Что такое линейная функция: определение, формула, график

Вычисления

Понятие функции

задание функции означает определение правила, согласно которому по значениям независимой переменной можно найти соответствующие значения функции. Вот способы его установки:

  • Табличный метод помогает быстро определить конкретные значения без дополнительных измерений и расчетов.
  • Аналитический метод основан на формулах. Компактный, и вы можете вычислить функцию для произвольного значения аргумента из домена.
  • Вербальная манера.
  • Графический способ визуален. Мы проанализируем его в этой статье.

Понятие графика функции

График функции y = f(x) — это множество точек (x; y), координаты которых связаны соотношением y = f(x). Само равенство y = f(x) называется уравнением этого графика.

График функции представляет собой набор точек (x; y), где x — аргумент, а y — значение функции, соответствующее данному аргументу.

Проще говоря, график функции показывает множество всех точек, координаты которых можно найти, просто подставив вместо функции xi все числа.

Например, возьмем простейшую функцию, где аргумент равен значению функции, то есть y = x.

В этом случае нам не нужно вычислять значение функции для каждого аргумента, так как они равны, поэтому абсцисса для всех точек графика будет равна ординате.

Отметьте на координатной плоскости любые три точки, например: L(-2;-2), M(0;0) и N(1;1).

Понятие графика функции

Если последовательно соединить отмеченные точки от наименьшего значения аргумента к наибольшему, то получится прямая линия. Таким образом, график функции y = x представляет собой прямую линию. На схеме это выглядит так:

Понятие графика функции рис 2

Надпись на чертеже у = х есть уравнение графика. Надпись с уравнением удобно нанести на чертеж, чтобы не запутаться при решении задач.

Важно отметить, что прямая бесконечна в обоих направлениях. Хотя мы и называем часть прямым графиком функции, на самом деле на чертеже показана лишь малая часть графика.

Помнить! Не обязательно делать рисунок на весь тетрадный лист, вы можете выбрать удобный для вас масштаб, который будет отражать суть задачи.

Исследование функции

Важные моменты на графике функции y = f(x):

  • стационарные и критические точки;
  • экстремальные точки;
  • нулевые функции;
  • точки останова функций.

Стационарные точки — это точки, в которых производная функции f(x) равна нулю.

Критические точки — это точки, в которых производная функции f(x) равна нулю или не существует. Стационарные точки являются подмножеством множества критических точек.

Экстремум в математике — это максимальное или минимальное значение функции в заданном множестве. Точка, в которой достигается экстремум, называется точкой экстремума. Следовательно, при достижении минимума точка экстремума называется точкой минимума, а при достижении максимума — точкой максимума.

Нули функции — это значения аргумента, при которых значение функции равно нулю.

Асимптота – это прямая, обладающая таким свойством, что расстояние от точки до графика функции до этой прямой стремится к нулю при неограниченном расстоянии от начала координат до точки графика. По способам их нахождения различают три вида асимптот: вертикальные, горизонтальные, наклонные.

Функция непрерывна в точке k, если предел функции в данной точке равен значению функции в этой точке:

Если функция f(x) не является непрерывной в точке x = a, говорят, что f(x) имеет разрыв в этой точке.

Непрерывные функции, разрыв в точке

Если нам необходимо построить график неизвестной функции, когда невозможно заранее представить форму графика, полезно использовать схему для изучения свойств функции. Это поможет вам получить представление о графике и начать построение по точкам.

Схема построения графика для функции:

  1. Найдите диапазон функции.
  2. Найдите диапазон допустимых значений функции.
  3. Проверьте, является ли функция четной или нечетной.
  4. Проверьте, является ли функция периодической.
  5. Найдите точку пересечения с осью OY (если есть).
  6. Вычислить производную и найти критические точки, определить интервалы возрастания и убывания.
  7. Знаковые интервалы.
  8. Асимптоты.
  9. На основании проведенного исследования постройте график функции.

Построение графика функции

Чтобы понять, как строить графики функций, давайте потренируемся на примерах или воспользуемся онлайн-симулятором.

Упражнение 1. Построим график функцииУпражнение 1. Построим график функции

Как мы решаем:

Упростим формулу функции:

Упражнение 1. Упростите формулу
при х ≠ -1.

График функции представляет собой прямую линию y = x — 1 с пробитой точкой M (-1; -2).

Построение графика функции, задание 1

Упражнение 2. Построим график функцииУпражнение 2. Построим график функции

Как мы решаем:

Выделим целую часть формулы функции:

Возьмем всю часть

График функции представляет собой гиперболу, сдвинутую на 3 вправо ix и 2 вверх iy и растянутую в 10 раз по сравнению с графиком функции Гипербола. График функции

Гипербола

Упражнение 3. Построить графики функций:

а) у = 3х — 1

б) у = -х + 2

в) у = 2х

г) у = -1

Как мы решаем:

Воспользуемся методом построения линейных функций «по точкам».

а) у = 3х — 1

икс у
0 -1
1 2

Задача 3. Построить функцию из пункта 1

Как видно, k = 3 > 0 и угол наклона оси Ox острый, b = -1 — смещение по оси Oy.

б) у = -х + 2

икс у
0 2
1 1

Упражнение 3. Построить функцию из пункта 2

k = -1 > 0 и b = 2, мы можем сделать такие же выводы, как и в первом пункте.

в) у = 2х

икс у
0 0
0 2

Пример построения графика функции

k = 2 > 0 — угол наклона оси Ox острый, b = 0 — график проходит через начало координат.

г) у = -1

Упражнение 3. Построить функцию из пункта 4

k = 0 — постоянная функция, прямая проходит через точку b = -1 и параллельна оси Ox.

Упражнение 4. Определите знаки коэффициентов общего вида функции y = ax2 + bx + c по виду графика.

  1. Знак коэффициента 1
  2. Знак коэффициента 2
  3. Знак коэффициента 3

Как мы решаем:

Вспомните, как параметры a, b и c определяют положение параболы.

  1. Ветвится вниз, следовательно, a < 0.

    Точка пересечения с осью Oy c = 0.

    Координата вершины Координата вершины 1

  2. Ветвится вверх, следовательно, a > 0.

    Точка пересечения с осью Oy c > 0.

    Координата вершины Координата вершины 2
    , так как неизвестное число при делении на положительное число дает отрицательный результат, то это число отрицательное, следовательно, b > 0.

  3. Ветвится вниз, следовательно, a < 0.

    Точка пересечения с осью Oy c > 0.

    Координата вершины Координата вершины 3
    , так как неизвестное число при делении на отрицательное дает положительный результат, то это число отрицательное, следовательно, b < 0.

Задача 5. Построить графики функций:

а) у = х² + 1

б) Задача 5. Построить графики для функций 2

в) у = (х — 1)² + 2

г) Задача 5. Построить графики для функций 4

д) Задача 5. Построить графики для функций 5

Как мы решаем:

Вы можете строить графики с помощью элементарных преобразований.

Если построить график функции y = f(x), то сдвигом графика f(x) будут получены следующие графики при a > 0).

  • y = f(x) + a — график функции y = f(x) сдвигается вверх на a единиц;
  • y = f(x) − a — график функции y = f(x) сдвинут вниз на единицу;
  • y = f(x + a) — график функции y = f(x) смещен на одну единицу влево;
  • y = f(x − a) — график функции y = f(x) сдвигается на единицу вправо.

Преобразуйте граф по типу y = mf(x): y = f(x) → y = mf(x), где m — положительное число.

  • Если m > 1, такое преобразование графа называется растяжением по оси y с коэффициентом m.

    Растянуть график функции по оси Y

  • Если m < 1, такое преобразование графика называется сжатием к оси x в 1/m раз.

    Уменьшить график функции до оси X

один) Упражнение 5. Решение 1

Преобразовать в одну операцию как f(x) + a.

у=х²

Упражнение 5.1

Переместить диаграмму вверх на 1:

у = х² + 1

Упражнение 5.2

б)Задача 5.2.1

Преобразовать в одну операцию как f(x — a).

Задача 5.2.2

Сдвиньте диаграмму вправо на 1:

Упражнение 5.3

в) у = (х — 1)² + 2

В этом примере два преобразования, выполним их в порядке операций: сначала операции в скобках f(x — a), затем сложение f(x) + a.

у=х²

Задача 5.3.1

Сдвиньте диаграмму вправо на 1:

у = (х — 1)²

Задача 5.3.2

Переместите диаграмму вверх на 2:

у = (х — 1)² + 2

Упражнение 5.3.4

г) Упражнение 5.4

Преобразование в один тип действия Задача 5.4.1

у = потому что (х)

Задача 5.4.2

Продлим график 2 раза от оси ординат по оси абсцисс:

Упражнение 5.4.3

Упражнение 5.4.4

д) Упражнение 5.5

Мы видим три преобразования вида f(ax), f(x + a), -f(x).

Для выполнения преобразований посмотрим на порядок действий: сначала умножаем, потом складываем и только потом меняем знак. Чтобы применить умножение ко всему аргументу модуля в целом, выносим двойку из скобок модуля.

Задача 5.5.1
Задача 5.5.2
Упражнение 5.5.3

Сжимаем график дважды по оси x:

Упражнение 5.5.4
5.5.5

Сдвинем график влево на 1/2 по оси x:

5.5.6
5.5.7

Отразим график симметрично относительно оси x:

5.5.8
5.5.9

Читайте также: Как найти Масштаб в Математике?

Определение линейной функции

Линейная функция — это функция, имеющая вид y = ax + b.

  • x – независимая переменная (аргумент);
  • а и b — произвольные числа.

Подставляя в эту формулу конкретные значения x, мы можем вычислить соответствующие им значения y.

Пример: дана функция y = 2x — 3. Создадим для нее таблицу соответствий x и y.

икс у Расчет у
0 -3 2 ⋅ 0 — 3 = -3
1 -1 2 ⋅ 1 — 3 = -1
2 1 2 ⋅ 2 — 3 = 1
3 3 2 ⋅ 3 — 3 = 3

Свойства линейной функции

  1. Область определения функции — это множество всех действительных чисел.
  2. Множество значений функции — это множество всех действительных чисел.
  3. График линейной функции представляет собой прямую линию. Чтобы провести прямую, достаточно знать две точки. Положение прямой на координатной плоскости зависит от значений коэффициентов k и b.

    Зависимость положения прямой линии от значений коэффициентов

  4. Функция не имеет ни максимального, ни минимального значения.
  5. Гладкость и нечетность линейной функции зависят от значений коэффициентов k и b:

    b ≠ 0, k = 0, поэтому y = b четно;

    b = 0, k ≠ 0, поэтому y = kx нечетно;

    b ≠ 0, k ≠ 0, поэтому y = kx + b — общая функция;

    b = 0, k = 0, поэтому y = 0 является одновременно четной и нечетной функцией.

  6. Линейная функция не обладает свойством периодичности, так как ее спектр непрерывен.
  7. График функции пересекает оси координат:

    ось абсцисс OX находится в точке (−b/k; 0);

    ось Y находится в точке (0; b).

  8. x = −b/k — нулевая точка функции.
  9. Если b = 0 и k = 0, функция y = 0 обращается в нуль при любом значении x.

    Если b ≠ 0 и k = 0, функция y = b не обращается в нуль ни при каких значениях x.

  10. Функция монотонно возрастает на области определения при k > 0 и монотонно убывает при k < 0.
  11. При k > 0 функция принимает отрицательные значения на интервале (−∞; −b/k) и положительные значения на интервале (−b/k; +∞).

    При k < 0 функция принимает отрицательные значения на интервале (−b/k; +∞) и положительные значения на интервале (−∞; −b/k).

  12. Коэффициент k характеризует угол, который образует прямая с положительным направлением ОХ. Поэтому k называется коэффициентом наклона.

    Если k > 0, то этот угол острый; если k < 0, то тупой; если k = 0, то линия совпадает с осью OX.

Линейный подъем

Есть два частных случая линейной функции:

  • Если b = 0, уравнение будет иметь вид y = kx. Такая функция называется прямой пропорциональностью. График представляет собой прямую линию, проходящую через начало координат.

Прямо пропорциональный график

  • Если k = 0, уравнение будет иметь вид y = b График представляет собой прямую, параллельную оси ОХ и проходящую через точку (0; b).

 

График функции y = b

График линейной функции

График линейной функции y = ax + b представляет собой непрерывную прямую линию. Однако это может быть:

  • возрастает при a > 0 (значение y монотонно возрастает);
  • убывает при a < 0 (y монотонно убывает);

Примечание:

  • при a = 0 прямая параллельна оси x (Ox);
  • при b = 0 линия функции проходит через начало координат.

Для построения графика функции достаточно вычислить координаты двух точек по формуле. Для примера выше, y = 2x — 3, мы можем взять данные из таблицы, пусть это будут: (0, -3) и (3, 3). Остается только провести прямую через эти точки на координатной плоскости.

Теперь построим график функции с отрицательным значением a, например, y = -3x + 5. Сначала найдем координаты двух точек, например:

  • х = 0, у = -3 ⋅ 0 + 5 = 5
  • х = 2, у = -3 ⋅ 2 + 5 = -1

Теперь проведем прямую через полученные точки: (0, 5) и (2, -1).

Построение линейной функции

В геометрии есть аксиома: через две точки можно провести прямую и притом только одну. На основании этой аксиомы следует, что для построения графика функции вида y = kx + b достаточно найти всего две точки. А для этого нужно определить два значения х, заменить их уравнением функции и вычислить соответствующие значения у.

Для построения функции y = 1/3x + 2, например, можно взять x = 0 и x = 3, тогда ординаты этих точек будут равны y = 2 и y = 3. Получаем точки A (0 ; 2) и В (3; 3). Если сложить их вместе, то получим следующий график:

Построение линейной функции

В уравнении функции y = kx + b коэффициент k отвечает за наклон графика функции:

  • если k > 0, то график наклонен вправо;
  • если k < 0, график наклонен влево.

Коэффициент b отвечает за перемещение графика по оси OY:

  • если b > 0, то график функции y = kx + b берется от y = kx со смещением на b единиц вверх по оси OY;
  • если b < 0, то график функции y = kx + b берется от y = kx со смещением на b единиц вниз по оси OY.

Нарисуем три графика функции:

  • у=2х+3;
  • у = 1/2х + 3;
  • у=х+3.

Анализ графика линейной функции

Проанализируем рисунок. Все графики скошены вправо, так как коэффициент ki всех функций больше нуля. Кроме того, чем больше значение k, тем круче прямая линия.

В каждой функции b = 3, поэтому все графики пересекают ось OY в точке (0; 3).

Теперь посмотрим на графики функций:

  • у = -2х + 3;
  • у = -1/2х + 3;
  • у = -х + 3.

Анализ графика линейной функции #2

На этот раз во всех функциях коэффициент k меньше нуля, а графики функций наклонены влево. Чем больше k, тем круче прямая.

Коэффициент b равен трем, а графики также пересекают ось OY в точке (0; 3).

Рассмотрим графики функций:

  • у=2х+3;
  • у=2х;
  • у = 2х — 2.

Анализ графика линейной функции №3

Теперь во всех функциональных уравнениях коэффициенты k равны. Получите три параллельные линии.

В этом случае коэффициенты b разные, и эти графики пересекают ось OY в разных точках:

  • график функции y = 2x + 3 (b = 3) пересекает ось OY в точке (0; 3);
  • график функции y = 2x (b = 0) пересекает ось OY в начале координат (0; 0);
  • график функции y = 2x — 2 (b = -2) пересекает ось OY в точке (0; -2).

Линии будут параллельны, если они имеют одинаковый наклон.

Подведем итоги. Если мы знаем знаки коэффициентов k и b, то можем представить, как выглядит график функции y = kx + b.

Если k < 0 и b > 0, то график функции y = kx + b выглядит следующим образом:

График линейной функции для k < 0 и b > 0

Если k > 0 и b > 0, то график функции y = kx + b выглядит следующим образом:

График линейной функции для k ssmArticle > 0 и b > 0

Если k > 0 и b < 0, то график функции y = kx + b выглядит так:

График линейной функции для k ssmArticle > 0 и b < 0

Если k < 0 и b < 0, то график функции y = kx + b выглядит следующим образом:

График линейной функции для k < 0 и b < 0

Если k = 0, то функция y = kx + b преобразуется в функцию y = b, при этом ординаты всех точек графика функции равны b, и график выглядит так:

График линейной функции при k = 0

Если b = 0, то график функции y = kx проходит через начало координат. Вот как выглядит прямо пропорциональный график:

График линейной функции для b = 0

В упражнениях 7 класса можно найти график уравнения х = а. Он представляет собой прямую, параллельную оси OY, все точки имеют абсциссу х = а.

Важно понимать, что уравнение x = a не является функцией, так как разным значениям аргумента соответствует одно и то же значение функции, что не соответствует определению функции.

Например, график уравнения x = 3:

График уравнения x = 3

Условие параллельности двух прямых:

График функции y = k1x + b1 параллелен графику функции y = k2x + b2, если k1 = k2.

Условие перпендикулярности двух прямых:

График функции y = k1x + b1 перпендикулярен графику функции y = k2x + b2, если k1k2 = −1 или k1 = −1/k2.

Точки пересечения графика функции y = kx + b с осями координат:

  • С осью OY. Абсцисса любой точки, принадлежащей оси OY, равна нулю. Следовательно, чтобы найти точку пересечения с осью OY, необходимо вместо xi в уравнении функции подставить ноль. Тогда мы получаем у = b.

    Координаты точки пересечения с осью OY: (0; б).

  • С осью ОХ. Ордината любой точки, принадлежащей оси ОХ, равна нулю. Следовательно, чтобы найти точку пересечения по оси x, вы должны подставить ноль в уравнение функции yi. И мы получаем 0 = kx + b, следовательно, x = −b/k.

    Координаты точки пересечения с осью OX: (−b/k; 0).

Точки пересечения графика функции с осями координат

Решение задач на линейную функцию

Чтобы решить проблемы и построить линейные функции, вы должны рассуждать и применять вышеуказанные свойства и правила. Давай попрактикуемся!

Пример 1. Изобразите функцию y = kx + b, если известно, что она проходит через точку A (-3; 2) и параллельна прямой y = -4x.

Как мы решаем:

  • В уравнении для функции y = kx + b два неизвестных параметра: k и b, поэтому в тексте задания необходимо найти два условия, характеризующие график функции.

    Поскольку график функции y = kx + b параллелен прямой y = -4x, отсюда следует, что k = -4. То есть функциональное уравнение имеет вид y = -4x + b.

    Осталось найти b. Известно, что график функции y = -4x + b проходит через точку A (-3; 2). Подставим координаты точки в уравнение функции и получим верное равенство:

    2 = -4(-3) + б

    б = -10

  • Следовательно, нам нужно построить график функции y = -4x — 10

    Точку А (-3; 2) мы уже знаем, возьмем точку В (0; -10).

    Поместим эти точки в координатную плоскость и соединим их прямой линией:

Решите задачи для линейной функции

Пример 2. Напишите уравнение прямой, проходящей через точки А (1; 1); Б(2;4).

Как мы решаем:

  1. Если прямая проходит через точки с заданными координатами, то координаты точек удовлетворяют уравнению прямой y = kx + b.

    Поэтому, если мы подставим координаты точек в уравнение прямой, то получим правильное равенство.

  2. Подставляем координаты каждой точки в уравнение y = kx + b и получаем систему линейных уравнений.

    уравнение прямой линии

  3. Вычтите первое уравнение из второго уравнения системы и получите k = 3.

    Подставляем значение ki в первое уравнение системы, и получаем b = -2.

Ответ: уравнение прямой у = 3х — 2.

Что такое показательная функция

Из курса алгебры известны уравнения, где неизвестная переменная х стоит в степени числа. Графики таких функций представляют собой кривые, напоминающие параболу (кубическую, квадратичную) или ее ответвления, например y=x.

Определение

Функции вида y=ax, где a — любое число больше нуля, называются экспоненциальными.

Определение указывает условие положительности числа a. Кратко объясним это требование. Неизвестная переменная x может принимать любые значения, в том числе дробные. По свойству операции возведения в степень дробный показатель можно заменить операцией извлечения корня. В качестве примера рассмотрим случай, когда а=-4 и х=0,5. Получаем, что значение y равно квадратному корню из отрицательного числа, а значит, не входит в диапазон действительных чисел.

Отсюда можно сделать следующий вывод: существование экспоненциальной функции при a<0 возможно только при x∈Z, где Z — множество целых чисел.

Свойства, правила построения графика

Поведение функции зависит от интервала, в котором находится значение основания а.

В первом случае 0<1,>

График функции выглядит так:

  1. Домен D (f(x))=R, где R — множество действительных чисел.
  2. Поскольку в результате возведения любого числа в нулевую степень получается единица, показательная функция, заданная в общем виде, не может иметь нулевое значение.
  3. Найдем диапазон значений, для которых вычисляем пределы функции по формуле: lim f(x)x→+∞/-∞.
    клей axx→-∞=a-∞=0
    клей axx→+∞=a+∞=+∞
    Тогда площадь E (f(x))=(0; +∞).
  4. Из предыдущего свойства видно, что прямая y=0 является горизонтальной асимптотой графика.
    Это свойство верно, если функция задана уравнением y=ax. В общем случае, если функция имеет вид y=ax+b, то горизонтальной асимптотой будет прямая y=b.
  5. Обратная функция является логарифмической: f-1(x)=logax.
  6. Функция монотонно убывает.

Покажем свойства функции в случае, когда а>1.

График функции выглядит так:

  1. Домен D (f(x))=R, где R — множество действительных чисел.
  2. Поскольку в результате возведения любого числа в нулевую степень получается единица, показательная функция, заданная в общем виде, не может иметь нулевое значение.
  3. Найдем диапазон значений:
    клей axx→-∞=a-∞=0
    клей axx→+∞=a+∞=+∞
    Диапазон значений E (f(x))=(0; +∞).
  4. Прямая y=0 является горизонтальной асимптотой графика.
  5. Обратная функция является логарифмической: f-1(x)=logaxX.
  6. Функция монотонно возрастает.
  7. Когда a=e, где e — число Эйлера (2.718), экспоненциальная функция называется показателем степени. Обратной в этом случае будет функция натурального логарифма: f-1(x)=ln(x).

Примечание 1 При задании диапазонов значений числа а оба неравенства не были строгими: 01. Это связано с особенностями возведения чисел 0 и 1 в степень. В результате возведения чисел 0 и 1 в любую степень получаются соответственно 0 и 1. Показательные функции в случаях a=0 и a=1 переходят в функции вида y=0 и y=1, у которых графики будут представлять собой прямые линии, параллельные оси x.

При построении показательной функции руководствуются правилами и рекомендациями:

выполнить анализ функции по определению горизонтальной асимптоты; установить оси координат, опорную точку и единичный сегмент; при установке значений x вычисляется y; отметьте полученные координаты точек и постройте график функции.<1>

Решение элементарных уравнений неравенств

При решении простых показательных уравнений и неравенств используется графический метод.

Основной алгоритм в этом случае сводится к нахождению пересечений графиков функций.

В случае уравнений точки пересечения будут корнями уравнения.

В случае различий сначала строятся графики. Закрашивает области, ограниченные графами, и удовлетворяет условию неравенства. Определить, удовлетворяют ли сами графы существующим условиям. Заштрихованные области будут решением неравенства. Решение записывается в виде интервала или неравенства. При записи ответа необходимо учитывать, входят ли в найденный интервал пределы.

Примеры задач

Перейдем от теории к практике и рассмотрим примеры построения показательной функции и решения уравнений и неравенств.

Заметка 2

Найдите область определения и значения функции, заданной уравнением y=ex-4. Создайте график.

Решение:

Переменная x может принимать все действительные значения, т.е. D=(-∞; +∞). Теперь давайте найдем выделение. При основании e>1 функция монотонно возрастает. Из рассмотренных ранее свойств определяем, что график имеет горизонтальную асимптоту y=-4. Следовательно, площадь Е=(+∞; -4).

Зададим координатную плоскость, проведем горизонтальную асимптоту и построим график функции.

Ответ: D=(-∞; +∞); Е=(+∞; -4).

Заметка 3

Решите уравнение 2x+1=5x-5.

Решение.

Решением уравнения является пересечение графиков функций y=2x+1 и y=5x-5. Первая функция экспоненциальная, с асимптотой y=1, вторая – прямая. Давайте построим графики.

Графики пересекаются в одной точке (2; 5), которая и будет решением уравнения.

Ответ: х=2.

Примечание 4

Решите неравенство 4×2-2>2.

Решение.

Построим график показательной функции y=4×2-2>2 и график прямой y=2. Прямые пересекаются в точке x=2. Заштрихуем область, где значение функции больше 2. Этому условию удовлетворяют значения x на интервале (2; +∞). Неравенство не строгое, предел x=2 в решение не входит.

Ответ: x>2 или x∈(2; +∞).

Функция arcsin y = arcsin x.

Функция arccos y = arccos x

Функция arccos y = arccos x.

Функция arctg y = arctg x

Функция arctg y = arctg x.

Функция arcctg y = arcctg x

Оцените статью
Блог о Microsoft Word