Что такое правильная пирамида: определение, виды, свойства

Определение правильной пирамиды

Правильная пирамида — это пирамида, основание которой представляет собой правильный многоугольник, а вершина фигуры проецируется в центр основания.

Наиболее распространенными типами правильных пирамид являются треугольные, квадратные и шестиугольные. Рассмотрим их подробнее.

Виды правильной пирамиды

Правильная треугольная пирамида

• Основание — правильный/равносторонний треугольник ABC.
• Боковые грани представляют собой одинаковые равнобедренные треугольники: ADC, BDC и ADB.
• Проекцией вершины D на основание является точка O, являющаяся пересечением высот/медиан/биссектрис треугольника ABC.
• DO — высота пирамиды.
• DL и DM — апофемы, т е высоты боковых поверхностей (равнобедренных треугольников). Всего их три (по одному на каждую грань), но на картинке выше показано два, чтобы не перегружать.
• ⦟DAM = ⦟ DBL = α (углы между боковыми ребрами и основанием).
• ⦟DLB = ⦟DMA = β (углы между боковыми поверхностями и плоскостью земли).
• Для такой пирамиды выполняются следующие условия:
  АО:ОМ = 2:1 или БО:ОЛ = 2:1.

Примечание. Если у правильной треугольной пирамиды все ребра равны, ее также называют правильным тетраэдром .

Правильная четырехугольная пирамида

• Основание представляет собой правильный квадрат ABCD, другими словами, квадрат.
• Боковые грани представляют собой равные равнобедренные треугольники: AEB, BEC, CED и AED.
• Проекция вершины Е на основание — точка О, является точкой пересечения диагоналей квадрата ABCD.
• EO – высота фигуры.
• EN и EM — апофемы (всего их 4, на рисунке для примера показаны только две).
• Равные углы между боковыми гранями/поверхностями и основанием обозначаются соответствующими буквами (α и β).

Правильная шестиугольная пирамида

• Основание – правильный шестиугольник ABCDEF.
• Боковые поверхности представляют собой равные равнобедренные треугольники: AGB, BGC, CGD, DGE, EGF и FGA.
• Проекция вершины G на основание — точку O, является пересечением диагоналей/биссектрисы шестиугольника ABCDEF.
• ГО — высота пирамиды.
• ГН — апотема (всего должно быть шесть).

Что такое шестиугольная пирамида?

Шестиугольная пирамида представляет собой объемную геометрическую фигуру, основание которой представляет собой шестиугольник (многоугольник с шестью сторонами) и также имеет шесть треугольных граней, сходящихся на определенной высоте от основания, в точке, называемой вершиной или вершиной.

Всего шестигранная пирамида имеет семь граней, если считать основание плюс боковые грани, то это тоже многогранник семигранной формы, слово происходит из греческого языка («гепт» означает семь).

Если треугольники, составляющие стороны, равнобедренные, то есть имеют две равные стороны и одну другую, то это прямоугольная пирамида равнобедренного треугольника. А если главный шестиугольник тоже правильный, то это правильная шестиугольная пирамида, как показано на рисунке 1.

Когда шестиугольник в основании неправильный или треугольники, образующие грани, не равнобедренные, мы имеем наклонную шестиугольную пирамиду.

Читайте также: Океаны мира по их площади: список и таблица

Характеристики гексагональной пирамиды

Основные свойства и элементы шестиугольной пирамиды следующие:

— Основание представляет собой шестиугольник, который может быть правильным или неправильным.

-Лица. Они имеют форму треугольника, всего их 6.

– вершина пирамиды или вершина, точка совпадения шести треугольных граней.

Ребро, отрезок, на котором совпадают две грани пирамиды. В боковых ребрах — отрезки совпадения боковых граней, а в ребрах основания — отрезки совпадения одной стороны шестиугольника и одной стороны соседнего треугольника. На рисунке 2 край отмечен буквой «а».

— Ростообозначается буквой «h» — это расстояние, измеряемое от вершины до основания пирамиды.

— Апотема пирамиды, отрезок, соединяющий вершину с серединой одной стороны основания.

– Базовая апофема, определяемая только тогда, когда шестиугольник правильный. Он состоит из отрезка, соединяющего центр шестиугольника с центром одной из сторон.

Формулы для площади и объема

Площадь поверхности А шестиугольной пирамиды, правильной или неправильной, вычисляют сложением площадей боковых граней и площади шестиугольного основания:

А = Абаза + ∑ А фронт

В формуле символ «∑» представляет собой сумму, которая в общем обозначает сумму шести сторон.

Для правильной шестиугольной пирамиды существует формула определения площади:

A = 3L ∙ (база AP + пирамида приложений)

Где:

• L — ребро основания (сторона шестиугольника).
• апбас это апофема базы
• апирамида — это апофема пирамиды.

Если пирамида неправильная, либо из-за того, что основание не является правильным шестиугольником, либо из-за того, что пирамида наклонена, площади каждой из них должны быть рассчитаны отдельно, а затем сложены.

Правильная шестиугольная пирамида также имеет формулу объема:

V = L ∙ ap основание ∙ h

Здесь «h» обозначает высоту пирамиды.

А если шестиугольная пирамида неправильная, то есть общая формула, применимая ко всем пирамидам для расчета объема:

V = ⅓ ∙ Основание ∙ ч

Свойства правильной пирамиды

1. Все стороны фигуры равны. Другими словами, вершина пирамиды находится на одинаковом расстоянии от всех углов основания.
2. Угол между всеми боковыми ребрами и основанием одинаков.
3. Все поверхности наклонены к основанию под одинаковым углом.
4. Площади со всех сторон равны.
5. Все апофемы одинаковы.
6. Вокруг пирамиды можно описать сферу, центром которой будет пересечение перпендикуляров, проведенных к серединам боковых ребер.
7. В пирамиду можно вписать сферу, центром которой будет точка пересечения биссектрисы, берущей начало в углах между боковыми ребрами и основанием фигуры.

Четыре основных линейных параметра

Начнем рассмотрение математических свойств правильной квадратной пирамиды с формул высоты, длины стороны основания, бокового ребра и апофемы. Скажем сразу, что все эти величины связаны друг с другом, поэтому достаточно знать только две из них, чтобы однозначно вычислить оставшиеся две.

Если предположить, что известны высота h пирамиды и длина a стороны квадратного основания, то боковое ребро b будет равно:

б = √(а2 / 2 + h2)

Теперь приведем формулу длины ab апофемы (высоты треугольника, опущенного на сторону основания):

аб = √(а2 / 4 + h2)

Ясно, что боковое ребро b всегда больше апофемы ab.

Оба выражения можно использовать для определения всех четырех линейных свойств, если известны два других параметра, например ab и h.

Площадь и объем фигуры

Это еще два важных свойства правильной квадратной пирамиды. Основание фигуры имеет следующую площадь:

Итак = а2

Эту формулу знает каждый школьник. Площадь боковой поверхности, которую образуют четыре одинаковых треугольника, можно определить через апофему ab пирамиды следующим образом:

Сб = 2×а×аб

Если ab неизвестно, то его можно определить по формулам из предыдущего раздела через высоту h или ребро b.

Общая площадь поверхности рассматриваемой фигуры равна сумме площадей So и Sb:

S = So + Sb = a2 + 2 × a × ab = a (a + 2 × ab)

Расчетная площадь всех граней пирамиды показана на рисунке ниже в виде ее развертки.

Описание свойств правильной квадратной пирамиды будет неполным, если не рассмотреть формулу определения объема. Это значение для рассматриваемой пирамиды рассчитывается следующим образом:

V = 1/3 × ч × а2

То есть V равно третьей части произведения высоты фигуры на площадь основания удила.

Свойства правильной усеченной четырехугольной пирамиды

Вы можете получить эту фигуру из исходной пирамиды. Для этого необходимо срезать рубанком верхнюю часть пирамиды. Фигуру, оставшуюся ниже секущей плоскости, будем называть усеченной пирамидой.

Удобнее всего изучать свойства усеченной пирамиды, если основания параллельны друг другу. В этом случае нижняя и верхняя базы будут одинаковыми многоугольниками. Так как основанием квадратной правильной пирамиды является квадрат, то сечение, образованное под разрезом, также будет квадратом, но меньшего размера.

Боковая поверхность усеченной фигуры образована не треугольниками, а равнобедренными трапециями.

Одним из важных свойств этой пирамиды является ее объем, который рассчитывается по формуле:

V = 1/3 × h × (So1 + So2 + √(So1 × So2))

Здесь h — расстояние между основаниями на рисунке, So1, So2 — площади нижнего и верхнего оснований.