается самым первым великим математиком в средневековой европейской истории. Несмотря на это, свое знаменитое прозвище «Фибоначчи» ученый получил не из-за выдающихся математических способностей, а из-за своего везения, поскольку «боначчи» в переводе с итальянского означает «везучий». Прежде чем стать одним из самых известных математиков раннего Средневековья, Леонардо Пизанский изучал точные науки у самых передовых учителей своего времени, которыми считались арабы. Именно благодаря этой деятельности Фибоначчи в Европе появилась десятичная система счисления и арабские цифры, которыми мы пользуемся до сих пор.

В одной из своих самых известных работ, Liber abaci, Леонардо Пизанский приводит уникальный набор чисел, которые при размещении в ряд образуют ряд чисел, каждое из которых является суммой двух предыдущих чисел.

Последовательность Фибоначчи

Другими словами, последовательность Фибоначчи выглядит так:
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987 и так далее.

Каждое число из ряда Фибоначчи, деленное на следующее, имеет значение, стремящееся к уникальному показателю степени, равному 1,618. Первые числа в ряду Фибоначчи не дают такого точного значения, но по мере их роста соотношение постепенно выравнивается и становится все более и более точным.

Леонардо Пизанский — тот самый создатель числа Фибоначчи

Определение чисел Фибоначчи

Последовательность Фибоначчи (число) называется повторяющейся последовательностью 2-го порядка, определяемой рекурсивной формулой

хп = хп — 1 + хп — 2, п > 2

(1)

с начальными условиями

х1 = 1, х2 = 1 .

(2)

Другими словами, последовательность Фибоначчи — это такая последовательность, в которой первые два члена равны 1, а каждый член, начиная с третьего члена, равен сумме двух предыдущих членов.

Итак, числа

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55

являются первыми десятью членами последовательности Фибоначчи.

Комментарий. Определения рекурсивной последовательности, рекурсивной формулы, характеристического уравнения и формулы общего решения рекуррентных уравнений приведены в разделе «Рекуррентные последовательности: рекурсивная формула, характеристическое уравнение» нашего пособия.

ЧИСЛА ФИБОНАЧЧИ И ЗОЛОТОЕ СЕЧЕНИЕ

В математике на основе последовательности Фибоначчи можно построить множество квадратов со сторонами, равными элементам этой последовательности. Прибавляя каждый квадрат из этого набора к сторонам двух предыдущих квадратов, мы всегда будем получать прямоугольник, стороны которого равны двум последовательным числам Фибоначчи. И, наконец, если мы решим вместить в каждый из этих квадратов четверть круга, то получим приближение к известной золотой спирали, используемой в архитектуре. На первый взгляд это описание может показаться сложным, но если посмотреть на рисунок, то все сразу становится на свои места.

В этом примере наиболее четко видна связь между последовательностью Фибоначчи и золотым сечением, которое используется для построения золотой спирали. Но есть еще более явная связь между числами Фибоначчи и золотым сечением — последнее можно получить непосредственно из отношения двух чисел Фибоначчи! Как известно, золотое сечение — это иррациональное число (то есть его нельзя выразить в рациональных дробях — проще говоря, это число с бесконечным числом знаков после запятой), примерно равное 1,618. А теперь попробуем разделить каждое следующее число Фибоначчи на предыдущее, начиная с единицы: 1/1 = 1; 2/1 = 2; 3/2 = 1,5; 5/3 ≈ 1,666; 8/5 = 1,6; 13/8 = 1,625. Продолжая такие расчеты, мы будем все ближе и ближе подбираться к реальному значению золотого сечения!

Читайте также: Косинус острого угла (cos): определение, формула, таблица, график, свойства

ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ НА БАЗЕ ЧИСЕЛ ФИБОНАЧЧИ

За столетия изучения чисел Фибоначчи ученые придумали множество вариаций классической последовательности. Например, зная формулу чисел Фибоначчи, мы можем вычислить числа, которые должны стоять перед единицей, тогда мы получим последовательность Фибоначчи с отрицательными членами:

…, –8, 5, –3, 2, –1, 1, 0, 1, 1, 2, 3, 5, …

Еще один способ изменить последовательность Фибоначчи — добавить для получения следующего члена не два предыдущих, а три, четыре или даже больше элементов. В случае трех слагаемых последовательность будет называться числами Трибоначчи и будет иметь следующий вид:

0, 0, 1, 1, 2, 4, 7, 13, 24, 44, …

В результате многовековых исследований числа Фибоначчи и производные от них последовательности стали одними из наиболее изученных в теории чисел. Неудивительно, что помимо приведенных выше примеров существует большое количество практических применений чисел Фибоначчи.

«Случайные» числа Фибоначчи

Одним из самых необычных примеров использования чисел Фибоначчи в современной математике и информатике является генерация псевдослучайных чисел. Для исследователей всех областей науки вопрос о случайных числах в последнее время стал очень важным. Но что такое случайное число?

Кости из Римской империи Кости из Римской империи

Не вдаваясь в сложные математические выкладки, можно понять это на простом примере. Представьте, что вам нужно выбирать между двумя блюдами — например, гречка и макароны. В этом случае у вас нет четких предпочтений. Очевидное решение — подбросить монету и решить, где выпал орел, а где решка. Если вы говорите, что орел один, а решка ноль, подбрасывание монеты может дать вам определенное число. Это число, связанное с конкретным исходом события, которое будет случайным числом или, говоря более научным языком, случайной величиной. Другой пример получения случайной величины — бросание игральной кости, где каждому результату соответствует число от 1 до 6.

На первый взгляд действительно кажется, что для получения случайного числа нужно всего лишь подбросить монету или кубик N раз. До изобретения компьютеров люди часто обходились именно так. Но с появлением первых компьютеров и усложнением научных задач исследователям во всех областях науки требовалось все больше и больше случайных чисел. Эти числа оказались наиболее важными для специалистов по численному моделированию и оптимизации — именно для их экспериментов нужны были в первую очередь большие массивы случайных чисел.

Косвенным примером важности и необходимости этих чисел является очень популярная в XX веке книга американского исследовательского центра RAND «Миллион случайных цифр со 100 000 нормальных отклонений», издававшаяся на протяжении полувека. Основной контент представлял собой миллион случайных чисел, написанных по 2500 цифр на странице.

Игра в кости во время древнеримского фестиваля Сатурналии. Римская фреска в Помпеях Игра в кости во время древнеримского фестиваля Сатурналии. Римская фреска в Помпеях

Из статьи английского ученого Фрэнсиса Гальтона 1890 года: «Когда я задался целью получить действительно случайное число, я не нашел для этого ничего лучше обычного игрального кубика. После того, как игральные кости потрясены и брошены в корзину, они ударяются друг о друга и о стенки корзины таким непредсказуемым образом, что даже после небольшого броска становится совершенно невозможно предугадать исход. Для получения случайных чисел в разных странах тоже использовали свои методы. В Китае в 11 веке до нашей эры панцирь черепахи был разбит, а полученные осколки были интерпретированы как генерирующие случайные числа.

Возвращаясь от важности случайных чисел в науке к числам Фибоначчи, стоит отметить, что современный компьютер сам по себе не способен генерировать случайные числа. Поэтому для расчетов исследователи придумали такую ​​штуку, как генератор псевдослучайных чисел. Не вдаваясь в технические подробности, можно сказать, что почти все случайные числа, используемые сегодня в науке и в повседневной жизни, на самом деле являются псевдослучайными. Это значит, что они действительно строятся по какому-то алгоритму и даже повторяются с определенным периодом.

Учитывая, что такие псевдослучайные числа часто используются для генерации паролей и ключей шифрования, легко понять, насколько важна надежность этих генераторов. На практике наиболее важным периодом для генератора является количество чисел, после которого генератор снова начинает генерировать ту же последовательность. И вот в этой сфере и пригодились уже известные числа Фибоначчи! В 1950-х годах американские исследователи предложили метод генерации псевдослучайных чисел на основе последовательности Фибоначчи, а позже это изобретение привело к появлению целого семейства генераторов, которые используются до сих пор.

Таким образом, небольшая проблема средневекового итальянского ученого Леонардо Пизанского оказала огромное влияние на последующее развитие математики и даже затмила его гораздо более важное предложение использовать индийскую систему счисления. Сейчас нас окружает огромное количество предметов и изобретений, которые основаны на решении этой маленькой задачи, а медоносные пчелы и генераторы псевдослучайных чисел — лишь часть вселенной Фибоначчи.

Формула последовательности Фибоначчи

Например:

• F0 = 0
• F1=1
• F2=F1+F0=1+0=1
• F3=F2+F1=1+1=2
• F4=F3+F2=2+1=3
• F5=F4+F3=3+2=5

Таблица последовательности Фибоначчи

н	Фн
0	0
1	1
2	1
3	2
4	3
5	5
6	8
7	1. 3
8	21
9	34
10	55
11	89
12	144
1. 3	233
14	377
15	610
16	987
17	1597
18	2584
19	4181
20	6765

Где используется число Фибоначчи

Благодаря широкому использованию в природе золотое сечение (так иногда называют число Фибоначчи в искусстве и математике) считается одним из самых гармонизирующих законов мироздания, который упорядочивает строение окружающего нас мира и направляет жизнь к развитию. Так, правило золотого сечения используется природой при формировании путей вихревых течений в ураганах, при формировании эллиптических галактик, к которым относится и наш Млечный Путь, при «построении» раковины улитки или человеческого уха, направляет движение косяка рыб и показывает путь испуганного стада оленей, убегающих от хищника.

Проявление золотого сечения в природе

Эстетика такой гармонизации мироздания воспринимается человеком, всегда стремившимся улучшить окружающую его действительность, как закон, стабилизирующий природу. Когда мы находим золотую пропорцию в лице того или иного человека, мы инстинктивно воспринимаем собеседника как гармоничную личность, развитие которой происходит без ошибок и нарушений. Это может объяснить, почему иногда по неизвестным причинам нам нравится одно лицо больше, чем другое. Оказывается, природа позаботилась о наших возможных симпатиях!

Как вы думаете, широкое использование числа Фибоначчи в природе — совпадение или свидетельство некоего вселенского разума? Попробуем обсудить этот вопрос в нашем Telegram-чате.

Наиболее распространенное определение золотого сечения гласит, что меньшая часть связана с большей частью, так как большая часть связана с целым. Уникальное правило встречается во всех областях природы, науки и искусства, что позволяет некоторым выдающимся ученым Средневековья предположить, что три основные части золотого сечения представляют христианских Отца, Сына и Святого Духа.

Даже галактики следуют правилу золотого сечения. Наш Млечный Путь не является исключением в этом отношении

Что такое спираль Фибоначчи

Золотая спираль или спираль Фибоначчи представляет собой логарифмическую спираль. Коэффициент роста равен φ4, где φ — золотое сечение. Он показывает, во сколько раз изменился полярный радиус спирали, когда она повернулась на угол 360 градусов.

А вот еще вопрос, связанный с Фибоначчи: почему красивые вещи делают людей счастливее

Эта спираль названа так из-за ее соединения с последовательностью вложенных друг в друга прямоугольников с соотношением сторон, равным φ, которые обычно называют золотыми. Золотая спираль стала популярной потому, что известная с начала XVI века и используемая в искусстве спираль, построенная по методу Дюрера, идеально подходила для решения ее задач.

Пояснение о рекурсии

Рекурсия – это определение, описание, образ объекта или процесса, который содержит этот объект или сам процесс. То есть объект или процесс фактически является частью самого себя.

Рекурсия находит широкое применение в математике и информатике, и даже в искусстве и популярной культуре.

Числа Фибоначчи определяются с помощью рекурсивного соотношения. Для числа n>2 n-е число равно (n — 1) + (n — 2).

Пояснение о золотом сечении

Золотое сечение — это деление целого (например, отрезка) на такие части, которые соотносятся по следующему принципу: большая часть относится к меньшей так же, как и целое значение (например, сумма из двух сегментов) на большую часть.

Первое упоминание о золотом сечении можно найти в трактате Евклида «Начала» (ок. 300 г до н э.). В контексте построения правильного прямоугольника.

Привычный нам термин в 1835 году ввел немецкий математик Мартин Ом.

Если описывать золотое сечение примерно, то это пропорциональное деление на две разные части: примерно 62% и 38%. В числовом выражении число золотой середины равно 1,6180339887.

Золотое сечение находит практическое применение в изобразительном искусстве (картины Леонардо да Винчи и других художников эпохи Возрождения), архитектуре, кинематографе (броненосец С. Эзенштейна «Потемкин») и других областях. Долгое время считалось, что золотое сечение — самая эстетичная пропорция. Эта точка зрения популярна и сегодня. Хотя, по результатам исследований, визуально большинство людей не воспринимают такую ​​пропорцию как наиболее удачный вариант и считают ее слишком вытянутой (непропорциональной).

• Длина отрезка с = 1, а = 0,618, b = 0,382.
• Отношение с к а = 1,618.
• Отношение c к b = 2,618

Вернемся к числам Фибоначчи. Возьмите два последовательных члена из последовательности. Разделите большее число на меньшее и получите примерно 1,618. А теперь возьмем такое же большее число и следующего члена ряда (т.е еще большее число) — их отношение раннее 0,618.

Вот пример: 144, 233, 377.

233/144 = 1,618 и 233/377 = 0,618

Кстати, если попробовать проделать тот же эксперимент с числами с начала последовательности (например, 2, 3, 5), ничего не получится. Почти. Правило золотого сечения почти не соблюдается для начала последовательности. Но с другой стороны, по мере продвижения по ряду и увеличения цифр, работает нормально.

А чтобы вычислить весь ряд чисел Фибоначчи, достаточно знать три члена последовательности, которые следуют друг за другом. Вы можете убедиться сами!

Числа Фибоначчи в живой природе

Связь между числами Фибоначчи и золотым сечением предполагает любопытные закономерности. Настолько любопытно, что заманчиво попытаться найти последовательности, подобные числам Фибоначчи, в природе и даже в ходе исторических событий. И природа на самом деле рождает такие предположения. Но все ли в нашей жизни можно объяснить и описать с помощью математики?

Примеры живой природы, которую можно описать с помощью последовательности Фибоначчи:

• порядок расположения листьев (и ветвей) у растений – расстояния между ними соотносятся с числами Фибоначчи (филлотаксис);

• размещение семян подсолнечника (семена располагаются в два ряда спиралей, закрученных в разные стороны: один ряд по часовой стрелке, другой против часовой стрелки);

• размещение чешуи конусов;
• лепестки цветка;
• клетки ананаса;
• соотношение длин фаланг пальцев на руке человека (приблизительно) и так далее

Задачи по комбинаторике

Числа Фибоначчи широко используются для решения задач по комбинаторике.

Комбинаторика — это раздел математики, который занимается изучением выбора заданного числа элементов из заданного множества, перечислением и т д.

Рассмотрим примеры комбинаторных задач, разработанных для старшей школы (источник — http://www.problems.ru/).

Задание 1:

Леша поднимается по лестнице из 10 ступенек. Он подпрыгивает на одну или две ступеньки за раз. Сколькими способами Леша может подняться по лестнице?

Решение:

Число способов, которыми Леша может подняться по лестнице с n ступенями, обозначается как n, откуда следует, что a1 = 1, a2 = 2 (ведь Леша перепрыгивает либо одну, либо две ступеньки).

Также оговаривается, что Леша прыгает по лестнице из n > 2 ступеней. Предположим, он прыгнул на две ступеньки в первый раз. Затем, в зависимости от состояния задачи, он должен перепрыгнуть еще n — 2 шага. Тогда количество способов совершить восхождение равно 1-2. А если предположить, что в первый раз Леша прыгнул только на одну ступеньку, то количество способов совершить подъем описываем как один-1.

Отсюда получаем следующее равенство: an = an–1 + an–2 (выглядит знакомо, не правда ли?).

Так как мы знаем а1 и а2 и помним, что есть 10 шагов по состоянию задачи, посчитаем все а по порядку: а3 = 3, а4 = 5, а5 = 8, а6 = 13, а7 = 21, а8 = 34 , а9 = 55, а10 = 89.

Ответ: 89 способов.

Задача 2:

Требуется найти количество слов длиной 10 букв, которые состоят только из букв «а» и «б» и не должны содержать две буквы «б» подряд.

Решение:

Введите количество слов длиной n букв, состоящих только из букв «а» и «б» и не содержащих двух букв «б» подряд. Следовательно, а1 = 2, а2 = 3.

В последовательности a1, a2, <…>, an выразим каждый следующий член через предыдущий. Следовательно, количество n-буквенных слов, которые также не содержат удвоенной «b» и начинаются с буквы «a», равно an-1. И если слово длиной n букв начинается с буквы «б», то логично, что следующая буква такого слова — «а» (ведь двух «б» по состоянию задачи быть не может). Поэтому количество слов длиной n букв в этом случае будем обозначать как an–2 . Как в первом, так и во втором случае может следовать любое слово (длиной n — 1 и n — 2 букв соответственно) без удвоенной «б».

Мы смогли объяснить, почему an = an–1 + an–2.

Теперь посчитаем а3 = а2 + а1 = 3 + 2 = 5, а4 = а3 + а2 = 5 + 3 = 8, <…>, а10 = а9 + а8 = 144. И мы получим знаменитую последовательность Фибоначчи.

Ответ: 144.

Задача 3:

Представьте, что это лента, разделенная на ячейки. Он идет вправо и длится бесконечно. Поместите кузнечика на первую ячейку ленты. На какой из клеток на ленте он находится, он может двигаться только вправо: либо на одну клетку, либо на две. Сколькими способами кузнечик может перепрыгнуть с начала ленты на n-ю клетку?

Решение:

Обозначим за единицу количество способов, которыми кузнечик движется по ленте до n-й клетки. В этом случае a1 = a2 = 1. Кузнечик также может попасть в n + 1 клетку либо из n-й клетки, либо перепрыгнув через нее. Следовательно, ан + 1 = ан – 1 + ан. Отсюда ан = Fn — 1.

Ответ: Фн — 1.

Вы можете самостоятельно составить подобные задачи и попытаться решить их на уроке математики с одноклассниками.

Числа Фибоначчи в массовой культуре

Конечно, такое необычное явление, как числа Фибоначчи, не может не привлекать внимания. Есть еще что-то притягательное и даже загадочное в этом строго выверенном образце. Неудивительно, что последовательность Фибоначчи так или иначе «загорается» во многих произведениях современной массовой культуры самых разных жанров.

Мы расскажем вам о некоторых из них. А вы попробуйте поискать больше для себя. Если найдете, поделитесь с нами в комментариях — нам тоже интересно!

• Числа Фибоначчи упоминаются в бестселлере Дэна Брауна «Код да Винчи»: последовательность Фибоначчи служит кодом, которым главные герои книги открывают сейф.
• В американском фильме 2009 года «Мистер Никто» в одной из серий адрес дома входит в последовательность Фибоначчи — 12358. Кроме того, в другой серии главный герой должен позвонить по номеру телефона, который по сути является такая же, но немного зашифрованная (дополнительная цифра после цифры 5) последовательность: 123-581-1321.
• В сериале 2012 года «Связь» главный герой, мальчик-аутист, способен различать закономерности в происходящих в мире событиях. Включается через числа Фибоначчи. И управлять этими событиями также через числа.
• Разработчики мобильной java игры Doom RPG разместили потайную дверь на одном из уровней. Код, который его открывает, — это последовательность Фибоначчи.
• В 2012 году российская рок-группа «Сплин» выпустила концептуальный альбом «Иллюзия». Восьмой слот называется «Фибоначчи». В стихах лидера группы Александра Васильева обыграна последовательность чисел Фибоначчи. Для каждого из девяти последовательных терминов имеется соответствующее количество строк (0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21):