Что такое квадратный корень?

Что такое квадратный корень

Определение арифметического квадратного корня не дает ясности, но помнить стоит:

Арифметический квадратный корень из неотрицательного числа а — это неотрицательное число, квадрат которого равен а.

Определение квадратного корня также можно представить в виде формул:

Из определения следует, что а не может быть отрицательным числом. То есть то, что находится под корнем, обязательно является положительным числом.

Чтобы понять, почему именно так и никак иначе, давайте рассмотрим пример.

Попробуем найти корень

Здесь логично предположить, что 4, но проверим: 4*4=16 — не сходится.

Если -4, то -4 * -4 = 16 (минус, умноженный на минус, всегда дает плюс).

Оказывается, ни одно число не может дать отрицательный результат при возведении в квадрат.

Числа под знаком корня должны быть положительными.

Исходя из определения, значение корня также не должно быть отрицательным.

Здесь могут возникнуть резонные вопросы, почему, например, в примере , и .

Разница между квадратным корнем и арифметическим квадратным уравнением

Прежде всего, чтобы разграничить эти два понятия, запомните:

• не похоже .

Это два выражения, которые не тождественны друг другу.

• является квадратным уравнением.
• это арифметический квадратный корень.

Из выражения следует, что:

• , это означает, что , , .

Если вас смущают две вертикальные палочки рядом с x, ознакомьтесь с нашей статьей о модуле числа.

В то же время из выражения следует, что .

Если ситуация по-прежнему кажется запутанной и нелогичной, просто помните, что отрицательное число может быть только решением квадратного уравнения. Если решение «минус» — есть два варианта:

1. Пример исправленной ошибки
2. Это квадратное уравнение.

Если вы возьмете квадратный корень из числа, вы можете быть уверены, что получите «положительный» результат.

Давайте возьмем пример, чтобы наконец узнать разницу между квадратным корнем и квадратным уравнением.

Мы видим, что результатом решения первого выражения являются два числа — отрицательное и положительное. А во втором случае — только положительные.

Читайте также: Свойства деления натуральных чисел, свойство деления суммы на число

Запись иррациональных чисел с помощью квадратного корня

Иррациональное число – это число, которое нельзя представить в виде правильной дроби.

Чаще всего иррациональные числа можно встретить в виде корней, логарифмов, степеней и так далее

Чтобы упростить запись иррациональных чисел, математики ввели понятие квадратного корня. Давайте рассмотрим пару примеров, чтобы увидеть квадратный корень в действии.

Дано уравнение: .

Сразу сталкиваемся с проблемой, так как очевидно, что ни одно целое не подходит.

Давайте пробежимся по цифрам, чтобы убедиться в этом:

Отрицательные числа дают тот же результат. Таким образом, результат решения не может быть целым числом.

Решение следующее:
Построим график функции y = x2.
Отметим решения на графике: .

Если вы попытаетесь извлечь квадратный корень из 2 с помощью калькулятора, результат будет следующим: .

В таком виде ответ не записывается — надо оставить квадратный корень.

Извлечение корней

решать примеры с квадратными корнями намного проще, если вы помните как можно больше квадратов чисел. Для этого воспользуйтесь таблицей – сохраните ее себе и используйте для решения задач.

Таблица квадратов

100	121	144	169	196	225	256	289	324	361
400	441	484	529	576	625	676	729	784	841
900	961	1024	1089	1156	1225	1296	1369	1444	1521
1600	1681	1764 г	1849 г	1936 г	2025	2116	2209	2304	2401
2500	2601	2704	2809	2916	3025	3136	3249	3364	3481
3600	3721	3844	3969	4096	4225	4356	4489	4624	4761
4900	5041	5184	5329	5476	5625	5776	5929	6084	6241
6400	6561	6724	6889	7056	7225	7396	7569	7744	7921
8100	8281	8464	8649	8836	9025	9216	9409	9604	9801

Вот несколько примеров извлечения корня, чтобы научиться пользоваться таблицей:

• 1. Извлеките квадратный корень:

Ищем в таблице число 289, двигаемся от него влево и вверх, чтобы определить цифры, образующие нужное нам число.

Влево — 1, вверх — 7.

Отвечать: .

• 2. Извлеките квадратный корень:

Ищем в таблице число 3025.
Влево — 5, вверх — 5.

Отвечать: .

• 3. Извлеките квадратный корень:

Ищем в таблице число 7396.

Влево — 8, вверх — 6.

Отвечать: .

• 4. Извлекаем рут:

Ищем в таблице число 9025.

Влево — 9, вверх — 5.

Отвечать: .

• 5. Вытащить корень

Ищем в таблице число 1600.

Влево — 4, вверх — 0.

Отвечать: .

извлечение корня называется нахождением его значения.

Свойства арифметического квадратного корня

У арифметического квадратного корня есть 3 свойства — их нужно запомнить, чтобы было легче решать примеры.

• Корень произведения равен произведению корней
• извлечение корня из дроби — это извлечение корня из числителя и знаменателя
• Чтобы возвести корень в степень, поднимите значение под корнем степени

Давайте потренируемся и решим примеры для всех трех операций с корнями. Не забудьте посмотреть таблицу маршрутов. Попробуйте решить примеры самостоятельно, и посмотрите ответы для проверки.

Квадратный корень как элементарная функция.

Квадратный корень — это элементарная функция и частный случай степенной функции 
на 
. Арифметический квадратный корень является гладким для 
, а в нуле линейно-непрерывна, но не дифференцируема (специфическое свойство корней).

Корень комплексной переменной как функция представляет собой двузначную функцию, лист которой сходится к нулю.

Свойство корня как функции.

На </a>0; +∞) можно установить, что каждое число xi соответствует одному корню числа n из x для любого значения n.

То есть это означает, что на множестве </a>0; +∞) можно говорить о корневой функции:

Теперь определим свойства корневой функции и построим график.

Основные свойства корня как функции:

Интервал </a>0; +∞) — область определения.

Поскольку неотрицательное число является корнем n-степени неотрицательного числа, интервал </a>0; +∞) будет диапазоном функции.

Поскольку область определения функции не является симметричным множеством, эта функция не является ни нечетной, ни четной.

Операция извлечения корня была введена как обратная операция для возведения в нужную степень.

Итак, можно утверждать, что:

Теперь мы можем построить функцию корня.

Используя график, вы можете записать остальные свойства функции.

На интервале </a>0; +∞), увеличивает функцию.

Функция не ограничена сверху, но ограничена снизу, например прямая у, которая = -0,5.

Функция выпукла вверх по всей области определения.

Функция будет иметь минимальное значение 0 и не будет иметь максимального значения.

Если функция дифференцируема в каждой из точек некоторого интервала, это означает, что она непрерывна на этом интервале.

Затем:

В любой точке интервала </a>0; +∞) эта производная существует, кроме точки 0.

Поскольку функция имеет производную в любой точке интервала (0; +∞), это означает, что функция дифференцируема на интервале (0.

График квадратного корня

На координатной плоскости функция y = √x выглядит так:

График берет начало в точке (0, 0), является монотонно возрастающим и лежит исключительно в первой четверти координатной плоскости, т.к определен только при x > 0, для которых он принимает положительные значения y.

Действия с квадратным корнем, правила

При умножении корней важно помнить, что корень произведения равен произведению корней.

Пример 1

Рассмотрим простые примеры из арифметики:

5 3=15

26=12

Обратите внимание, что:

12=4 3

В этом случае:

2 6=12=4 3=4 3=23

Пример 2

Разберем задачи чуть посложнее из алгебры:

4 6=2 6=26

2 8=16=4 12 3=36=6

В математике часто можно встретить задачи с большим количеством факторов. В таком случае также применяется правило умножения:

5 3 2=10 3=30

Пример 3

Давайте рассмотрим несколько примеров:

4 6 5=4 6 5=4 6 5=120=4 30=230

3 6 7=3 6 7=3 6 7=126

32 2=32 2=32 2=64=8.

Если в примере содержится действие деления корней, следует использовать правило:

аб = аб

Здесь a отлично от нуля, b — положительное число, не равное нулю.

Если кратко сформулировать свойство, то получится, что корень частного равен частному корней.

Пример 4

Давайте попробуем пример:

123=123=4=2

Упростим следующее выражение:

123=129=129=43=23

Пример 5

Рассмотрим нетипичный пример:

144225

В этом случае можно использовать аналогичное правило для деления корней, только в обратном порядке:

144225=144225=1215=45=0,8

Попробуем рассчитать:

0,16=16100=410=0,4

Пример 6

Еще одно нестандартное выражение:

51925

Здесь необходимо запомнить правила преобразования дробей:

51925=14425=125=2,4

В заданиях часто нужно поднять рут силы. Основываясь на определении квадратного корня, когда вы возводите в квадрат число с корнем а, вы получаете число а.

Пример 7

Рассмотрим несколько показательных примеров:

122=12

172=17

Простые задачи на квадратный корень не сложны. Чуть сложнее акт поднятия корня на другую степень. Для решения таких задач требуется применять свойства и правила действий со степенями.

Пример 8

Попробуем рассчитать:

56=523=53=125

Отметим, что расчеты проводились с единой степенью. Есть возможности для задач с нечетными номерами. В этом случае следует воспользоваться свойствами степени и разложить выражение на множители.

Пример 9

Например:

57=56 5=1255

Пример 10

Следующая задача состоит в том, чтобы извлечь корень числа в степень:

32=9=3

Когда показатель степени больше числа 2, необходимо повторно применить свойства показателей степени.

Пример 11

Например:

36=332=33=27

35=34 3=322 3=32 3=93

После рассмотрения операций с корнями можно приступать к вводу чисел под знаком корня.

Пример 12

Например:

46-23 8=16 6-4 3 8=96-96=0

Пример 13

Допустим, у нас есть число:

35

Под знаком корня желательно поставить 3, зная, что это квадратный корень из 9:

35=9 5=45

В результате открываются новые возможности для решения проблем.

Пример 14

Возьмем другой пример:

310-45 2=90-90=0

Следует учитывать правило, согласно которому под знаком квадратного корня допускаются только положительные числа.

Пример 15

Например:

46-23 8=16 6-4 3 8=96-96=0

Корни можно сравнивать. Этот навык полезен при решении больших выражений, корнями которых являются иррациональные числа. Когда для получения интервала требуется расположить полученные решения на координатной прямой, без калькулятора это сделать затруднительно.

Пример 16

Попробуем сравнить выражения:

37 и 217

Вы должны использовать это свойство, чтобы добавить число под корневым знаком:

37=9 7=63

217=4 17=68

Тот корень будет больше, где больше число под знаком корня. Таким образом:

68>63

68>63

Результат таков:

37<217.

Рассмотрим порядок операций по извлечению корней из большого числа. В процессе необходимо расширить выражение под корневым знаком и извлечь корень.

Пример 17

Например:

98=49 2=49 2=72

Другое возможное решение:

98=7 14

Затем снова разложите корневое выражение:

98=7 14=7 7 2=72 2=72

Пример 18

Возьмем нестандартный пример:

15 180 12

Разложим каждый из факторов под корневым знаком на отдельные факторы:

15 180 12=5 3 36 5 2 6

Сделаем преобразования:

5 3 36 5 2 6=5 3 3 12 5 2 3 2==5 3 3 2 2 3 5 2 3 2

Воспользуемся свойством умножения корней и перенесем все под один знак корня:

5 3 3 2 2 3 5 2 3 2=5 5 3 3 3 3 2 2 2 2==25 81 16=5 9 4=180

Умножение арифметических корней

Чтобы умножить арифметические корни, используйте формулу:

Посмотрите внимательно на второе выражение и запомните, как пишутся такие примеры.

Если нет возможности извлечь корни из чисел, делаем так:

1. Если факторов больше двух, решается почти точно так же, как и с двумя факторами:

Деление арифметических корней

Чтобы разделить арифметические корни, используйте формулу:

1. Ответ: составим смешанную дробь неправильной (16*3)+1=49

При делении не забывайте уменьшать множители. При делении арифметических корней используйте правила преобразования обыкновенных дробей.

Возведение арифметических корней в степень

Чтобы возвести арифметический корень в степень, используйте формулу:

Просмотрите свойства степеней или запишитесь на уроки математики, чтобы легко решить эти примеры.

Внесение множителя под знак корня

Вы уже умеете извлекать и превращать квадратные корни по-всякому: умножать, делить, возводить в степень. Богатый арсенал, не так ли? Осталось освоить еще несколько приемов, и вы сможете безбоязненно браться за любую задачу.

А теперь давайте разберемся, как сделать множитель под знаком корня.

Учитывая выражение:

Число семь умножается на квадратный корень из девяти.

Возьмите квадратный корень и умножьте его на 7.

В этом выражении число 7 является множителем. Поставим его под знаком корня.

Помните, что необходимо вводить множитель под знаком корня, чтобы значение исходного выражения оставалось неизменным. Другими словами, после наших манипуляций с корнем значение выражения все равно должно быть 21.

Ты помнишь

Тогда число 7 нужно возвести во вторую степень. В этом случае значение выражения останется прежним.

Формула сложения множителя под квадратным корнем:

Помните: нельзя вводить отрицательные числа под знаком корня.

Вынесение множителя из-под знака корня

Кажется, мы разобрались, как добавить множитель под корень. Но алгебра такая алгебра, так что теперь было бы неплохо вынести множитель под квадратный корень.

Выражение дано в виде квадратного корня из произведения.

Вы уже можете легко извлечь квадратный корень из чего угодно, так что вы знаете, что делать.

Извлекаем корень из всех имеющихся множителей.

В этом выражении мы можем извлечь только квадратный корень из 4, поэтому:

Таким образом, множитель выносится под знаком корня.

Давайте посмотрим на примеры. Попробуйте сами вынести множители под корень квадратный, сверяясь с ответами.

1. Разложим подкоренное выражение на множители 28=7*4.

   Извлекаем корень из 4. Множитель 7 оставляем под знаком корня.

   Отвечать:

2. Ответ: по правилу извлечения квадратного корня из произведения

   Поскольку отображаемый множитель должен предшествовать корневому знаку, мы меняем их местами.

3. Вынесите множитель под квадратным корнем выражения:

   Ответ: Разложим выражение под корнем на множители 24=6*4.

4. Упростите выражение: .

   Представим в виде

   Представим в виде

   Затем

   Вынесем два последних выражения под знаком корня.

   Мы умножаем. Остальная часть выражения записывается без изменений.

   Мы видим, что во всем выражении есть один общий множитель — .

   Общий множитель выносим за скобки:

   Затем вычисляем все в скобках:

Извлечение квадратного корня из большого числа

Вы наверняка уже познакомились и подружились с таблицей квадратов. Она твоя правая рука. С ним вы реактивно решаете примеры и, возможно, даже думаете о том, чтобы запомнить их.

Но, как видите, таблица заканчивается числом 9801. И это, согласитесь, не самое большое число, которое можно встретить в примере.

Чтобы извлечь корень из большого числа, которого нет в таблице Менделеева, нужно:

1. Определите «сотни», между которыми он стоит.
2. Определите «десятки», между которыми оно стоит.
3. Определите последнюю цифру этого числа.

Есть много способов извлечь корень из большого числа — вот один из них.

Возьмем корень .

Наша задача решить, между какими десятками находится число 2116.

102 = 100

202 = 400

302 = 900

402 = 1600

502 = 2500

Мы видим, что 2116 больше 1600, но меньше 2500.

Это означает, что число 2116 находится между 402 и 502.

41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49.

Вспомните лайфхак по расчету всего на свете, что нужно возвести в квадрат.

Ни для кого не секрет, что на последнем месте в любом числе может стоять только одна цифра от 1 до 0.

Как пользоваться таблицей

12 = 1

22 = 4

32 = 9

42 = 16 ⇒ 6

52 = 25 ⇒ 5

62 = 36 ⇒ 6

72 = 49 ⇒ 9

82 = 64 ⇒ 4

92 = 81 ⇒ 1

Мы знаем, что число 41, возведенное в квадрат, даст число, оканчивающееся на цифру 1.

Число 42 в квадрате даст число, оканчивающееся на цифру 4.

Число 43 в квадрате даст число, оканчивающееся на 9.

Такой шаблон позволяет нам «перебрать» все возможные варианты без ввода, кроме тех, которые не дают нужной нам цифры 6 в конце.

Это оставляет нам два варианта: 442 и 462.

Затем вычисляем: 44*44=1936.

46*46=2116.

Отвечать:

Если этот способ показался не совсем понятным, можно потратить еще немного времени и разложить число на множители. Если мы решим все правильно, мы получим тот же результат.

Другой пример. Извлечь корень из числа

Разложим число 11664 на множители:

11664: 4 = 2916

2916: 4 = 729

729: 3 = 243

243 : 3 = 81

11664	4
2916	4
729	3
243	3
81	81

Запишем выражение в следующем виде:

Отвечать:

извлекать квадратный корень из большого числа намного проще с помощью калькулятора. Но знать парочку таких способов «на крайний случай» точно не помешает. Например для контроля или экзамена.

Чтобы закрепить все теоретические знания, давайте еще немного потренируемся в решении примеров на арифметические квадратные корни.

Примеры решения задач

Задание 1

Упрощаемое выражение дано:

х+1хх+х+х:1х2-х

Решение

Прежде всего, определим диапазон допустимых значений:

0<>

Выполним преобразования, руководствуясь свойствами квадратного корня:

х+1х(х+х+1):х(хх-1)1

(х+1)(х-1)х(х+х+1)(х-1):х(хх-1)1

х-1х(хх-1)х(хх-1)1=х-1

Ответ: х — 1

Задача 2

Необходимо рассчитать:

(а+б)2-4б(аб):1б+31а:а+9б+6аб1б+1а

Решение

Определим ОДЗ:

а≠б,а>б,б>0.

Выполним преобразования, используя свойства квадратного корня:

а+2аб+б-4б(аб)(а+б):1б+3а:(а+3б)2а+баб

а+2аб-3б(аб)(а+б):а+3баб:(а+3б)2аба+б

(a+2ab-3b)(a+3b)(a+b)(ab)(a+b)ab(a+3b)2ab

а+2аб-3баб(а-аб+3аб-3б)=1аб

Ответ: 1аб

Задача 3

Нам нужно упростить выражение:

2а(1+а)1+а3 4+8а+4а22

Решение

Напишем ОДЗ:

2а(1+а)1+а3≥0,а≠0,а≠-1

а > 0

Сделаем вычисления, используя свойства корня:

2а(1+а)1+а336 4+8а+4а2226

8а31+а)3(1+а)6 4а2+8а+4а2226

8а31+а)46 16(а+1)42а46

8а31+а)4 8(а+1)4а46=64а6=2а56а

Ответ: 2а56а

Задача 4

Упрощаемое выражение дано:

(х+2)2-8хх-2х

Решение

Диапазон допустимых значений соответствует:

0<>

Сделаем преобразования:

х2+4х+4-8х(х)2-2х

хх2-4х-4х-2

х(х2-2)2х-2

х|х-2|х-2

х<2,-х

х∈(2;+∞),х

Ответ: x<2,-x,x∈(2;+∞),x

Упражнение 5

Выполнить действия:

абв+4а+4бкаабв+2,

а = 0,04

Решение

Первым делом найдем ОДЗ:

бк≥0

Затем выполняем вычисления, используя свойства корня:

абв+4а+4бкаабв+2

абв+4абв+4аабв+2

(абв+2)2аабв+2

абв+2а(абв+2)=1а=10,04=10,2=5

Ответ: 5

Упражнение 6

Дано выражение, значение которого вы хотите найти:

(x2-3)2+12x2x2+(x+2)2-8x

Решение

Определим ОДЗ:

х≠0

Преобразуем выражение, используя понятие и свойства корня:

х4-6х2+9+12х2х2+х2-4х+4-8х

х4+6х2+9х2+х2-4х+4

(x+3)2×2+(x-2)2=x2+3|x|+|x-2|=x2+3-x-x+2=x2+3+x2-2x-x=2×2-2x+ 3 -х, х<0,х2+3х-х+2=х2+3-х2+2хх=2х+3х, 0<>

Ответ: -2×2+2x-3x, x∈(-∞;0);2x+3x, x∈(0;2);2×2-2x+3x, x∈</a>2;+∞)