Определение круга
Окружность – это множество точек на плоскости, ограниченных окружностью (т.е лежащих внутри окружности). На изображении ниже все, что заштриховано бирюзовым цветом, представляет собой круг.
Сектор круга – это площадь внутри круга, образованная двумя радиусами и дугой между ними.
Отрезок окружности – это площадь, образованная в результате деления окружности хордой, которая в свою очередь является частью секущей (прямой), пересекающей окружность.
- АВ — секущая;
- CD — хорда (отрезок, соединяющий две точки окружности).
Элементы круга
Рассмотрим элементы круга.
Радиус, диаметр хорды в окружности имеют те же определения, что и в окружности. Поскольку мы теперь рассматриваем не только контур, а всю фигуру, появляются новые элементы.
Представьте, что к нам в гости пришли друзья, и теперь мы должны разделить пиццу между всеми. Конечно, мы разрежем его на несколько частей.
Форма кусочков пиццы очень похожа на сектор круга.
Сектор – это часть окружности, ограниченная радиусами и дугой.
В этом случае два радиуса делят окружность на два сектора: один побольше, а другой поменьше. На рисунке один из них окрашен в фиолетовый цвет, а другой в белый.
Если мы хотим отрезать только один кусок пиццы, то и отрезанный кусок, и оставшаяся часть пиццы будут частями круга.
Теперь нарежем пиццу по-другому. Отрежем кусок по прямой, не проходя через середину:
Таким образом, мы будем отрезать от пиццы уже не сектор, а сегмент.
Читайте также: Синус угла: Таблица синусов
Отрезок – это часть окружности, ограниченная хордой и дугой.
Также хорда является границей двух отрезков: и отрезанный кусок пиццы, и остальные будут отрезками. На изображении ниже один сегмент окрашен в фиолетовый цвет, а другой — в белый.
| Подведем итог: И в окружности, и в окружности можно встретить радиус, диаметр, хорду и дугу. Сектор и сегмент также отображаются в круге. |
Свойства круга
Свойство 1
Центр окружности совпадает с центром окружности, ограничивающей ее. Чаще всего его обозначают буквой О.
Свойство 2
Радиус окружности (R) также является радиусом граничной окружности. Это отрезок, соединяющий центр окружности с любой точкой, лежащей на границе, т.е на окружности.
Хорда, проходящая через центр окружности, называется ее диаметром (d).
Свойство 3
Длина окружности равна длине ограничивающей ее окружности.
Свойство 4
Круг, по сравнению с другими фигурами, имеет наибольшую площадь для данной окружности.
Формулы
1. Окружность (Д):
2. Радиус окружности (R):
3. Диаметр круга (d):
4. Площадь круга (S):
5. Площадь сектора (S):
Обруч и окружность
Вспомним один из предметов инвентаря художественной гимнастики – обруч. Это узкое кольцо большого диаметра, внутри которого ничего нет. Обруч состоит только из «наброска», то есть из того же кольца. Именно с помощью обруча мы подходим к термину «окружность”.
Окружность – это замкнутая кривая, все точки которой равноудалены от центра.
Рассмотрим подробнее, что означает фраза «равноудален от центра». Предположим, мы точно знаем, где находится центр нашего кольца, и через этот центр мы протянем много-много лент. Тогда получается, что длина каждой полосы от середины до обруча будет одинаковой.
То есть окружность состоит из бесконечного числа точек, находящихся на равном расстоянии от центра.
Элементы окружности
Радиус — это отрезок, проведенный от центра окружности к любой точке окружности.
Если вы помните обруч с полосами, то одна полоса — это радиус. Радиус обозначается буквой R. По кругу можно построить много радиусов, и все они будут равны между собой.
Диаметр — это отрезок, соединяющий две точки на окружности и проходящий через центр окружности.
Сразу можно заметить, что диаметр будет состоять из двух радиусов, которые проведены по разные стороны от центра круга.
Диаметр обозначается буквой D и равен двум радиусам.
Д=2Р
Хорда — это отрезок, соединяющий две точки окружности. При этом хорда не обязательно проходит через центр окружности.
| Где в ловце снов спрятан аккорд? Представьте себе ловца снов. После изготовления нить протягивается от точки на ободе к точке на другом конце обода. Чтобы получился красивый узор, нити должны быть разной длины и проходить через разные точки — не обязательно через середину. Получается, что каждая строка внутри ловца слов будет аккордом. |
Таким образом, хорда может быть любого размера и любого направления, лишь бы начало и конец лежали на окружности.
Рассмотрим свойства хорды.
1 свойство. При пересечении двух хорд произведения их отрезков равны.
Пусть в окружности проведены хорды AB и CD, которые пересекаются в точке O. Тогда выполняется равенство AO * OB = CO * OD.
2 собственности. Равные хорды образуют равные дуги.
3 свойство. Диаметр, перпендикулярный хорде, делит пополам эту хорду и проведенные ею дуги.
Если диаметр CD перпендикулярен хорде AB, то AE = EB.
Рассмотрим, почему это свойство выполняется. Достроим треугольник AOB, где AO и OB — радиусы. Радиусы окружности равны, значит треугольник равнобедренный.
Рассмотрим ОЕ — высоту равнобедренного треугольника, проведенного к основанию.
Высота равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, совпадает с медианой и биссектрисой, поэтому ОЕ является медианой, а значит, AE = EB.
Дуга — это часть окружности, начало и конец которой — две произвольные точки.
Допустим, из нашего пяльца вырезана часть. Тогда и вырезанная часть, и оставшаяся часть будут дугами.
Пицца и круг
Мы рассмотрели круг. Тут уже может возникнуть вопрос: чем отличается окружность от окружности?
| В чем разница между кругом и пиццей? Представьте пиццу. Он круглый? Да. Она похожа на обруч? Нет. И пицца, и обруч имеют форму круга. Отличие в том, что обруч внутри полый, а пицца состоит исключительно из теста и начинки. Другими словами, пицца имеет не только контур в виде корочки, но и все, что лежит внутри нее. Когда круг внутри заполнен «начинкой» — это уже круг. |
Окружность – это геометрическая фигура, ограниченная окружностью.
Формулы для окружности и круга
Мы рассмотрели окружности и окружность, а также их элементы, но ни одна задача не решается без формул. Давайте посмотрим на них.
Однако перед этим необходимо ввести еще несколько терминов.
Окружность – это длина кривой, образующей окружность.
Если мы используем рулетку для измерения длины нашего пяльца, мы получим только окружность.
Длина дуги — это длина части кривой, образующей окружность.
Единственное отличие от длины окружности в том, что здесь измеряется не вся кривая, а только ее часть.
В следующей таблице приведены основные формулы, которые могут возникнуть при решении задач.
Дуга окружности
Дугу можно измерять не только в единицах длины, но и в градусах. Вся дуга окружности имеет градусную меру 360(circle). Тогда половина дуги окружности будет равна 180.
В этом случае дуга, равная 180(окружность), называется полуокружностью. Полуокружность ограничена двумя концами диаметра.
Мы верим, что хотя бы раз в жизни вы слышали выражение «повернуться на 180(circ) градусов» или «передумать на 180(circ) градусов». Это значит, что человек меняет свое мнение буквально на противоположное. Рассмотрим пример окружности: пусть человек стоит в точке А. Он должен пройти по окружности ровно 180(окружность).
Так как человеку нужно пройти полукруг, он ограничен его диаметром. Проделаем диаметр АВ, тогда наш человек окажется в точке В, то есть на противоположной стороне круга.
А если он пройдет полуокружность дважды, то снова окажется в точке А, то есть пройдет дугу в 2*180=360 градусов.
Следовательно, если человек находится в точке О и хочет повернуться на 180 градусов, вместо точки А он будет смотреть в точку Б. Когда он повернется на 360 градусов, человек снова будет смотреть в точку А.
| Почему, если мы хотим что-то сильно изменить, лучше развернуть жизнь на 180 градусов, а не на 360? Когда мы поворачиваемся на 180 градусов, мы смотрим на что-то с совершенно противоположной стороны. Но если мы повернем на 360 градусов, то будем смотреть в ту же точку, на которую смотрели изначально. |
Углы в окружности
Центральный угол – это угол, вершина которого лежит в центре окружности. В этом случае угол опирается на дугу окружности.
На рисунке угол АОВ будет центральным.
Центральный угловой объект:
- Центральный угол равен дуге, на которую он опирается.
Например, дуга АВ равна 36(окружность), тогда и угол АОВ равен 36(окружность).
Вписанный угол – это угол, вершина которого лежит на окружности. Вписанный угол также должен опираться на дугу окружности.
На рисунке угол ACB вписанный.
Свойства вписанного угла в окружность:
- Вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается.
Например, дуга АВ равна 50(окружность), тогда угол АСВ равен 25(окружность).
- Вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, равны.
Пусть углы DIA, AEB и AKB покоятся на душе AB. Тогда эти углы будут равны между собой.
- Вписанный угол, основанный на диаметре, равен 90(окружность).
Помните, что диаметр делит окружность на две полуокружности, размер которых равен 180(окружность). Тогда вписанный угол будет 180(окружность) : 2 = 90(окружность).
Также важно отметить, что вписанный угол равен половине центрального угла. При этом эти углы обязательно должны опираться на дугу.
Это легко доказать, если вспомнить, что:
- центральный угол равен мере дуги, на которую он опирается,
- вписанный угол равен половине градусной меры дуги, на которую он опирается.
Следовательно, (∠ACB = frac{1}{2}∠AOB).
Длина окружности
Формула для периметра
Длину окружности можно рассчитать по формуле:
C=2πR, где π=3,14.
Определение
Дуга – это часть окружности, соединяющая две точки. На рисунке мы видим несколько дуг, например дуги CD (малую и большую). Дуга АВ – называется полуокружностью, так как стягивает концы диаметра. Дуга помечена ∪AB.
