Что такое куб: определение, свойства, формулы

Немного теории о кубе

Этот многогранник сразу относится к прямым параллелепипедам и призмам. Он является частным случаем обоих. Основанием куба является квадрат, а его боковые ребра равны стороне данного квадрата. Таким образом, все три измерения имеют одинаковые значения.

Все шесть граней куба — квадраты. Длина каждого из 12 ребер одинакова.

В каждой из граней можно провести диагональ, длину которой легко найти по формуле Пифагора. Кроме того, у самого куба есть диагонали. Их всего четыре. Диагональ куба проводится так, чтобы она начиналась от вершины нижнего основания. Конец этого отрезка находится сверху верхнего основания, но так, чтобы он не совпадал с диагональю квадрата.

Определение куба

Куб — это правильный многогранник, все грани которого — квадраты.

• Вершины куба – это точки, являющиеся вершинами его граней.
  Всего их 8: A, B, C, D, A1, B1, C1 и D1.
• Ребра куба – это стороны его граней.
  Всего их 12: AB, BC, CD, AD, AA1, BB1, CC1, DD1, A1B1, B1C1, C1D1 и A1D1.
• Грани куба – это квадраты, из которых состоит фигура.
  Всего их 6: ABCD, A1B1C1D1, AA1B1B, BB1C1C, CC1D1D и AA1D1D.

Примечание. Куб — это частный случай параллелепипеда или призмы.

Отличие куба от квадрата, разница между ними

Куб и квадрат часто путают, думая, что это одинаковые геометрические фигуры. На самом деле они отличаются друг от друга, потому что каждый из этих объектов имеет только присущие ему свойства. Которые легко понять, зная определение куба и квадрата.

Что такое квадрат и что такое куб

Фото: Площадь

Квадрат – это фигура, лежащая на плоскости, и она двумерна. Его можно отобразить в виде прямоугольника с одинаковыми сторонами. Квадрат можно вырезать из бумаги.

Фото: Куб

Куб, с другой стороны, представляет собой трехмерный объект с объемом и 12 одинаковыми гранями. Таким образом, это правильный многогранник. Если развернуть его на плоскости, то он будет состоять из 6 панелей. Кубик для наглядности можно склеить из плотной бумаги, но лучше отлить из гипса, пластилина.

На фото: развернутый куб в самолете

Читайте также: Как сократить дробь: 6 класс

В чем разница между кубом и квадратом: сравнение двух фигур

По сравнению с квадратом куб имеет более сложную геометрию. Квадрат — простая фигура, у него всего 4 стороны и 4 угла, между которыми абсолютное равенство. Квадрат можно назвать подвидом прямоугольника только там, где ширина и длина сторон одинаковы. Квадрат всегда плоский. Чтобы вычислить площадь квадрата, просто умножьте одну сторону на другую.

Конфигурация куба более сложная, так как у него уже есть третья мера — объем. Это свойство отражает пространство, занимаемое объектом, в нашем случае кубом. Куб также имеет третье измерение (параметр) — высоту. Между ними ширина, длина и высота куба равны.

Элементы куба

Основными элементами многогранника являются грани, ребра, вершины.

Грань

Плоскости, образующие поверхность куба, называются гранями. Другое название страницы.

Интересно, сколько граней у куба и какие у них функции? Всего ребер шесть. Два из них, параллельные друг другу, считаются основаниями, остальные — боковыми.

Грани куба представляют собой пары перпендикуляров, являются квадратами и равны друг другу.

Ребро

Линии, где пересекаются стороны, называются ребрами.

Не все учащиеся могут ответить, сколько ребер у куба. Их двенадцать. Они одинаковой длины. Те из них, которые имеют общий конец, располагают под прямым углом к ​​одному из двух других.

Ребра могут пересекаться в вершине, быть параллельными. Ребра, не лежащие на одной грани, скошены.

Вершина

Точки пересечения ребер называются вершинами. Их число равно восьми.

Центр грани

Отрезок, соединяющий две вершины, не являющийся ребром, называется диагональю.

Центром грани считается точка пересечения диагоналей грани — точка, равноудаленная от всех углов и сторон квадрата. Это центр симметрии лица.

Центр куба

Точкой пересечения диагоналей куба является его центр — точка, равноудаленная от всех углов, ребер и сторон многогранника.

Это центр симметрии куба.

Ось куба

Рассматриваемый многогранник имеет несколько осей с ортогональной (под прямым углом) симметрией. К ним относятся: диагонали куба и прямые линии, проходящие через центр параллельно краям.

Диагональ куба

Отрезок, соединяющий две вершины, не принадлежащие одной стороне, называется диагональю рассматриваемого многогранника.

Учитывая, что ребра куба имеют равные размеры a, мы можем найти длину диагонали:

Формула доказывается с помощью дважды примененной теоремы Пифагора.

Диагональ куба является одной из осей симметрии.

Все диагонали в кубе равны между собой, а точка пересечения делится пополам.

Диагональ грани куба

Длина диагонали грани в √2 раза больше длины ребра, т.е:

Эта формула также доказывается с помощью теоремы Пифагора.

Сложные свойства куба

По сравнению с квадратом куб обладает более сложными дополнительными свойствами. Например, геометрический объект состоит из четырех частей, которые представляют собой правильные шестиугольники. Все части куба проходят через центр и перпендикулярны четырем главным диагоналям.

Так как куб имеет объем, в него можно вписать различные многогранники — например, тетраэдр (простейший многогранник с гранями в виде 4 треугольников), октаэдр (у этого многогранника уже 8 граней), икосаэдр (20 граней многогранник).

Чтобы еще проще было понять разницу между кубом и квадратом, имеет смысл визуально оценить свойства каждой фигуры. Возьмем, к примеру, обычный детский кубик с приклеенными по бокам картинками. Так что сам куб — ​​фигура куба, а каждое изображение, наклеенное на его грань, — квадрат.

Свойство 1

Как следует из определения, все ребра и грани куба равны. При этом противоположные грани фигуры попарно параллельны, т.е.:

• АВСD || A1B1C1D1
• АА1В1В|| CC1D1D
• BB1C1C|| AA1D1D

Свойство 2

Диагонали куба (их всего 4) равны и в точке пересечения делятся пополам.

• AC1 = BD1 = A1C = B1D (диагонали куба).
• О — пересечение диагоналей:
  АО=ОС1=БО=ОД1=А10=ОС=В1О=ОД.

Свойство 3

Все двугранные углы куба (углы между двумя гранями) равны 90°, т е прямые.

Например, на рисунке выше правильный угол между гранями ABCD и AA1B1B.

Формулы для куба

Мы используем следующие обозначения, которые будут использоваться ниже:

• а — ребро куба;
• d — диагональ куба или его грани.

Нахождение объема и площади

Если необходимо вычислить объем фигуры, для вычисления берут длину любого ребра между гранями и возводят ее в третью степень. Чтобы найти площадь трехмерного куба, нужно знать сумму площадей всех сторон. Так как они идентичны, просто площадь одной стороны умножаем на 6. А чтобы найти площадь сторон, длину ребра умножаем на себя. Допустим, длина ребра 4 см, чтобы найти площадь одной стороны куба, умножаем 4 на 4 — получаем 16. И уже увеличиваем это число в 6 раз. Значит объем куба будет 96см²

Диагональ

Длина диагонали куба равна длине ребра, умноженной на квадратный корень из трех.

Диагональ грани

Диагональ грани куба равна произведению ребра на квадратный корень из двух.

Площадь полной поверхности

Общая площадь поверхности куба равна шести площадям поверхности. В формуле может использоваться длина ребра или диагонали.

Периметр ребер

Периметр куба равен длине ребра, умноженной на 12. Его также можно вычислить по диагонали.

Объем

Объем куба равен длине ребра куба.

Радиус описанного вокруг шара

Радиус сферы, описанной около куба, равен половине его диагонали.

Радиус вписанного шара

Радиус сферы, вписанной в куб, равен половине длины ребра.

Координаты вершин куба

1. Координаты вершин куба со стороной а и вершиной D в начале декартовой системы координат, ребра этой вершины лежат на осях координат:

А(а, 0, 0), В(а, а, 0), С(0, а, 0), D(0, 0, 0),
Е(а, 0, а), F(а, а, а), G(0, а, а), Н(0, 0, а).

2. Координаты вершин куба со стороной 2а, где центр куба находится в начале декартовой системы координат так, что ребра куба параллельны осям координат:

А(а, -а, -а), В(а, а, -а), С(-а, а, -а), D(-а, -а, -а),
Е(а, —а, а), F(а, а, а), G(—а, а, а), Н(—а, —а, а).

Определение: единичный куб — ​​это куб, имеющий длину ребра.

Пересечение куба плоскостью

1. Если разрезать куб плоскостью, проходящей через центр куба и центры двух противоположных граней, то сечение будет иметь квадрат, длина стороны будет равна длине ребра куба. Эта плоскость делит куб на два равных прямоугольных параллелепипеда.
2. Если куб с ребром а пересечь плоскостью, проходящей через центр куба и два параллельных ребра, то сечение будет иметь прямоугольник со сторонами а и а√2, с площадью поперечного сечения а2√2. Эта плоскость делит куб на две равные призмы.
3. Если разрезать куб плоскостью, проходящей через центр и середины шести граней, то сечение будет иметь правильный шестиугольник со стороной a√2/2, площадью поперечного сечения a2(3√3)/4 . В кубе одна из диагоналей (FC) каждой грани перпендикулярна стороне шестиугольника.
4. Если пересечь куб плоскостью, проходящей через три угла куба, то сечение будет иметь правильный треугольник со стороной а√2, площадью поперечного сечения а2√3/2 и объемом большей части 5а3/. 6 и меньшее — а3/6. Одна из диагоналей куба (ЕС) перпендикулярна плоскости сечения, проходит через центр треугольника (М) и делится плоскостью в отношении МС:ЕМ = 2:1.

Важные формулы

Они должны вводить одно и то же обозначение. Чаще всего буква «а» — это сторона куба. «V» для объема. Площадь «S» и «d» и диагональ соответственно. «R» и «r» — радиусы описанной и вписанной сфер.

V= a³ (#1) используется для нахождения объема;

S= a² (№ 2) формула площади лица;

S = 6a² (№3) нужен для вычисления площади всей поверхности куба;

если вы хотите узнать диагональ куба, то формула будет такой d = a √ 3 (№4);

для поиска радиусов пригодится: R = (a/2) * √3 и r = a/2 (№5) и (№6) .

Несколько слов о симметрии куба

Это геометрическое тело имеет два типа симметрии: относительно точки и относительно оси. Чтобы найти первое, начертите диагональ куба, затем второе, чтобы найти пересечение. Это будет центр симметрии.

Все прямые, проходящие через эту точку и перпендикулярные граням, оказываются осями симметрии.

Теория

Как найти ребро куба зная его объём

Какова длина ребра куба а, если объем куба Vкуб:

Формула

а = 3√Vкуб

Пример

Например, посчитаем, какова длина ребра куба а, если объем Vкуб = 8 см³:

а = 3√8 = 2 см

Как найти ребро куба зная его диагональ

Какова длина ребра куба а, если диагональ равна d:

Формула

а = д ⁄√3

Пример

Например, посчитаем, какова длина ребра куба а, если длина диагонали d = 9 см:

а = 9 ⁄ √3 ≈ 9/1,732 ≈ 5,196 см

Как найти ребро куба через площадь поверхности

Какова длина ребра куба а, если поверхность Sp:

Формула

а = √Surf⁄ 6

Пример

Например, рассчитаем, какова длина ребра куба а, если поверхность Sp = 150 см²:

а = √150 / 6 = √25 = 5 см

Сфера, вписанная в куб

Центр такой сферы совпадает с центром куба.

Радиус равен половине ребра:

Сфера, описанная вокруг куба

В случае вписанной сферы центр совпадает с пересечением диагоналей, радиус равен половине диагонали: