Что такое d в прогрессии

Определение числовой последовательности

Числовая последовательность — это набор чисел, каждому из которых можно присвоить уникальный номер.

Последовательности могут быть указаны различными способами:

1. Устно — когда правило последовательности объясняется словами:»Последовательность простых чисел: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23…»
2. Аналитический — когда указана формула его n-го члена: yn = f(n).Последовательность yn = C называется постоянной или стационарной.
3. Рекурсивный — когда указано правило, помогающее вычислить n-й член последовательности, если известны ее предыдущие члены.Последовательность Фибоначчи — когда каждое следующее число равно сумме двух предыдущих чисел: ан + 1 = ан + ан-1.

   Пример: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55…

4. Графический — когда график последовательности состоит из точек с абсциссами
   1, 2, 3, 4…
   

Поскольку алгебраическая числовая последовательность является частным случаем числовой функции, для последовательностей также рассматривается ряд свойств функций.

Свойства числовых последовательностей:

1. Последовательность {yn} называется возрастающей, если каждый ее член, кроме первого, больше предыдущего:y1 < y2 < y3 < … < yn < yn+1 < …
2. Последовательность {yn} называется убывающей, если каждый ее член, кроме первого, меньше предыдущего:y1 > y2 > y3 > … > yn > yn+1 > …

   возрастающие и убывающие последовательности называются монотонными последовательностями.

3. Последовательность можно назвать периодической, если существует натуральное число T такое, что, начиная с некоторого N, выполняется следующее равенство: yn = yn+T. Число Т — это длина периода.

Запишем цифры, которые появились первыми: 7, 19, 0, -1, -2, -11, 0… Сколько бы цифр вы ни написали, всегда можно сказать, какая из них первая, какая вторая, и так до последнего. То есть мы можем их пронумеровать.

Пример числовой последовательности выглядит так:

В такой математической последовательности каждому числу соответствует одно число. Это означает, что в последовательности не может быть первых двух чисел и т д. Первое число (как и все остальные) всегда равно единице.

N-й член алгебраической последовательности — это число с порядковым номером n.

Всю последовательность можно обозначить любой буквой латинского алфавита, например а.Каждый член этой последовательности является одной и той же буквой с индексом, равным номеру этого члена: а1, а2,…, а10.., ан.

N-й член последовательности может быть задан формулой. Например:

• Формула an = 3n − 5 определяет последовательность: −2, 1, 4, 7, 10…
• Формула an = 1 : (n + 2) дает последовательность: 1/3, 1/4, 1/5, 1/6…

Читайте также: Арксинус угла (arcsin): определение, формула, таблица, график, свойства

Арифметической прогрессией называют числовую последовательность, каждый следующий член которой получается из предыдущего прибавлением к нему постоянного числа. Это число называют разностью арифметической прогрессии и обозначают буквой (d).

Например, последовательность (2); (5); (8); (одиннадцать); (14). является арифметической прогрессией, так как каждый следующий элемент отличен от предыдущего и тройки (можно получить из предыдущего прибавлением тройки):

В этой прогрессии разность (d) положительна (равна (3)), и поэтому каждый следующий член больше предыдущего. Такие прогрессии называются восходящими.

Однако (d) также может быть отрицательным числом. Например, в арифметической прогрессии (16); (10); (4); (-2); (-8). разница прогрессии (d) равна минус шесть.

И в этом случае каждый следующий элемент будет меньше предыдущего. Эти прогрессии называются убывающими.

Общий вид арифметической прогрессии

a1, a1 + d, a1 + 2d, … a1 + (n – 1) d, …

d – разница шага или прогрессии; это постоянный термин.

Участники прогрессии:

• а1
• а2 = а1 + d
• а3 = а2 + d = а1 + 2d
• и так далее

Цифры 1,2,3. являются их порядковыми номерами, т.е местом, которое они занимают в последовательности.

Прогрессию обозначают маленькой латинской буквой. Числа, образующие прогрессию, называют ее членами (или элементами). Их обозначают той же буквой что и арифметическую прогрессию, но с числовым индексом, равным номеру элемента по порядку.

Например, арифметическая прогрессия (a_n = left{ 2; 5; 8; 11; 14…right}) состоит из элементов (a_1=2); (а_2=5); (a_3=8) и так далее.

Другими словами, для прогрессии (a_n = left{2; 5; 8; 11; 14…right})

номер элемента	(1)	(2)	(3)	(4)	(5)
обозначение элемента	(а_1)	(а_2)	(а_3)	(а_4)	(а_5)
значение элемента	(2)	(5)	(8)	(одиннадцать)	(14)

Свойство арифметической прогрессии

Переведем с языка формул на русский язык: каждый член арифметической прогрессии, из другого, равен среднему арифметическому двух членов рядом с ним. Что как раз и объясняет название «арифметическая» прогрессия.

Формула n-го члена арифметической прогрессии

Из определения арифметической прогрессии следует, что верно равенство:

Поэтому:

и так далее

Фонды,

Переведем с языка формул на русский язык: зная первый член и разность арифметической прогрессии, мы можем найти часть членов.

Арифметическую прогрессию можно назвать заданной, если известны ее первый член и разность.

Формула an = a1 + d * (n — 1) называется формулой n-го члена арифметической прогрессии.

Решение задач на арифметическую прогрессию

В принципе, приведенной информации уже достаточно для решения практически всех задач на арифметическую прогрессию (в том числе и предлагаемых на ОГЭ).

Пример (ОГЭ). Арифметическая прогрессия задается условиями (b_1=7; d=4). Найдите (b_5).
Решение:

	В этом упражнении мы получаем начало цепочки (первый элемент) и шаг (разность). Зная их, мы легко можем восстановить прогрессию до любого нужного нам члена (в нашем случае до пятого).
	Вот и все. Нужное нам значение найдено.

Ответ: (b_5=23)

Пример (ОГЭ). Даны первые три члена арифметической прогрессии: (62; 49; 36…) Найдите значение первого отрицательного члена этой прогрессии..
Решение:

	Мы получаем первые элементы последовательности и знаем, что это арифметическая прогрессия. То есть каждый элемент отличается от своего соседа на одно и то же число. Узнайте какой из них, вычтя предыдущий из следующего элемента: (d=49-62=-13).
	Теперь мы можем восстановить нашу прогрессию до желаемого (первого отрицательного) элемента.
	Прозрачный. Вы можете написать ответ.

Ответ: (-3)

Пример (ОГЭ). Даны несколько последовательных элементов арифметической прогрессии: (…5; x; 10; 12,5…) Найдите значение элемента, обозначенного буквой (x).
Решение:

	Чтобы найти (x), нам нужно знать, насколько следующий элемент отличается от предыдущего, другими словами, разница в прогрессии. Найдем его по двум известным соседним элементам: (d=12,5-10=2,5).
	И теперь без проблем находим искомое: (x=5+2.5=7.5).
	Прозрачный. Вы можете написать ответ.

Ответ: (7,5).

Пример (ОГЭ). Арифметическая прогрессия задается следующими условиями: (a_1=-11); (a_{n+1}=a_n+5) Найдите сумму первых шести членов этой прогрессии.
Решение:

	Нам нужно найти сумму первых шести членов прогрессии. Но мы не знаем их значения, мы получаем только первый элемент. Поэтому сначала вычисляем значения по очереди, используя данное нам рекуррентное соотношение : (n=1); (а_{1+1}=а_1+5=-11+5=-6) (n=2); (а_{2+1}=а_2+5=-6+5=-1) (n=3); (а_{3+1}=а_3+5=-1+5=4) И после вычисления нужных нам шести элементов находим их сумму.
(S_6=a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6=) (=(-11)+(-6)+(-1)+4+9+14=9)	Запрошенная сумма найдена.

Ответ: (S_6=9).

Пример (ОГЭ). В арифметической прогрессии (a_{12}=23); (а_{16}=51). Найдите разницу в этой прогрессии.
Решение:

	Мы знаем (12)-й и (16)-й элементы — и больше ничего. Однако этого достаточно, чтобы найти разницу. Нужно только посмотреть на диаграмму слева и понять, что мы можем получить (16)-й элемент из (12)-го, «сделав 4 шага», то есть сложив разницу в прогрессии четыре раза. Другими словами: (a_{12}+d+d+d+d=a_{16}).
(а_{12}+4d=а_{16})	Подставьте известные значения.
(23+4д=51)	Теперь решаем линейное уравнение, и без проблем находим (d). Переносим (23), и меняем знак.
(4д=51-23)	Вычислите правую сторону…
(4д=28)	. и разделить на коэффициент перед неизвестным .
(д=7)	Ответ готов.

Ответ: (d=7).

Важные формулы арифметической прогрессии

Как видите, многие задачи на арифметическую прогрессию можно решить, просто поняв самое главное — что арифметическая прогрессия — это цепочка чисел, и каждый следующий элемент в этой цепочке получается прибавлением того же числа к предыдущему (т разница в развитии).

Но иногда бывают ситуации, когда решать «в лоб» очень неудобно. Например, представьте, что в самом первом примере мы должны найти не пятый элемент (b_5), а триста восемьдесят шестой (b_{386}). Это что, нам (385) раз четыре прибавлять? Или представьте, что в предпоследнем примере вам нужно найти сумму первых семидесяти трех элементов. Счет сбивает с толку…

Поэтому в таких случаях не решают «в лоб», а пользуются специальными формулами, выведенными для арифметической прогрессии. И наиболее важными являются формула n-го члена прогрессии и формула суммы (n) первых членов.

Формула (n)-го члена: (a_n=a_1+(n-1)d),  где   (a_1) – первый член прогрессии;                                                                                 (n) – номер искомого элемента;                                                                                 (d) – разность прогрессии;                                                                                   (a_n) – член прогрессии с номером (n).

Эта формула позволяет быстро найти хоть трехсотый, хоть миллионный элемент, зная только первый и разницу в прогрессии.

Пример. Арифметическая прогрессия задается условиями: (b_1=-159); (д=8,2). Найдите (b_{246}).
Решение:

(b_1=-159); (д=8,2) (b_{246}=?)	добавление (8,2) к (-159) более двухсот раз — не очень радужная перспектива. Лучше воспользоваться формулой, подставив вместо (n.
(n=246); (b_{246}=-159+(246-1) 8,2=) (=-159+245 8,2=) (=-159+2009=1850)	Вы можете написать ответ.

Ответ: (b_{246}=1850).

Более сложные задачи на арифметическую прогрессию

Теперь у вас есть вся информация, необходимая для решения практически любой задачи на арифметическую прогрессию. Закончим тему рассмотрением задач, где нужно не только использовать формулы, но и немного подумать (в математике это может пригодиться ☺)

Пример (ОГЭ) Найти сумму всех отрицательных членов прогрессии: (-19,3); (-19); (-18,7)…
Решение:

(S_n=)(frac{2a_1+(n-1)d}{2})(cdot n)		Задача очень похожа на предыдущую. Начинаем решать так же: сначала находим (d).
(d=a_2-a_1=-19-(-19,3)=0,3)		Сейчас бы заменить (d) в формуле суммы . и тут появляется небольшой нюанс — мы не знаем (n). Другими словами, мы не знаем, сколько терминов нужно добавить. Как узнать? Давай подумаем. Мы прекращаем добавлять элементы, когда добираемся до первого положительного элемента. То есть нужно узнать номер этого предмета. Как? Запишем формулу вычисления любого элемента арифметической прогрессии: (a_n=a_1+(n-1)d) для нашего случая.
(a_n=a_1+(n-1)d)
(a_n=-19,3+(n-1) 0,3)		Нам нужно, чтобы (a_n) было больше нуля. Выясним, за что (n) это произойдет.
(-19,3+(n-1) 0,3>0)		Решаем полученное неравенство. Переносим (-19,3) через знак сравнения .
((n-1) 0,3>19,3) (|:0,3)		Разделим обе части неравенства на (0,3).
(n-1>)(frac{19.3}{0.3})		Переводим минус один, не забываем поменять знак
(n>)(frac{19.3}{0.3})(+1)		Обработка данных…
(n>65 333…)		…и получается, что первый положительный элемент будет иметь номер (66). Следовательно, последний имеет отрицательное значение (n=65). На всякий случай проверим.
(n=65;) (a_{65}=-19,3+(65-1) 0,3=-0,1) (n=66;) (a_{66}=-19,3+(66-1) 0,3=0,2)		Следовательно, нам нужно добавить первые (65) элементов.
(S_{65}=)(frac{2 cdot (-19,3)+(65-1)0,3}{2})(cdot 65) (S_{65}=)({-38,6+19,2}{2})(cdot 65=-630,5)		Ответ ясен.

Ответ: (S_{65}=-630,5).

Пример (ОГЭ) Арифметическая прогрессия задается условиями: (a_1=-33); (а_{п+1}=а_п+4). Найдите сумму от (26)-го до (42) элемента включительно.
Решение:

(a_1=-33;) (a_{n+1}=a_n+4)	В этой задаче вам также предстоит найти сумму элементов, но не начиная с первого, а с (26)-го. У нас нет формулы для этого. Как решить? Просто — чтобы получить сумму от (26)-го до (42)-го, сначала найди сумму от (1)-го до (42)-го, затем вычти из него сумму от первого до (25)-й (см фото).
	Для нашей прогрессии (a_1=-33) и разности (d=4) (ведь мы добавляем четыре к предыдущему элементу, чтобы найти следующий). Зная это, мы находим сумму первых (42)-uh элементов.
(S_{42}=)(frac{2 cdot (-33)+(42-1)4}{2})(cdot 42=) (=)(frac{-66+164}{2})(cdot 42=2058)	Теперь сумма первых (25)-х элементов.
(S_{25}=)(frac{2 cdot (-33)+(25-1)4}{2})(cdot 25=) (=)(frac{-66+96}{2})(cdot 25=375)	И, наконец, вычисляем ответ.
(S=S_{42}-S_{25}=2058-375=1683)

Ответ: (S=1683).

Для арифметической прогрессии есть несколько формул, которые мы не рассматривали в этой статье из-за их малой практической полезности.

Геометрическая прогрессия

Геометрическая прогрессия — это последовательность (bn), в которой каждый последующий член можно найти, если предыдущий член умножить на то же число q.

Если последовательность (bn) представляет собой геометрическую прогрессию, то зависимость верна для любого натурального значения n:

bn+1 = bn * q, где q — знаменатель геометрической прогрессии

Если известны первый член b1 и знаменатель q геометрической прогрессии (bn), то можно найти любой член прогрессии:

• b2 = b1 * q;
• b3 = b2 * q = b1 * q * q = b1 * q²;
• b4 = b1 * q³;
• и так далее

Общий член геометрической прогрессии bn можно вычислить по формуле:

bn = b1 * qn−1, где n — порядковый номер члена прогрессии, b1 — первый член прогрессии, q — знаменатель.

Пример 1. 2, 6, 18, 54,… — геометрическая прогрессия b = 2, q = 3.

Пример 2. 3, -3, 3, -3,.. — геометрическая прогрессия b = 3, q= -1.

Пример 3. 7, 7, 7, 7,.. — геометрическая прогрессия b = 7, q = 1.

Сумма первых элементов

Формула, с помощью которой можно определить сумму любого числа членов алгебраической прогрессии, согласно историческим свидетельствам, впервые была получена «князем» математики в 18 веке Карлом Гауссом. Немецкий ученый, еще мальчишкой в ​​начальной школе деревенской школы, заметил, что для того, чтобы сложить натуральные числа в ряду от 1 до 100, нужно сначала просуммировать первый элемент и последний (результирующее значение будет равно на сумму предпоследнего и второго, предпоследнего и третьего элементов и так далее), а затем это число нужно умножить на количество этих сумм, то есть на 50.

Формула, отражающая сформулированный результат на конкретном примере, может быть обобщена на произвольный случай. Это будет выглядеть так: Sn = n/2*(an+a1). Заметим, что для нахождения указанного значения знание разности d не требуется, если известны два члена прогрессии (an и a1).

Пример №1. Определите разность, зная два члена ряда a1 и an

Мы покажем, как использовать приведенные выше формулы в статье. Приведем простой пример: разность арифметической прогрессии неизвестна, необходимо определить, чему она будет равна, если а13=-5,6 и а1=-12,1.

Так как нам известны значения двух элементов числовой последовательности, и один из них является первым числом, мы можем использовать формулу №2 для определения разности d. Имеем: d = (-1 * (-12,1) + (-5,6)) / 12 = 0,54167. В выражении мы использовали значение n=13, так как член с этим порядковым номером известен.

Полученная разница указывает на то, что прогрессия возрастает, несмотря на то, что элементы, заданные в состоянии задачи, имеют отрицательное значение. Видно, что a13>a1, хотя |a13|<|a1|.

Пример №2. Положительные члены прогрессии в примере №1

Давайте используем результат предыдущего примера для решения новой задачи. Он формулируется следующим образом: с какого порядкового номера элементы прогрессии в примере № 1 начинают принимать положительные значения?

Как показано, прогрессия возрастает там, где a1 = -12,1 и d = 0,54167, поэтому с определенного числа числа начнут получать только положительные значения. Для определения этого числа n необходимо решить простое неравенство, которое математически записывается так: an>0 или, используя соответствующую формулу, перепишем неравенство: a1 + (n-1)*d>0. Необходимо найти неизвестное n, выразим его: n>-1*a1/d + 1. Теперь осталось подставить известные значения разности и первого члена последовательности. Получаем: n>-1*(-12,1)/0,54167 + 1= 23,338 или n>23,338. Поскольку n может принимать только целые значения, из достигнутого неравенства следует, что все члены ряда, имеющие число больше 23, будут положительными.

Давайте проверим наш ответ, используя приведенную выше формулу для вычисления 23-го и 24-го элементов этой арифметической прогрессии. Имеем: a23=-12,1 + 22*0,54167 = -0,18326 (отрицательное число); а24=-12,1 + 23*0,54167=0,3584 (положительное значение). Таким образом, полученный результат верен: из n=24 все члены числового ряда будут больше нуля.

Пример №3. Сколько бревен поместится?

Вот интересная проблема: во время рубки было принято решение укладывать распиленные бревна друг на друга, как показано на рисунке ниже. Сколько бревен можно сложить таким образом, зная, что всего поместится 10 рядов?

В этом способе складывания бревна можно заметить интересную вещь: в каждом последующем ряду будет на одно бревно меньше, чем в предыдущем, то есть это алгебраическая прогрессия, где разность d=1. Полагая, что количество бревен в каждом ряду является членом этой прогрессии, а также учитывая, что a1 = 1 (в самый верх помещается только одно бревно), находим число a10. Имеем: a10 = 1 + 1*(10-1) = 10. То есть в 10 рядах, лежащих на земле, будет 10 палочек.

Общий объем этой «пирамидальной» конструкции можно получить по формуле Гаусса. Получаем: S10 = 10/2*(10+1) = 55 бревен.