Что такое прямая: определение, свойства, взаимное расположение

Определение прямой

Прямая линия — это неизогнутая линия, не имеющая ни начала, ни конца. Обычно его обозначают двумя общепринятыми способами:

• Строчная латинская буква (a, b, c и так далее)
• Две заглавные латинские буквы, которые являются названиями точек, через которые проходит линия.
  Эти точки образуют отрезок АВ, являющийся частью прямой.

Обозначение прямой

Линия обозначается строчной латинской буквой, например строка а, или двумя прописными латинскими буквами, расположенными в двух точках, расположенных на этой линии, например линия АВ:

Обратите внимание, что точки на прямой линии могут быть отмечены короткими штрихами.

Взаимное расположение прямых

Если рассматривать две прямые на плоскости, то они могут располагаться по-разному по отношению друг к другу:

1. Параллельные прямые не пересекаются, поэтому не имеют общих точек. Параллелизм в геометрии обозначается двумя вертикальными линиями. В нашем случае это записывается так: AB || CD.
2. Пересекающиеся линии — как следует из названия, прямые пересекаются и имеют общую точку (на рисунке ниже это точка О).
3. Перпендикулярные прямые — пересекаются под прямым углом (90 градусов). Угловой угол линий обозначается специальным символом — ⊥. То есть пишем так: AB ⊥ CD.

Примечание: в трехмерном пространстве линии могут пересекаться, т.е лежать в разных плоскостях.

Свойства прямой

1. Через любую точку можно провести бесконечное количество прямых.
2. Через две не совпадающие точки можно провести прямую, и только одну.
3. Две прямые на плоскости либо параллельны, либо пересекаются (в том числе перпендикулярны).
4. Если две точки прямой лежат в некоторой плоскости, то все точки этой прямой принадлежат одной плоскости.

Способы задания прямой на плоскости

Прямую линию на плоскости можно определить несколькими способами. Все зависит от состояния проблемы и того, на чем будет основываться решение. Эти знания могут помочь в практическом размещении линий.

Определение 8

Прямая линия определяется с помощью указанных двух точек на плоскости.

Из рассмотренной аксиомы следует, что через две точки можно провести прямую и притом только одну. Когда прямоугольная система координат задает координаты двух несовпадающих точек, можно исправить уравнение прямой, проходящей через две заданные точки. Рассмотрим фигуру, на которой у нас есть прямая линия, проходящая через две точки.

Определение 9

Прямую можно определить через точку и прямую, которой она параллельна.

Этот способ имеет место быть, так как через точку можно провести прямую, параллельную данной, и только одну. Доказательство известно из школьного курса геометрии.

Если прямая задана относительно декартовой системы координат, то можно составить уравнение прямой, проходящей через данную точку параллельно данной прямой. Рассмотрим принцип проведения прямой линии на плоскости.

Определение 10

Линия задается через заданную точку и вектор направления.

Когда в прямоугольной системе координат задана прямая, можно составить канонические и параметрические уравнения на плоскости. Рассмотрим на рисунке положение прямой при наличии направляющего вектора.

Четвертая точка для постановки прямой имеет смысл, когда указывается точка, через которую она должна быть проведена, и прямая, перпендикулярная ей. Из аксиомы имеем:

Определение 11

Через данную точку, помещенную на плоскости, пройдет только одна прямая, перпендикулярная данной.

И последняя точка, связанная с заданием прямой на плоскости, находится в заданной точке, через которую проходит прямая, и при наличии вектора нормали к прямой. Зная координаты точки, расположенной на данной прямой, и координаты вектора нормали можно записать общее уравнение прямой.

Читайте также: Площадь многоугольника: онлайн калькулятор, формулы, примеры решений

Общее уравнение прямой: основные сведения

Как найти уравнение прямой? Пусть на плоскости задана прямоугольная система координат Oxy.

Теорема 1

Любое уравнение первой степени вида Ах + Ву + С = 0, где А, В, С — любые действительные числа (А и В не равны нулю одновременно), определяет прямую в прямоугольной система координат на плоскости. В свою очередь, любая прямая в прямоугольной системе координат на плоскости определяется уравнением, имеющим вид Ах + Ву + С = 0 при некотором наборе значений А, В, С.

Доказательство

эта теорема состоит из двух пунктов, мы докажем каждый из них.

1. Докажем, что уравнение Ax+By+C=0 определяет прямую на плоскости.

Пусть имеется точка М0(x0, y0), координаты которой соответствуют уравнению Ax+By+C=0. Итак: Ах0+Ву0+С=0. Вычтем из левой и правой частей уравнения Ax+By+C=0 левую и правую части уравнения Ax0+By0+C=0, получим новое уравнение, которое имеет вид A(x-x0)+B (у-у0) =0. Это соответствует Ax+By+C=0.

Полученное уравнение A(x-x0)+B(y-y0)=0 является необходимым и достаточным условием для того, чтобы векторы n→=(A, B) и M0M→=(x-x0, y-y0) были перпендикуляр. Таким образом, множество точек M(x, y) в прямоугольной системе координат определяет прямую линию, перпендикулярную направлению вектора n→=(A, B). Можно предположить, что это не так, но тогда векторы n→=(A, B) и M0M→=(x-x0, y-y0) не были бы перпендикулярны, и равенство A(x-x0)+ B (y -y0)=0 будет неверным.

Следовательно, уравнение A(x-x0)+B(y-y0)=0 определяет прямую в прямоугольной системе координат на плоскости, и, следовательно, эквивалентное уравнение Ax+By+C=0 определяет ту же прямую. Таким образом, мы доказали первую часть теоремы.

1. Докажем, что любая прямая в прямоугольной системе координат на плоскости может быть задана уравнением первой степени Ax+By+C=0.

Проведем на плоскости прямую ai прямоугольной системы координат; точка M0(x0, y0), через которую проходит эта прямая, а также вектор нормали к этой прямой n→=(A, B).

Пусть также существует точка M(x, y), являющаяся плавающей точкой на прямой. В этом случае векторы n→=(A, B) и M0M→=(x-x0, y-y0) перпендикулярны друг другу и их скалярное произведение равно нулю:

n→, MOM→=A(x-x0)+B(y-y0)=0

Перепишем уравнение Ax+By-Ax0-By0=0, определим C: C=-Ax0-By0 и в итоге получим уравнение Ax+By+C=0.

Так что без онлайн-помощи мы смогли доказать вторую часть теоремы, доказав всю теорему в целом.

Определение 1

Уравнение, имеющее вид Ax+By+C=0, является общим уравнением прямой на плоскости в прямоугольной системе координат Oxy (уравнение прямой, параллельной оси ox).

На основании доказанной теоремы можно сделать вывод, что прямая, заданная на плоскости в неподвижной прямоугольной системе координат, и ее общее уравнение неразрывно связаны. Другими словами, исходная линия соответствует своему общему уравнению; общему уравнению прямой соответствует данная прямая.

Из доказательства теоремы также следует, что коэффициенты A и B при переменных x и y являются координатами вектора нормали прямой, который задается общим уравнением прямой Ax+By+C= 0.

Рассмотрим конкретный пример общего уравнения прямой.

Пусть задано уравнение 2x+3y-2=0, что соответствует прямой линии в данной прямоугольной системе координат. Вектор нормали к этой прямой есть вектор n→= (2, 3). Проведем заданную прямую из уравнения с вектором на чертеже.

Можно также сказать следующее: линия, которую мы видим на чертеже, определяется общим уравнением 2x+3y-2=0, так как этому уравнению соответствуют координаты всех точек на данной линии.

Уравнение λ·Ax+λ·By+λ·C=0 можно получить, умножив обе части общего уравнения прямой на ненулевое число λ. Полученное уравнение эквивалентно исходному общему уравнению, поэтому оно будет описывать ту же прямую на плоскости.

Неполное уравнение общей прямой

Определение 2

Полным общим уравнением прямой является такое общее уравнение прямой Ax+By+C=0, где числа A, B, C отличны от нуля. В противном случае уравнение будет неполным.

Проанализируем все варианты неполного общего уравнения прямой.

1. Когда A=0, B≠0, C≠0, общее уравнение принимает вид By+C=0. Такое неполное общее уравнение определяет линию в прямоугольной системе координат Oxy, параллельную оси Ox, так как при любом действительном значении x переменная y примет значение -CB. Другими словами, общее уравнение прямой Ax+By+C=0, когда A=0, B≠0, определяет геометрическое место точек (x, y), координаты которых равны одному и тому же числу -CB.
2. Если A=0, B≠0, C=0, общее уравнение становится y=0. Такое неполное уравнение определяет ось x Ox.
3. Когда A≠0, B=0, C≠0, мы получаем неполное общее уравнение Ax+C=0, которое определяет прямую линию, параллельную оси y.
4. Пусть A≠0, B=0, C=0, тогда неполное общее уравнение будет иметь вид x=0, а это уравнение координатной линии Oy.
5. Наконец, когда A≠0, B≠0, C=0, неполное общее уравнение имеет вид Ax+By=0. И это уравнение описывает прямую линию, проходящую через начало координат. На самом деле пара чисел (0, 0) соответствует равенству Ax+By=0, так как A·0+B·0=0.

Проиллюстрируем графически все вышеперечисленные виды неполного общего уравнения прямой.

Пример 1

Известно, что данная прямая параллельна оси у и проходит через точку 27, -11. Необходимо написать общее уравнение для данной прямой. Попробуем его составить.

Решение

Решение лежит на поверхности. Прямая линия, параллельная оси y, задается уравнением вида Ax+C=0, где A≠0. В условии также указаны координаты точки, через которую проходит прямая, а координаты этой точки соответствуют условиям неполного общего уравнения Ах+С=0, т.е справедливо равенство:

А 27+С=0

Из него можно определить C, присвоив A ненулевое значение, например, A=7. В этом случае получаем: 7 27+C=0⇔C=-2. Нам известны оба коэффициента A и C, подставляем их в уравнение Ax+C=0 и получаем необходимое уравнение для прямой: 7x-2=0

Ответ: 7x-2=0

Пример 2

На чертеже изображена прямая, необходимо записать уравнение. Как мы собираемся его найти?

Решение

Приведенный чертеж позволяет легко взять исходные данные для решения задачи. На рисунке видно, что данная прямая параллельна оси Ох и проходит через точку (0, 3).

Прямая линия, которая будет параллельна оси x, определяется неполным общим уравнением By+C=0. Найдем значения B и C. Координаты точки (0, 3), так как через нее проходит заданная прямая, будут удовлетворять уравнению прямой By+С=0, тогда справедливо равенство : В·3+С=0. Давайте установим B в значение, отличное от нуля. Допустим, B=1, в этом случае из равенства B·3+C=0 можно найти C: C=-3. Используя известные значения B и C, получаем необходимое уравнение для прямой: y-3=0.

Ответ: у-3=0.

Общее уравнение прямой, проходящей через заданную точку плоскости

Пусть данная прямая проходит через точку М0(x0, y0), тогда ее координаты соответствуют общему уравнению прямой, т.е выполняется равенство: Ax0+By0+C=0. Вычтите левую и правую части этого уравнения из левой и правой частей общего полного уравнения до прямой. Получаем: A(x-x0)+B(y-y0)+C=0, это уравнение эквивалентно исходному общему, проходит через точку М0(x0, y0) и имеет вектор нормали n→=(А, Б).

Полученный результат позволяет написать общее уравнение прямой для известных координат вектора нормали прямой и координат конкретной точки на этой прямой.

Пример 3

Дана точка M0(-3, 4), через которую проходит прямая, и вектор нормали к этой прямой n→=(1, -2). Необходимо записать уравнение данной прямой.

Решение

Начальные условия позволяют получить необходимые данные для составления уравнения: A=1, B=-2, x0=-3, y0=4. Затем:

A(x-x0)+B(y-y0)=0⇔1 (x-(-3))-2 y(y-4)=0⇔⇔x-2y+22=0

Проблема может быть решена по-разному. Как это будет решаться? Общее уравнение прямой линии имеет вид Ax+By+C=0. Заданный вектор нормали (векторная линия) позволяет получить значения коэффициентов А и В в уравнении прямой, поэтому:

Ax+By+C=0⇔1 x-2 y+C=0⇔x-2 y+C=0

Теперь найдем значение C, используя заданную условием задачи точку M0 (-3, 4), через которую проходит прямая. Координаты этой точки соответствуют уравнению x-2·y+C=0, т.е. -3-24+C=0. Следовательно, С=11. Требуемое уравнение прямой имеет вид: x — 2·y + 11=0.

Ответ: х — 2 у + 11=0.

Пример 4

Дана прямая 23x-y-12=0 и точка M0, лежащая на этой прямой. Известна только абсцисса этой точки, и она равна -3. Необходимо определить ординату данной точки.

Решение

Обозначим координаты точки М0 как x0 и y0. Исходные данные показывают, что x0=-3. Поскольку точка принадлежит данной прямой, ее координаты соответствуют общему уравнению этой прямой. Тогда будет справедливо следующее равенство:

23×0-y0-12=0

Определить y0: 23 (-3)-y0-12=0⇔-52-y0=0⇔y0=-52

Ответ: -52

Переход от общего уравнения прямой к прочим видам уравнений прямой и обратно

Как известно, существует несколько видов уравнения одной и той же прямой на плоскости. Выбор типа уравнения зависит от условий задачи; можно выбрать тот, который более практичен для решения. Здесь очень пригодится умение преобразовывать уравнение одного вида в уравнение другого вида.

Для начала рассмотрим переход от общего уравнения вида Ax+By+C=0 к каноническому уравнению x-x1ax=y-y1ay.

Если A≠0, мы переносим член City в правую часть общего уравнения. В левой части выносим А за скобки. В итоге получаем: Ax+CA=-By.

Это равенство можно записать в виде пропорции: x+CA-B=yA .

Если B≠0, оставляем только член Ax в левой части общего уравнения, перенося остальные в правую часть, получаем: Ax=-By-C. Поместим -B вне круглых скобок, так что: Ax=-By+CB.

Перепишем равенство в виде пропорции: xB=y+CBA                             .

Разумеется, нет необходимости запоминать полученные формулы. Достаточно знать алгоритм действий при переходе от общего уравнения к каноническому.

Пример 5

Дано общее уравнение для прямой 3y-4=0. Его необходимо преобразовать в каноническое уравнение.

Решение

Запишем исходное уравнение как 3y-4=0. Далее действуем по алгоритму: слева остается терм 0x; а с правой стороны ставим -3 за скобки; получаем: 0x=-3y-43.

Запишем полученное равенство в виде пропорции: x-3=y-430. Таким образом, мы получили уравнение канонического вида.

Ответ: х-3=у-430.

Для преобразования общего уравнения прямой в параметрические сначала осуществляется переход к каноническому виду, а затем осуществляется переход от канонического уравнения прямой к параметрическим уравнениям.

Пример 6

Перед нами стоит задача. Прямая задается уравнением 2x-5y-1=0. Запишите параметрические уравнения этой прямой.

Решение

Сделаем переход от общего уравнения к каноническому:

2x-5y-1=0⇔2x=5y+1⇔2x=5y+15⇔x5=y+152

Теперь возьмем обе части полученного канонического уравнения равными λ, поэтому:

x5=λy+152=λ⇔x=5 λy=-15+2 λ, λ∈R

Ответ: x=5 λy=-15+2 λ, λ∈R

Общее уравнение можно преобразовать в уравнение прямой с наклоном y=k·x+b, но только при В≠0. Для перехода на левую сторону оставляем термин City, остальное переносим на правую. Получаем: By=-Ax-C. Разделим обе части полученного равенства на B, отличное от нуля: y=-ABx-CB.

Пример 7

Дано общее уравнение для прямой: 2x+7y=0. Вам нужно преобразовать это уравнение в уравнение наклона.

Решение

Выполним необходимые действия по алгоритму:

2x+7y=0⇔7y-2x⇔y=-27x

Ответ: у=-27х .

Из общего уравнения прямой достаточно просто получить уравнение на отрезках вида xa+yb=1. Для осуществления такого перехода перенесем число C в правую часть равенства, разделим обе части полученного равенства на –С и, наконец, перенесем коэффициенты при переменных x и y в знаменатели:

Ax+By+C=0⇔Ax+By=-C⇔⇔A-Cx+B-Cy=1⇔x-CA+y-CB=1

Пример 8

Необходимо преобразовать общее уравнение прямой x-7y+12=0 в уравнение прямой в отрезках.

Решение

Перенесем 12 вправо: x-7y+12=0⇔x-7y=-12.

Разделите на -1/2 обе части уравнения: x-7y=-12⇔1-12x-7-12y=1.

Далее приведем его к нужному виду: 1-12x-7-12y=1⇔x-12+y114=1.

Ответ: х-12+у114=1.

В общем, обратный переход тоже прост: от других типов уравнений к общему.

Уравнение прямой на отрезках и уравнение наклона легко преобразовать в общее, просто собрав все члены в левой части уравнения:

xa+yb⇔1ax+1by-1=0⇔Ax+By+C=0y=kx+b⇔y-kx-b=0⇔Ax+By+C=0

Каноническое уравнение преобразуется в общее по следующей схеме:

x-x1ax=y-y1ay⇔ay (x-x1)=ax(y-y1)⇔⇔ayx-axy-ayx1+axy1=0⇔Ax+By+C=0

Для перехода от параметрического сначала выполняется переход к каноническому, а затем к общему:

x=x1+ось λy=y1+ay λ⇔x-x1ax=y-y1ay⇔Ax+By+C=0

Пример 9

Даны параметрические уравнения прямой x=-1+2·λy=4. Необходимо записать общее уравнение этой линии.

Решение

Сделаем переход от параметрических уравнений к каноническим:

х=-1+2 λy=4⇔x=-1+2 λy=4+0 λ⇔λ=x+12λ=y-40⇔x+12=y-40

Перейдем от канонического к общему:

х+12=у-40⇔0 (х+1)=2(у-4)⇔у-4=0

Ответ:у-4=0

Пример 10

Дано уравнение прямой на отрезках x3+y12=1. Необходимо осуществить переход к общему виду уравнения.

Решение:

Просто перепишем уравнение в нужном виде:

х3+у12=1⇔13х+2у-1=0

Ответ: 13x+2y-1=0.

Составление общего уравнения прямой

Выше мы сказали, что общее уравнение можно записать с известными координатами вектора нормали и координатами точки, через которую проходит прямая. Такая прямая определяется уравнением A(x-x0)+B(y-y0)=0. Там же мы разобрали соответствующий пример.

Теперь рассмотрим более сложные примеры, где сначала необходимо определить координаты вектора нормали.

Пример 11

Дана линия, параллельная прямой 2x-3y+33=0. Точка M0(4, 1), через которую проходит данная прямая, также известна. Необходимо записать уравнение данной прямой.

Решение

Начальные условия говорят нам, что прямые параллельны, а в качестве вектора нормали к прямой, уравнение которой необходимо записать, возьмем вектор направления прямой n→=(2, -3): 2x-3y+33 = 0. Теперь мы знаем все необходимые данные для составления общего уравнения прямой:

А(х-х0)+В(у-у0)=0⇔2(х-4)-3(у-1)=0⇔2х-3у-5=0

Ответ: 2x-3y-5=0.

Пример 12

Данная прямая проходит через начало координат перпендикулярно прямой x-23=y+45. Необходимо написать общее уравнение для данной прямой.

Решение

Вектор нормали данной линии будет вектором направления линии x-23=y+45.

Тогда n→=(3, 5). Прямая проходит через начало координат, т е через точку O(0, 0). Составим общее уравнение для данной прямой:

А(х-х0)+В(у-у0)=0⇔3(х-0)+5(у-0)=0⇔3х+5у=0

Ответ: 3x+5y=0.