Что такое прямоугольник: определение, свойства, признаки, формулы

Вычисления

Определение прямоугольника

Прямоугольник – это квадрат, у которого все углы равны 90° (то есть прямые).

∠ABC = ∠BCD = ∠BAD = ADC = 90°

Прямоугольник состоит из:

  • длина — более длинная боковая пара. Обычно обозначается латинской буквой, например a;
  • ширина — короче на пару страниц. Чаще всего упоминается как б.

Сам прямоугольник обычно записывается перечислением вершин, например в нашем случае ABCD.

Примечание: прямоугольник — это вариант параллелограмма.

Элементы прямоугольника

Длина прямоугольника равна длине большей стороны.

Ширина прямоугольника равна длине меньшей стороны.

На изображении:

AD и BC — две длины прямоугольника.

AB и DC — две ширины прямоугольника.

Точки A, B, C и D являются углами прямоугольника.

АВ, ВС, CD и AD — стороны прямоугольника.

Смежные стороны прямоугольника или смежные стороны прямоугольника — это те стороны, которые имеют общую вершину.

Например, стороны AB и AD являются смежными сторонами.

Стороны АВ и ВС также являются смежными сторонами прямоугольника.

Диагональ прямоугольника — это отрезок, соединяющий противоположные углы прямоугольника.

AC и BD — диагонали прямоугольника.

В евклидовой геометрии, чтобы квадрат был прямоугольником, достаточно, чтобы хотя бы три из углов были прямыми, тогда четвертый угол в силу теоремы о сумме углов многоугольника тоже будет равен 90°. В неевклидовой геометрии, где сумма углов квадрата не равна 360°, прямоугольников не существует.

Прямоугольные элементы

Поскольку прямоугольник является параллелограммом, он обладает всеми свойствами параллелограмма и некоторыми собственными:

  • В прямоугольнике противоположные стороны параллельны и равны:
  • Стороны прямоугольника — это его высоты.

Свойства прямоугольника

Читайте также: Формулы сокращенного умножения

Основные свойства прямоугольника

Прямоугольник может быть параллелограммом, квадратом или ромбом. Противоположные стороны прямоугольника имеют одинаковую длину, то есть равны:

АВ=CD, ВС=AD

2. Противоположные стороны прямоугольника параллельны:

AB||CD, BC||AD

3. Смежные стороны прямоугольника всегда перпендикулярны:

AB ┴ BC, BC ┴ CD, CD ┴ AD, AD ┴ AB

4. Все четыре угла прямоугольника прямые:

∠ABC = ∠BCD = ∠CDA = ∠DAB = 90°

5. Сумма углов прямоугольника равна 360 градусов:

∠ABC + ∠BCD + ∠CDA + ∠DAB = 360°

6. Диагонали прямоугольника имеют одинаковую длину:

АС=БД

7. Сумма квадратов диагоналей прямоугольника равна сумме квадратов сторон:

2д2 = 2а2 + 2б2

8. Каждая диагональ в прямоугольнике делит прямоугольник на две одинаковые фигуры, а именно на прямоугольные треугольники. Диагонали прямоугольника пересекаются и делят друг друга пополам в точке пересечения:

АО=БО=СО=ДО = д
2

10. Точка пересечения диагоналей называется центром прямоугольника, а также центром описанной окружности11. Диагональ прямоугольника равна диаметру описанной окружности12. Вокруг прямоугольника всегда можно описать окружность, так как сумма противоположных углов равна 180 градусов:

∠ABC + ∠CDA = 180° ∠BCD + ∠DAB = 180°

13. В прямоугольник, длина которого не равна ширине, нельзя вписать окружность, так как суммы противоположных сторон не равны между собой (круг можно вписать только в частный случай прямоугольника — квадрат).

Свойство 1

Противоположные стороны прямоугольника попарно параллельны и равны.

  • AD = BC = а, AD || До нашей эры
  • АВ=CD=b, АВ || CD

Свойство 2

Длина и ширина прямоугольника являются его высотами, потому что они взаимно перпендикулярны.

  • a — высота h1, проведенная к стороне b
  • b — высота h2, проведенная к стороне a

Свойство 3

Если соединить середины со сторонами прямоугольника, получится ромб.

Свойство 4

Квадрат диагонали (d) прямоугольника равен сумме квадратов смежных сторон.

д2 = а2 + б2

Это следует из теоремы Пифагора, которую можно применить ко всем прямоугольным треугольникам, полученным в результате деления прямоугольника на диагональ.

Свойство 5

Диагонали прямоугольника равны и делятся пополам в точке пересечения.

  • АС=BD=d
  • AE=EC=BE=ED

Свойство 6

Вокруг любого прямоугольника можно описать окружность, радиус которой (R) равен половине диагонали этого прямоугольника.

Следовательно, диаметр окружности равен общей длине диагонали прямоугольника.

Признаки прямоугольника

Параллелограмм является прямоугольником, если верно одно из следующих условий:

  • Его диагонали равны.
  • Все углы равны.
  • Если квадрат диагонали равен сумме квадратов его смежных сторон.

Признаки параллелограмма

Параллелограмм является прямоугольником, если выполняется любое из следующих условий:

  1.  Диагонали параллелограмма равны.
  2.  Квадрат диагонали параллелограмма равен сумме квадратов прилежащих сторон.
  3.  Все углы параллелограмма равны.

Формулы

  •  Площадь прямоугольника (S):

S = а ⋅ б

  •  Периметр прямоугольника (P):

Р = а + а + б + б = 2а + 2б

Формулы определения длин сторон прямоугольника

  •  Формула стороны прямоугольника (длина и ширина прямоугольника) через диагональ и другую сторону:

а = √d2 — b2

б = √d2 — а2

  •  Формула стороны прямоугольника (длина и ширина прямоугольника) через площадь и другую сторону:
а = С
б
б = С
один
  •  Формула стороны прямоугольника (длина и ширина прямоугольника) через периметр и другую сторону:
а = П-2б
2
б = Р-2а
2
  •  Формула стороны прямоугольника (длина и ширина прямоугольника) через диаметр и угол α:

а = dsinα

b = d cosα

  •  Формула стороны прямоугольника (длина и ширина прямоугольника) через диаметр и угол β:
а = d грех β
2
б = dcos β
2

Формулы определения длины диагонали прямоугольника

  •  Формула диагонали прямоугольника через две стороны прямоугольника (по теореме Пифагора):

d = √a2 + b2

  •  Формула диагонали прямоугольника через площадь и любую сторону:
д = √С2 + а4  = √S2 + b4
один б
  •  Формула диагонали прямоугольника через периметр и любую сторону:
д = √P2 — 4Па + 8а2  = √P2 — 4Pb + 8b2
2 2
  •  Формула диагонали прямоугольника через радиус описанной окружности:

д=2R

  •  Формула диагонали прямоугольника через диаметр описанной окружности:

д = сделать

  •  Формула диагонали прямоугольника в виде синуса угла, примыкающего к диагонали, и длины стороны, противолежащей этому углу:
д = один
син
  •  Формула диагонали прямоугольника в виде косинуса угла, следующего за диагональю, и длины стороны, следующего за этим углом:
д = б
коса
  •  Формула диагонали прямоугольника через синус острого угла между диагоналями и площадь прямоугольника

d = √2S : sinβ

Формулы определения длины периметру прямоугольника

  •  Формула периметра прямоугольника через две стороны прямоугольника:

Р = 2а + 2б

Р = 2 (а + б)

  •  Формула периметра прямоугольника через площадь и любую сторону:
П = 2С + 2а2  = 2с + 2б2
один б
  •  Формула периметра прямоугольника через диагональ и любую сторону:

P = 2(a + √d2 — a2) = 2(b + √d2 — b2)

  •  Формула периметра прямоугольника через радиус описанной окружности и любую сторону:

P = 2(a + √4R2 — a2) = 2(b + √4R2 — b2)

  •  Формула периметра прямоугольника через диаметр описанной окружности и любую сторону:

P = 2(a + √Do2 — a2) = 2(b + √Do2 — b2)

Формулы определения радиуса окружности описанной вокруг прямоугольника

  •  Формула радиуса окружности, описанной вокруг прямоугольника через две стороны:
Р = √а2 + б2
2
  •  Формула радиуса окружности, описанной вокруг прямоугольника через периметр квадрата и любую сторону:
Р = √P2 — 4Па + 8а2  = √P2 — 4Pb + 8b2
4 4
  •  Формула радиуса окружности, описанной вокруг прямоугольника, через площадь квадрата:
Р = √С2 + а4  = √S2 + b4
  •  Формула радиуса окружности, описанной вокруг прямоугольника через диагональ квадрата:
Р = д
2
  •  Формула радиуса окружности, описанной вокруг прямоугольника, через диаметр описанной окружности:
Р = Делать
2
  •  Формула радиуса окружности, описанной вокруг прямоугольника, в виде синуса угла, прилежащего к диагонали, и длины стороны, противолежащей этому углу:
Р = один
2 синα
  •  Формула радиуса окружности, описанной вокруг прямоугольника, в виде косинуса угла, следующего за диагональю, и длины стороны, следующего за этим углом:
Р = б
2cosα
  •  Формула радиуса окружности, описанной вокруг прямоугольника, в виде синуса острого угла между диагоналями и площади прямоугольника:
Р = √2S : sinβ
2

Формулы определения угла между стороной и диагональю

  •  Формула определения угла между стороной и диагональю прямоугольника через диагональ и сторону:
sinα = один
д
cosα = б
д
  •  Формула определения угла между стороной и диагональю прямоугольника через угол между диагоналями:
α = β
2

Формулы определения угла между диагоналями прямоугольника

  •  Формула определения угла между диагоналями прямоугольника через угол между стороной и диагональю:

β = 2α

  •  Формула определения угла между диагоналями прямоугольника через площадь и диагональю:
грех β =
d2

Диагонали

Как мы упоминали выше, диагонали прямоугольника (отрезки, соединяющие противоположные углы) равны друг другу.

Это можно доказать с помощью известной теоремы Пифагора. В нем говорится, что «Сумма квадратов катетов прямоугольного треугольника равна квадрату гипотенузы».

В нашем случае гипотенуза — это диагональ прямоугольника, которая делит его на два равных прямоугольных треугольника. А теорема Пифагора выглядит так:

Формула

Периметр и площадь

Чтобы определить периметр прямоугольника, просто сложите длины всех четырех сторон.

Длина окружности

Однако, учитывая, что они попарно равны, окончательная формула может выглядеть проще:

Формулы

Площадь прямоугольника также очень легко вычислить. Вам просто нужно умножить две стороны:

Квадрат

Кстати, это не единственная формула расчета площади. Площадь также можно получить, взяв значение периметра фигуры или длины диагонали. Но эти формулы намного сложнее.

Вот и все, что мы хотели рассказать о геометрической фигуре ПРЯМОУГОЛЬНИК. До скорых встреч на страницах нашего блога.

Три способа найти длину прямоугольника

Если вы разделите фигуру на две части диагональю, то заметите, что прямоугольник делит ее на два прямоугольных треугольника. Из этого деления следуют все формулы длины прямоугольника.

Через теорему Пифагора

Если известна длина диагонали (обозначим ее буквой d) и длина прямоугольника (примем значение за букву а). Тогда квадратный корень из разницы между квадратами диагонали и длины будет равен ширине прямоугольника.

Чтобы было понятнее, запишем решение в виде нескольких формул.

По теореме Пифагора квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Гипотенуза — сторона, лежащая против прямого угла, две другие стороны называются катетами. В нашем случае гипотенуза — это диагональ.

Итак: d2=a2+b2 . Из этого выражения выражаем квадрат ширины (значение «b»): b2=d2-a2

Чтобы определить значение b, извлеките квадратный корень из обеих частей полученного выражения: b=(d2-a2)(-1)

При необходимости вы можете поменять местами a и b, и вы получите формулу длины.

Через площадь

Рассмотрим еще один способ нахождения длины прямоугольника — через площадь. Площадь прямоугольника равна произведению длины на ширину. То есть использовать уже известное обозначение S=a*b. Выразим значение ширины из этой формулы: b=S/b.

Как и в первом методе, вы можете поменять местами a и b, чтобы получить формулу длины: a=S/b.

Тригонометрическая функция

Один из самых быстрых, но и несколько сложных способов нахождения длины — использование тригонометрической функции.

Если это прямоугольный треугольник, существуют соотношения, известные как синус и косинус соответственно.

Выберем угол между длиной и диагональю. Обозначим его через α. Тогда sin α равен отношению между катетом, противолежащим углу α, и гипотенузой: Sin α = a/c


Рис. 2. Угол альфа на половине прямоугольника

Значение синуса любого угла можно найти в таблицах Брадиса или воспользовавшись калькулятором. Для удобства можно использовать онлайн-версию, которая автоматически находит значение коэффициента.

Но в формуле нет значения b, которое соответствует длине, а значит будем использовать основное тригонометрическое тождество. Косинус – это отношение катета, следующего за углом, к гипотенузе: cos a=b/c

Таким образом, вы можете найти длину, умножив косинус на гипотенузу: b=cos α*c

Примеры решения задач

Пример

Упражнение. В прямоугольнике $ABCD$ одна сторона на 2 см длиннее другой. Найдите стороны прямоугольника, периметр которого равен 20 см.

Решение. Сделаем чертеж (рис. 2)

Пусть наименьшая сторона прямоугольника равна $x$ см, тогда большая сторона равна $(x+2)$ см. Поскольку периметр равен $P_{ABCD}=2(AB+AD)=20$, мы получаем следующее уравнение

$2(х+(х+2))=20$

$х+х+2=20 : 2$

$quad 2 x=10-2$

$quad 2 x=8$

$х=4$

Таким образом, $AB=CD=4$ см, $AD=BC=6$ см.

Отвечать. $AB=CD=4$ см, $AD=BC=6$ см.

Упражнение. Окружность радиуса $R$ описана вокруг прямоугольника $ABCD$ со сторонами 12 дм и 5 дм. Найдите $R$.

Решение. Сделаем чертеж (рис. 3.)

Радиус описанной окружности равен половине диагонали. Найдем диагональ. Рассмотрим $Delta ABD$, он прямоугольный ($angle A=90^{circ}$). По теореме Пифагора:

$$BD=sqrt{AB^{2}+AD^{2}}$

подставляя значения сторон, получаем

$BD=sqrt{12^{2}+5^{2}}$

$BD=sqrt{144+25}=sqrt{169}$

$BD=13$ (дм)

Тогда $R=frac{BD}{2} Rightarrow R=frac{13}{2} Rightarrow R=6.5$ (дм)

Отвечать. $R=6,5$ дм

Оцените статью
Блог о Microsoft Word