Что такое Экспонента и ее функция в математике

Для чего используется экспонента?

Показатель степени используется в физике, технике и экономике, особенно при решении задач, связанных с процентами.

Экспоненциальный рост

Мы используем термин экспоненциальный рост для обозначения быстрого роста чего-либо. Выражение чаще всего используется в отношении роста популяции людей или животных/птиц.

Что такое второй замечательный предел

Швейцарский математик Якоб Бернулли (1655–1705) вывел число e, когда пытался решить экономическую задачу. В частности, он пытался понять, как должны рассчитываться проценты на сумму вклада в банке, чтобы это было наиболее выгодно для владельца денег.

Он также пытался выяснить, есть ли предел получаемому доходу в процентах или он будет увеличиваться до бесконечности.

Для решения этой задачи он использовал предел последовательности, а именно второй замечательный предел. Формулу для вычисления числа e можно записать следующим образом (где n — число, стремящееся к бесконечности):

Второй фантастический рубеж

То есть число e равно пределу, где n стремится к бесконечности, от 1, плюс 1 деленное на n, возводя все до n.

Если мы заменим девять в этой формуле очень большой цифрой, мы можем получить очень хорошее приближение к e.
Например, заменим 1 000 000 и посчитаем на калькуляторе:

(1 + 1/1000000)^1000000 = 2,7182804691

Как видите, при n = 1 000 000 мы получили достаточно хорошее приближение с точностью до 5 знаков после запятой.

Читайте также: конвертировать из бар в килопаскалей

Как определить число е?

Помимо другого заметного предела, есть и другие способы определения числа e:

• через сумму ряда;
• по формуле Муавра-Стирлинга;
• другой.

Сумма ряда

Считается, что сам Эйлер использовал этот метод, когда вычислял, например.

Вы можете получить приблизительное значение e, вычислив первые 7 частей этой суммы:

И эти расчеты дали нам следующий результат:

Этот метод дал нам ровно 4 знака после запятой, и его достаточно легко запомнить.

Формула Муавра — Стирлинга

Также называется просто формулой Стирлинга:

И в этом случае чем больше n, тем точнее результат.

Как запомнить число е

Вы легко сможете запомнить 9 знаков после запятой, если заметите замечательную закономерность: после «2,7» дважды появляется число «1828» (2,7 1828 1828). В 1828 году родились Лев Толстой и Жюль Верн, умер Франц Шуберт.

Хотите двигаться дальше? Вы можете пойти дальше! 15 знаков после запятой! Следующие числа представляют собой градусы углов равнобедренного прямоугольного треугольника (45°, 90°, 45°): 2,7 1828 1828 45 90 45.

Интересные факты

Экспоненциальную функцию также называют показателем степени.

Показательная функция — это функция вида y=a×, где a — заданное число (основное число), x — переменная.

А если основание = е, то с переменной х логарифм записывается математически как ln, а не как log. И это называется натуральным логарифмом (логарифмом по основанию e):

Логарифмическая функция, обратная показательной функции y = a ×, a > 0, a ≠ 1, записывается как
.

Производная и первообразная экспоненциальной функции равны самой себе, т.е. (e×)’ = e×, но (a×)’ = (a×)*ln(a).

Якобу Бернулли в расчетах помогал его брат Иоганн. Один из кратеров на Луне носит их имя.

Число Непера и число Эйлера

Число Непера или число Непера, число Эйлера — это названия одного и того же числа e.

Шотландский математик Джон Нэпьер изобрел логарифмы. Поскольку число e является основой натурального логарифма (ln x), это число было названо в честь математика из Шотландии. Хотя Напье и не рассчитывал.

Джон Нейпир — шотландский математик (1550-1617 гг.)

Сам символ e был создан в 1731 году швейцарским математиком Леонардом Эйлером. Эйлер занимался расчетами алгоритмов и выводил их основы. Точнее, основание натурального логарифма, которым является число e.

Леонард Эйлер — швейцарский математик (1707-1783 гг.)

Изобретение логарифмов в 17 веке (1614 г.) шотландским математиком Джоном Напье было одним из важнейших событий в истории математики.

График экспоненты

Ниже приведен график экспоненциальной функции y = e x.

Как видим, график (синяя линия) выпуклый, строго возрастающий, т.е с увеличением x увеличивается y.

Асимптотой является ось абсцисс, т.е график во второй четверти координатной плоскости стремится к бычьей оси, но никогда не пересечет ее и не коснется ее.

Точка пересечения с осью ординат Oy находится в точке (0, 1), так как e0 = 1.

Тангенс (зеленая линия) экспоненты находится под углом 45 градусов в точке касания.

Свойства экспоненциальной функции

1. Показатель степени определен для всех x, а функция везде возрастает, и ее значение всегда больше нуля. Это:
   • область определения: – ∞ < x + ∞;
   • диапазон: 0 < у < + ∞.
2. Функция, обратная показателю степени, представляет собой натуральный логарифм (ln x).
   • журнал экс = х;
   • e log x = x, где x > 0.
3. Для показателя степени применяются правила операций с показателями степени, например: e(a + b) = ea ⋅ e b.
4. Производная экспоненты:
   • (экс)’ = экс.
   • если вместо x стоит комплексная функция u: (eu)’ = eu + u‘.
5. Экспоненциальный интеграл: ∫ ex dx = ex + C, где C — постоянная интегрирования.

Область определения, множество значений

Показатель y(x) = ex определен для всех x.
Объем:
– ∞ < х + ∞.
Его набор значений:
0 < у < + ∞.

Экстремумы, возрастание, убывание

Показатель степени является монотонно возрастающей функцией, поэтому не имеет экстремумов. Основные характеристики представлены в таблице.

	у = бывший
Домен	– ∞ < х < + ∞
Диапазон значений	0 < у < + ∞
Монотонный	монотонно возрастает
Ноль, у=0	нет
Точки пересечения с осью Y, x = 0	у=1
	+ ∞
	0

Обратная функция

Обратная величина показателя — натуральный логарифм.<br>;
.

Экспонента в жизни. Экспоненциальный рост

Рассмотрим реальные примеры экспоненциального и экспоненциального роста.

Вирус. Если представить, что один человек может заразить гриппом еще троих, то число инфицированных со временем будет расти в геометрической прогрессии. Пациент получает четыре, четыре — двенадцать и так далее. Это то, что называется экспоненциальным ростом заболеваемости.

Банковские вклады под проценты. Все экспоненциальные процессы имеют одну функцию: за одно и то же время их параметры изменяются одинаковое число раз.

Например, банковский депозит увеличивается на определенный процент каждый год. Если положить 1000 рублей в банк под 10% годовых, то депозит через год будет 1100 рублей. А в следующем году 10% будет начисляться исходя из суммы 1100 руб. Это означает, что вклад будет расти сильнее, а значит, размер прибавки будет увеличиваться из года в год.

Поедание пищи. Например, когда человек очень голоден, он начинает быстро поглощать пищу. По мере насыщения скорость потребления пищи замедляется, после чего сводится к нулю.

Количество животных. Чем больше популяция животных, тем больше они размножаются. Следовательно, рост популяции прямо пропорционален количеству особей в ней.

Чем экспоненциальный рост отличается от линейного?

Линейный рост характеризуется постоянным добавлением константы, а экспоненциальный рост является следствием умножения на константу. То есть, если линейный рост на диаграмме представляет собой устойчивую линию, то экспоненциальный рост характеризуется быстрым стартом.

Пример — обычная ходьба. Если длина одного шага 1 метр, то за 6 шагов человек преодолевает расстояние 6 метров. Это называется линейным ростом.

При экспоненциальном росте длина каждого шага в нашем примере увеличивается в 2 раза. То есть сначала человек проходит 1 метр, потом 2 метра, потом 4 метра и так далее. В этом случае вы сможете пройти 32 метра за 6 шагов, что намного больше, чем в предыдущем примере.