Понятие аксиомы
Аксиома – это правило, которое считается истинным и не нуждается в доказательстве. В переводе с греческого «аксиома» означает принятую позицию — то есть ее приняли и договорились, что это истина, с которой не поспоришь.
Аксиоматический метод — это подход к получению знаний, при котором сначала разрабатываются аксиомы, а затем с их помощью формулируются новые теории.
Синонимом аксиомы является постулат. Антоним — гипотеза.
Основные аксиомы евклидовой геометрии
|
Нет необходимости запоминать эти аксиомы. Самое главное – запомнить их и иметь под рукой, чтобы при доказательстве теоремы сослаться на одну из них.
А теперь давайте рассмотрим некоторые аксиомы из геометрии для классов 7 и 8.
Самая известная аксиома Евклида — аксиома параллельных прямых. Это звучит так:
Это означает, что если дана прямая и любая точка не лежит на этой прямой, то через нее можно провести только одну единственную прямую, которая будет параллельна этой первой заданной прямой.
Эта аксиома имеет два следствия:
- линия, пересекающая параллельную прямую, обязательно пересекает другую;
- если две прямые параллельны третьей, то они параллельны и друг другу.
Аксиома Архимеда состоит в том, что если отложить в достаточное количество раз меньший из двух отрезков, то можно покрыть больший из них. Это звучит так:
Если линия имеет меньший сегмент A и больший сегмент B, вы можете добавить A достаточное количество раз, чтобы покрыть B.
На картинке вы можете увидеть, как это выглядит:
Отсюда следует, что не существует бесконечно малых и бесконечно больших величин. В виде математической формулы аксиому можно записать так: А + А +… + А = А * n > B, где n — натуральное число.
Читайте также: Шар, вписанный в пирамиду
Аксиома в составе «цепи»
Допустим, из теоремы A вы доказываете теорему B. Таким образом, из B вы делаете вывод об истинности C. Затем из C выведите предложение D и так далее.
Если расположить это следствие утверждений одно за другим, то окажется, что аксиоматический метод представляет собой цепочку. Одно цепляется за другое. Однако идти в обратном направлении цепи до бесконечности уже не получится — цепная ветвь должна иметь начало, уже ни к чему не привязанное.
