Что такое правильный многоугольник: определение, признаки, элементы, виды

Определение правильного многоугольника

Правильный многоугольник – это выпуклый многоугольник, у которого все стороны и углы равны.

Нарисуйте правильный n-угольник

• a1=a2=a3=…an-1=an
• α1 = α2 = α3 = … αn-1 = αn

Примечание: n — количество сторон/углов на фигуре.

Обозначение многоугольника

Многоугольник отмечен буквами в углах. Многоугольник называется чередованием букв в вершинах по часовой или против часовой стрелки. Например, многоугольник на рис. 2 называется (small A_1A_2A_3A_4A_5A_6) или (small A_6A_5A_4A_3A_2A_1 ).

Элементы правильного многоугольника

Для изображения выше:

• а – сторона/край;
• α — угол между соседними сторонами;
• O — центр фигуры/массы (совпадающий с центрами описанной и вписанной окружностей);
• β — центральный угол описанной окружности, основанный на стороне многоугольника.

Основные свойства правильного многоугольника

•  Все стороны равны:
  a1=a2=a3=…=an-1=an2. Все углы равны:
  α1 = α2 = α3 =… = αn-1 = αn3. Центр вписанной окружности Ов совпадает с центром описанной окружности Оо, образующей центр многоугольника О4. Сумма всех углов n-угольника равна:

180° (n — 2)

•  Сумма всех внешних углов n-угольника равна 360°:

β1 + β2 + β3 +… + βn-1 + βn = 360°

•  Количество диагоналей (Dn) n-угольника равно половине произведения количества вершин на количество диагоналей, выходящих из каждой вершины:

Дн =	п (п — 3)
2

•  В любой многоугольник можно вписать окружность и описать окружность, при этом площадь кольца, образованного этими окружностями, зависит только от длины стороны многоугольника:

С =	π	а2
4

•  Все биссектрисы угла между сторонами равны и проходят через центр правильного многоугольника O

Виды правильных многоугольников

1. Правильный (равносторонний) треугольник
2. Обычный квадрат (квадрат)
3. Исправляет пяти-, шести-, n-угольник

Читайте также: Смежные и вертикальные углы

Построение правильных многоугольников

Построение правильного треугольника с помощью циркуля и линейки:

1. Чтобы построить правильный треугольник с заданной стороной а, построим отрезок АВ, равный а. Точки А и В являются двумя вершинами правильного треугольника.
2. Далее строим две дуги радиусом а с центрами в точках А и В. Точка пересечения С равноудалена от точек А и В и является третьей вершиной треугольника.
3. Соединим углы. ΔABC построен.

Правильный треугольник можно построить с помощью транспортира, так как размеры углов известны.

1. Построим отрезок AB произвольной или заданной длины. Точки А и В являются вершинами правильного треугольника.
2. С помощью транспортира из точки А от отрезка АВ откладываем угол 60° и проводим луч.
3. Отложите угол 60° и проведите луч из точки В.
4. Два луча пересекаются в точке С, третьей вершине равностороннего треугольника.
5. Соединяем вершины А и С, В и С. Строится правильный ΔABC.

Построение квадрата с линейкой и циркулем:

1. Построим одну из сторон квадрата — отрезок АВ.
2. Построим перпендикуляры к АВ в точках А и В, лежащих по одну сторону от отрезка АВ.
3. На построенных перпендикулярах откладываем отрезки AD и BC, равные отрезку AB.
4. Соедините точки C и D. Построен квадрат ABCD.

Построение правильного пятиугольника:

1. Постройте окружность произвольного радиуса с центром в точке А.
2. Отметим произвольно точку B, лежащую на окружности.
3. Проведем линию АВ.
4. Построим перпендикуляр к прямой АВ в точке А. Назовем одно из пересечений этого перпендикуляра и окружности точкой С.
5. Найдите середину отрезка АС — точку D.
6. Измерим расстояние DB компасом. Не меняя решения циркуля, проводим вспомогательную дугу с центром в точке D, и пересекаем прямую AC внутри окружности. Назовем точку пересечения Е.
7. Расстояние между точками B и E равно стороне правильного пятиугольника. Измеряем ВЕ циркулем и, не меняя решения циркуля, строим две вспомогательные дуги с центром в точке В, которые пересекают окружность. Пусть M и K — точки пересечения. Точки M и K являются вершинами правильного пятиугольника.
8. Используя тот же раствор компаса, мы проводим вспомогательную дугу с центром в точке M. Дуга пересекает окружность в точке P, одной из вершин правильного пятиугольника.
9. Не меняя решения компаса, построим дугу с центром в точке К. Точкой пересечения этой дуги и окружности будет точка Q. Q — вершина пятиугольника.
10. Нарисуем отрезки VK, KQ, QP, PM, MB. Построен правильный пятиугольник VKQRM.

Построение правильного шестиугольника:

1. Построим окружность с произвольным или заданным радиусом а, равным стороне будущего правильного шестиугольника. Точка С является центром этой окружности.
2. Отмечаем произвольную точку D на окружности и проводим линию DC. Назовем вторую точку пересечения с окружностью точкой G. Точки D и G являются вершинами правильного шестиугольника.
3. Используя тот же раствор компаса, мы строим вспомогательную дугу радиуса a с центром в точке D. Дуга пересекает окружность в двух точках. Назовем точки пересечения Е и В. Эти точки являются вершинами шестиугольника.
4. Не меняя решения циркуля, проводим вспомогательную дугу с центром в точке G и находим точки пересечения дуги с окружностью — два угла шестиугольника. Назовем точки пересечения А и F.
5. Проведем отрезки AB, BD, DE, EF, FG, GA. ABDEFGA — правильный шестиугольник, у которого все стороны равны по конструкции.

Правильный n-угольник — формулы

Формулы длины стороны правильного n-угольника

•  Формула стороны правильного n-угольника через радиус вписанной окружности:

а = 2г тг	180°
н

а = 2г тг	π
н

•  Формула стороны правильного n-угольника через радиус описанной окружности:

а = 2 R sin	180°
н

а = 2 R sin	π
н

Формула радиуса вписанной окружности правильного n-угольника

Формула радиуса вписанной окружности n-угольника через длину стороны:

г = а : (2tg	180°	)
н

г = а : (2tg	π	)
н

Формула радиуса описанной окружности правильного n-угольника

Формула радиуса описанной окружности n-угольника через длину стороны:

R = а : (2sin	180°	)
н

R = а : (2sin	π	)
н

Формулы площади правильного n-угольника

•  Формула площади n-угольника через длину стороны:

С =	на2	кТГ	180°
4	н

•  Формула площади n-угольника через радиус вписанной окружности:

С =	№2 тг	180°
н

•  Формула площади n-угольника через радиус описанной окружности:

С =	nR2	грех	360°
2	н

Формула периметра правильного многоугольника:

Формула периметра правильного n-угольника:

П = нет данных

Формула определения угла между сторонами правильного многоугольника:

Формула угла между сторонами правильного n-угольника:

αn =	п — 2	180°
н

 

Рис.3

 

Формулы правильного четырехугольника:

•  Формула стороны правильного квадрата через радиус вписанной окружности:

а = 2г

•  Формула стороны правильного квадрата через радиус описанной окружности:

а = R√2

•  Формула радиуса вписанной окружности правильного квадрата через длину стороны:

р =	один
2

•  Формула радиуса описанной окружности правильного квадрата через длину стороны:

Р =	а√2
2

•  Формула площади правильного квадрата через длину стороны:

S = а2

•  Формула площади правильного квадрата через радиус вписанной окружности:

S = 4 r2

•  Формула площади правильного квадрата через радиус описанной окружности:

S = 2R2

•  Угол между сторонами правильного квадрата:

а = 90°

Формулы правильного шестиугольника:

•  Формула стороны правильного шестиугольника через радиус вписанной окружности:

а =	2√3	р
3

•  Формула стороны правильного шестиугольника через радиус описанной окружности:

а = р

•  Формула радиуса вписанной окружности правильного шестиугольника через длину стороны:

р =	√3
2

•  Формула радиуса описанной окружности правильного шестиугольника через длину стороны:

Р = а

•  Формула площади правильного шестиугольника через длину стороны:

С =	а2 3√3
2

•  Формула площади правильного шестиугольника через радиус вписанной окружности:

S = г2 2√3

•  Формула площади правильного шестиугольника через радиус описанной окружности:

С =	R2 3√3
2

•  Угол между сторонами правильного шестиугольника:

а = 120°

Формулы правильного восьмиугольника:

•  Формула стороны правильного восьмиугольника через радиус вписанной окружности:

а = 2r (√2 — 1)

•  Формула стороны правильного восьмиугольника через радиус описанной окружности:

а = R√2 — √2

•  Формула радиуса вписанной окружности правильного восьмиугольника через длину стороны:

р =	а(√2 + 1)
2

•  Формула радиуса описанной окружности правильного восьмиугольника через длину стороны:

Р =	а√4 + 2√2
2

•  Формула площади правильного восьмиугольника через длину стороны:

S = а2 2 (√2 + 1)

•  Формула площади правильного восьмиугольника через радиус вписанной окружности:

S = r2 8(√2 — 1)

•  Формула площади правильного восьмиугольника через радиус описанной окружности:

S = R2 2√2

•  Угол между сторонами правильного восьмиугольника:

а = 135°