Что такое пропорция в математике?

Что такое пропорция

Определение пропорции:

Пропорция – это сходство между двумя отношениями.

Пропорциональный – это тот, который стоит в определенном отношении к какому-либо количеству.

Акция всегда содержит равные коэффициенты.

Если выразить определение формулой, то оно будет выглядеть так:

• а : б = с : д

Или вот так:

• 

a и d — крайние члены пропорции, b и c — средние члены пропорции.

Это выражение читается так: a относится к b, как c относится к d

Например:

15 : 5 = 3
9 : 3 = 3

Это сходство между двумя отношениями: 15 относится к 5, как 9 относится к 3.

15 и 3 — крайние члены пропорции.

5 и 9 — средние члены пропорции.

Наглядный пример для понимания:

У нас есть восемь кусочков вкусной пиццы и, скажем, четыре голодных друга.

• Запишем эту сложную ситуацию как отношение 8 штук к 4 голодным друзьям: 8 : 4
• Далее преобразуем это соотношение в дробь: 8/4
• Выполняем деление: 8/4 = 2

Это означает, что 8 кусочков вкусной пиццы угостят 4 голодных друзей таким образом, что каждый голодающий получит по 2 кусочка. Прекрасный!

А представьте себе ситуацию, когда есть только половина вкусной пиццы, но при этом есть только два голодных друга.

Что имеем: 4 штуки и 2 друга претендуют на них.

• Запишем в виде соотношения: 4 : 2
• Преобразуйте полученное отношение в дробь: 4/2
• Выполняем деление: 4/2 = 2

Это означает, что 4 вкусных кусочка угостят 2 голодных друзей таким образом, что каждый из них получит по 2 кусочка.

Рассмотрев обе ситуации, мы заключаем, что отношение 8/4 пропорционально отношению 4/2. Пропорции те же.

Вывод: Знание математических пропорций пригодится при заказе пиццы. Мы быстро оцениваем соотношение между количеством людей, которым требуется пицца, и количеством кусков — и сразу заказываем больше пиццы, чтобы никто снова не остался голодным

Читайте также: Площадь поверхности куба

Основное свойство пропорции

Помните основное свойство пропорции:

Произведение крайних членов пропорции равно произведению средних членов этой пропорции.

В виде формулы свойство выглядит так:

а : б = с : д
а * г = б * с

Мы знаем, что a и d — крайние члены пропорции, b и c — средние.

Это свойство следует использовать для проверки пропорций. Если все сходится по формулировке, пропорция правильная, а отношения в пропорции равны между собой.

Давайте проверим некоторые пропорции.

Пример 1. Дана пропорция: 6/2 = 12/4

• Чтобы проверить правильность пропорции, умножаем крайние члены: 6 * 4 = 24.
• Затем умножаем средние члены пропорции: 2 * 12 = 24
• Произведение крайних членов пропорции равно 24, произведение средних членов пропорции также равно 24.
• 6 * 4 = 2 * 12
  24 = 24

Делаем вывод, что пропорция 6/2 = 12/4 верна.

Пример 2. Дана доля: 10/2 = 16/4

• Умножаем крайние члены пропорции: 10*4=40.
• Умножаем средние члены: 16*2=32.
• Произведение крайних членов пропорции равно 40. Произведение средних членов пропорции равно 32.
• 10 * 4 ≠ 16 * 2
  40 ≠ 32

Отсюда делаем вывод, что отношения в пропорции 10/2 ≠ 16/4 не равны.

Обратное свойство

Свойство
Пример

<td>;

11 • 4 = 2 • 22 означает	одиннадцать	=	22
2	4

<td>;

21 х 6 = 42 х 3 означает	21	=	42
3	6

33 х 21 = 7 х 99 означает	33	=	99	.
7	21

Производные пропорции

Правило

Пример

<td>;

4	=	8	или	7	=	14	или	8	=	17	или	4	=	7
7	14	4	8	4	7	8	14

<td>;

5	=	10	или	6	=	12	или	10	=	12	или	5	=	6
6	12	5	10	5	6	10	12

9	=	18	или	3	=	6	или	6	=	18	или	9	=	3	.
3	6	9	18	3	9	18	6

Правило
! При трех известных членах доли всегда можно найти
ее неизвестный член. Пример

15	=	икс	, поэтому х =	15 • 14	= 15 • 2 = 30;
7	14	7

21	=	икс	, поэтому х =	21 • 9	= 21 • 3 = 63;
3	9	3

33	=	99	, поэтому х =	4 • 99	= 4 • 3 = 12.
4	икс	33

Отношения

Определение
Отношение двух чисел a и b равно их отношению a : b.
Показывает, во сколько раз a больше b или какая часть a от b.1

Примеры отношений

Пример 1
Отношение между числом 16 и числом 4 равно 16 : 4 = 4, т е. 16 в 4 раза больше, чем,
чем 4. Пример 2
Соотношение между числом 4 и числом 12 равно 4 : 12 = 13, т е. 4 — это третья часть
от числа 12. Пример 3
Масса стакана жидкости 440 г. Вес стакана 40 г. Какая часть
общая масса равна массе стакана? Во сколько раз масса стакана
жидкости больше, чем масса жидкости?
Решение:
Масса стакана 40 : 440 = 1·11 частей от общей массы.
Масса жидкости 440 — 40 = 400г; масса стакана с жидкостью в 440:400 = 1,1 раза больше массы самой жидкости.

Составление и решение пропорций

Пример 6

Запишите пропорцию: 6 относится к 18, как 9 относится к 27.

Решение.

Слово «относится» заменяется дефисом.

Получаем два соотношения: 6:18 и 9:27.

Если эти два отношения равны, мы получаем правильную пропорцию.

6:18=9:27; 13=13, пропорция правильная.

Пример 7

Запишите пропорцию и проверьте ее: отношение 2 к 14 равно отношению 3 к 115.

Решение.

Записываем соотношения: 214 и 3115.

Составляем пропорцию: 214 = 3115.

Проверьте правильность пропорции.

Для этого воспользуемся фундаментальным свойством пропорции: произведение крайних членов = произведение средних членов.

2*115≠14*3; 215≠34. Условие равенства произведений не соблюдено, значит, пропорция неверна.

Пример 8

Определить, верна ли пропорция: 1,40,7=3,41,7.

Решение.

Чтобы проверить соответствие пропорции, мы используем основное свойство пропорции.

Запишем произведения крайних и средних членов пропорции:

1,4*1,7=2,38; 0,7*3,4=2,38.

Таким образом, произведение крайних членов равно произведению средних членов.

1,4*1,7=0,7*3,4; 2,38=2,38.

Вывод: пропорция правильная.

Примеры решения задач с пропорцией

Чтобы потренироваться в рисовании пропорций, вместе решим несколько задач.

Упражнение 1. Дана математическая пропорция: 15/3 = х/4

Найдите х.

Как мы решаем:

1. С основным свойством пропорции умножаем множители:
   15*4=3х
2. Получаем уравнение: 60 = 3x
3. 60/3 = х
   х=20.

Ответ: в соотношении 15/3 = х/4, х = 20

Упражнение 2. Найдите четвертый член в пропорции: 18, 9 и 24.

Как мы решаем:

1. Запишем числа дробями: 18/9 = 24/x
   Где х — четвертый член пропорции.
2. По основному свойству пропорции умножаем промежуточные члены: 9*24=216
3. Выводим уравнение 18x = 216
4. Найдите х:
   х = 216:18
   х=12
5. Проверить: 9*24=216, 18*12=216.
   Пропорция правильная.

Ответ: Четвертый член пропорции равен 12.

Упражнение 3. 18 человек могут съесть 5 кг суши за 8 часов, сколько часов потребуется 9 людям?

Как мы решаем:

1. Запишем числа в виде обратной пропорции: 18/9 = х/8
2. Умножаем множители на главное свойство пропорции: 18*8=9х
3. Найдите х:
   144 = 9х
   144 : 9 = 16

Ответ: 9 человек съедят все суши за 16 часов.

Упражнение 4. Учитывая пропорцию: 20/2 = у/4

Найдите у.

Как мы решаем:

1. С основным свойством пропорции умножаем множители:
   20 * 4 = 2 года
2. Получаем уравнение: 80 = 2y
3. Мы нашли:
   80/2=у
   х=40.
4. Проверяем пропорцию: 20*4=80, 40*2=80.

Ответ: в соотношении 20/2 = у/4, у = 40