Арифметика. Арифметические действия

Арифметическая операция — это операция, удовлетворяющая ряду свойств и позволяющая найти новое число из нескольких заданных чисел.

Арифметика – это наука, изучающая простейшие свойства чисел и арифметические действия.

Существует шесть арифметических операций: сложение, вычитание, умножение, деление, возведение в степень и извлечение корня.

Сложение

Сложение — одна из основных операций, позволяющая объединить два слагаемых.

Дополнительное обозначение: 8 + 3 = 11

8 и 3 — термы

11 — всего

Умножение

Умножение — это арифметическая операция в виде краткого представления суммы одинаковых слагаемых.

Напишите: 12 х 5 = 60 или 12 х 5 = 60

12 — множитель

5 — множитель

60 — работа

12 х 5 = 12 + 12 + 12 + 12 + 12

Если множитель и множитель поменять местами, произведение останется прежним. Например:

2 х 5 = 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 10

5 х 2 = 5 + 5 = 10

Поэтому и множитель, и множимое называются «факторами».

Возведение в степень

Возведение в степень — это операция умножения числа на себя несколько (n) раз.

В основе мощности лежит число, которое повторяет множитель определенное количество раз.

Показатель степени — это число, указывающее, сколько раз берется один и тот же множитель.

Степень – это число, полученное в результате взаимодействия между основанием и показателем степени.

Ввод: 34 = 81

3 — основание для получения степени

4 — экспонента

81 — градус

34 = 3 х 3 х 3 х 3

Вторая степень иначе называется квадратом, третья степень называется кубом. Первая степень числа — это само число.

Обратные арифметические действия

Вычитание противоположно сложению, деление противоположно умножению, а извлечение корня противоположно возведению в степень.

Например,

Вычитание

Вычитание противоположно сложению.

Рекорд: 15–7 = 8

15 — уменьшенный

7 — вычитается

8 — разница

Если разница равна 8, прибавьте ее к вычитаемому 7, это даст уменьшаемое 15. Операция сложения 8 + 7 = 15 — это проверка вычитания 15 — 7 = 8.

Деление

Деление — это арифметическое действие, обратное умножению.

Запись: 48 : 6 = 8 или 48 / 6 = 8

48 — делимый

6 — перегородка

8 — рядовой

В этом случае произведение делителя 6 на частное 8 в качестве теста дает делимое 48

Если в результате операции деления частное не является целым числом, его можно представить в виде дроби 3/5. Если частное является целым числом, говорят, что первое из проголосовавших чисел является вполне делимым или, более просто, делится на секунду.

Например, число 35 полностью делится на 5, потому что частное — это целое число 7. Второе число в этом случае называется делителем первого, причем первое кратно второму.

Пример 1

Число 5 является делителем чисел 25, 60, 80 и не выступает делителем чисел 4, 13, 42, 61.

Пример 2

Число 60 кратно числам 15, 20, 30 и не кратно числам 17, 40, 90.

В случае, когда делимое делится не полностью, иногда применяют так называемое деление с остатком. Деление с остатком — это поиск наибольшего подходящего целого числа, которое в сочетании с делителем дает искомое число, не превышающее делимого.

Такое искомое число называется неполным частным. Разность между делимым и произведением делителя на неполное частное называется остатком, который всегда меньше делителя.

Извлечение корня

извлечение корня является арифметической операцией, противоположной возведению в степень.

Запись: 4√81 = 3

81 — корень числа

4 — корневой индекс

3 — беспорядок

Z4 = 81 — возведение числа 3 в четвертую степень дает 81 (проверить извлечение корня)

2√16 = 4 — корень второй степени называется — квадратным.

При знаке квадратного корня показатель степени корня обычно опускают: √16 = 4

3√8 = 2 — корень третьей степени называется — кубическим.

Сложение и вычитание, умножение и деление, а также возведение в степень и извлечение корня попарно являются обратными операциями.

Предполагается, что правила для первых четырех действий, управляющих взаимодействием с целыми числами, известны. Возведение в степень осуществляется повторным умножением.

Свойства арифметических действий

	а + б = б + а ,
	(а + б) + с = а + (б + с)
	а + 0 = 0 + а = а
	а + (- а) = 0






	Нельзя делить на 0.

Порядок выполнения арифметических действий

Сложение и вычитание называются действиями первого шага, умножение и деление — действиями второго шага, возведение в степень и извлечение корня — действиями третьего шага.

Действия одного шага выполняются в том порядке, в котором они написаны в формуле.

Если формула содержит действия разных шагов, то сначала выполняются действия вышестоящих шагов, а затем низших шагов.

Если формула содержит скобки, действия в скобках выполняются в первую очередь. Скобки бывают круглыми, квадратными и фигурными, и между ними нет никакой разницы.

Если скобки содержат другие скобки, действия во «внутренних» скобках выполняются в первую очередь.

Что такое действия первой и второй ступени

Иногда в энциклопедиях все арифметические операции делятся на операции первого и второго этапа. Сформулируем необходимое определение.

К действиям первого этапа относятся действия, где нужно вычитать и складывать, а второго — умножать и делить.

Зная эти имена, мы можем записать данное ранее правило относительно порядка действий следующим образом:

Определение 2

В выражении, не содержащем скобок, сначала выполнить действия второго шага слева направо, затем действия первого шага (в том же направлении).

Решение примеров по действиям в выражениях со скобками

Скобки сами по себе являются знаком, сообщающим нам желаемый порядок выполнения действий. В этом случае искомое правило можно записать следующим образом:

Определение 3

Если в выражении есть скобки, то сначала выполняется действие в них, после чего умножаем и делим, а затем складываем и вычитаем в направлении слева направо.

Что касается самого выражения в скобках, то его можно считать составной частью основного выражения. Когда мы вычисляем значение выражения в скобках, мы сохраняем ту же известную нам процедуру. Проиллюстрируем нашу мысль примером.

Пример или тестовое задание 4

Условие: Подсчитайте, сколько будет равно 5+(7−2 3)(6−4):2.

Решение

В этом выражении есть скобки, поэтому начнем с них. Прежде всего, посчитаем, сколько будет 7−2 3. Здесь надо умножить 2 на 3 и вычесть результат из 7:

7−2 3=7−6=1

Считаем результат в других скобках. Там у нас есть только одно действие: 6−4=2.

Теперь нам нужно подставить полученные значения в исходное выражение:

5+(7−2 3)(6−4):2=5+1 2:2

Начнем с умножения и деления, затем вычтем и получим:

5+1 2_2=5+2:2=5+1=6

На этом расчеты закончены.

Ответ: 5+(7−2 3) (6−4): 2=6.

Не пугайтесь, если условие содержит выражение, в котором одни скобки заключают другие. Нам просто нужно последовательно применить указанное выше правило ко всем выражениям в скобках. Возьмем это задание.

Пример 5

Условие: Подсчитайте, сколько будет 4+(3+1+4 (2+3)).

Решение

У нас есть скобки внутри скобок. Начнем с 3+1+4 (2+3), а именно 2+3. Это будет 5. Значение нужно заменить в выражении и рассчитать как 3+1+4 5. Помним, что надо сначала умножить, а потом сложить: 3+1+4 5=3+1+20=24. Подставляя найденные значения в исходное выражение, вычисляем ответ: 4+24=28.

Ответ: 4+(3+1+4 (2+3))=28.

Другими словами, при вычислении значения выражения, содержащего скобки внутри скобок, мы начинаем с внутренних скобок и продвигаемся к внешним.

Допустим, нам нужно найти, сколько будет (4+(4+(4−6:2))−1)−1. Начнем с выражения во внутренних скобках. Поскольку 4−6:2=4−3=1, исходное выражение можно записать как (4+(4+1)−1)−1. Снова переходим к внутренним скобкам: 4+1=5. Мы пришли к выражению (4+5−1)−1. Считаем 4+5−1=8 и в результате получаем разность 8-1, в результате получается 7.

Порядок вычисления в выражениях со степенями, корнями, логарифмами и иными функциями

Если у нас есть выражение в условии степени, корня, логарифма или тригонометрической функции (синуса, косинуса, тангенса и котангенса) или других функций, то мы сначала вычисляем значение функции. После этого действуем по правилам, указанным в предыдущих пунктах. Другими словами, функции так же важны, как и выражение в скобках.

Рассмотрим пример такого расчета.

Пример 6

Условие: найдите, сколько станет (3+1) 2+62:3−7.

Решение

У нас есть выражение со степенью, значение которой нужно найти в первую очередь. Считаем: 62=36. Теперь подставим результат в выражение, после чего оно будет иметь вид (3+1)2+36:3−7.

Далее действуем по известному алгоритму: считаем, сколько получится в скобках, затем в оставшемся выражении выполняем умножение и деление, а затем сложение и вычитание (сложение и вычитание).

(3+1) 2+36:3−7=4 2+36:3−7=8+12−7=13

Ответ: (3+1) 2+62:3−7=13.

Умножение натуральных чисел на 10, 100, 1000 и так далее

Чтобы умножить натуральное число на 10, 100, 1000 и т д., нужно приписать к правой части столько нулей, сколько содержится в числе 10, 100, 1000 и т д соответственно.

На самом деле, например, число 3610 состоит из трех тысяч шестисот одного десятка, поэтому

который должен отображаться.

Разложение числа на простые множители

Для понимания дальнейших рассуждений необходимо ввести понятие простого числа.

Простое число — это число, которое делится только на себя и на единицу.

Например, у числа 2 будут только делители 2 и 1, у числа 17 — 17 и 1, а у числа 151 — 151 и 1.

Кроме простых чисел, есть еще и составные числа — это числа, у которых есть делители, отличные от 1 и самого себя.

Любое составное число можно разложить на простые множители (и только одним способом). Например, 6 = 2 * 3, где 2 и 3 — простые числа.

Факторизация простых чисел — это операция, при которой мы можем представить любое составное число как произведение нескольких простых множителей.

Способность разлагать числа на простые множители может быть полезна для анализа чисел и их свойств.

Упрощение: как число разлагается на простые множители?
Каждое число состоит из нескольких простых множителей. Разложение числа на простые множители означает представление этого числа как произведения нескольких его простых множителей. Например, 18 = 2 * 3 * 3

Чтобы разложить число на простые множители, необходимо разделить его последовательно на простые множители, начиная с наименьшего возможного.

Например, расширим число 123896.

Первым подходящим делителем будет 2: 123896 = 61948 * 2.

61948 не простое число, поэтому продолжаем разложение, следующий делитель тоже 2: 123896 = 30974*2*2.

Продолжаем разлагать число до тех пор, пока не получится произведение только простых чисел справа: 123896 = 2 * 2 * 2 * 17 * 911. Для удобства повторяющиеся числа можно записать в виде степеней: 123896 = 23 * 17 * 911.

Процесс разложения на простые множители можно записать в виде столбца, где числа, идущие от деления, будут слева, а множители справа. Например, расширим число 156:

Разложение множителей удобно использовать, если нужно найти все делители числа. Например, в числе 156 мы можем различать не только простые множители, но и составные множители: 2 * 2 * 3 = 12 (156: 12 = 13) или 2 * 3 = 6 (156: 6 = 26) и так далее

Любой делитель числа равен произведению нескольких его простых множителей.

Наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное

Для любых двух составных чисел можно найти общие делители, т.е числа, на которые данные числа будут полностью делиться.

Рассмотрим, например, числа 150 и 315.

Разобьем их на простые множители: 150 = 2 * 3 * 52, 315 = 32 * 5 * 7.

Число 150 имеет следующие делители: 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 25, 30, 50, 75, 150.

В числе 315 есть: 1, 3, 5, 7, 9, 15, 21, 35, 45, 63, 105, 315.

Из них совпадают: 3, 5, 15.

Совпадающие части будем называть общими, а наибольшую из них — наибольшим общим делителем (НОД). Обозначается D(a,b).

Если НОД чисел a и b равен единице, то они взаимно просты. Составные числа также могут быть взаимно простыми, например 15 и 16.

Чтобы найти НОД чисел, нужно:
— каждый из них можно разложить на основные факторы;
— решить, какие из них следует повторить;
— Умножьте их вместе.

Найдите НОД чисел 45 и 105:

45 = 32 * 5
105 = 3*5*7.

Сопоставление простых множителей: 3 и 5, тогда D(45, 105) = 3 * 5 = 15.

Каждое составное число имеет наименьшее общее кратное (НОК). Это число, которое будет точно делиться на заданные числа.

Например, рассмотрим числа 9 и 12. Числа, кратные 9: 9, 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72 и так далее. Числа, кратные 12: 12, 24, 36, 48, 60, 72 и т д. Среди этих чисел повторяются 36 и 72, они будут общим кратным чисел 9 и 12, а наименьшее из них равно наименьшее общее кратное этих чисел (НОК). LCM обозначается как K(a, b).

Чтобы найти НОК чисел, вам нужно:
— разложить их на простые множители;
— Найдите произведение всех полученных простых множителей, взяв для каждого наибольший показатель степени.

Например, найдем НОК чисел 184 и 624.

184 = 23*23
624 = 24 * 3 * 13

Итак, К(184, 624) = 24 * 3 * 13 * 23 = 14352.

Наименьшее общее кратное двух взаимно простых чисел будет равно произведению этих чисел.

K(а, b) = a * b, где a, b — взаимно простые числа.

Между НОД и НОД существует следующая зависимость: произведение НОД и НОД некоторых чисел равно произведению этих чисел.

D(а, б) * К(а, б) = а * б

Где могут быть полезны NOC и GCD?
LCM и GCD активно используются во фракциях.
С помощью НОД можно сразу уменьшить дробь. Например, D(228, 1650) = 6, поэтому дробь с такими числами можно сразу уменьшить на 6: (frac{228}{1650} = frac{38}{275})
Вы можете использовать НОК для приведения дробей к общему знаменателю. Например, K(6, 22) = 66, тогда дроби (frac{1}{6}) и (frac{1}{22}) можно привести к общему знаменателю и получить (frac {11}{66}) и (frac{3}{66}).

Рассмотренные операции являются основополагающими для расчетов в задачах. Использование описанных свойств облегчает и ускоряет расчет, что даст дополнительное время на экзамене и уменьшит количество расчетных ошибок.

Что такое арифметические действия