Что такое Прямоугольный Параллелепипед?

Вычисления

Определение параллелепипеда

Начнем с изучения того, что такое параллелепипед.

Параллелепипед – это призма, основания которой – параллелограммы. Другими словами, параллелепипед — это многогранник с шестью гранями. Каждая грань представляет собой параллелограмм.

параллелепипед

На рисунке изображены два параллелограмма ABCD и A1B1C1D1. Основания параллелепипеда расположены на плоскости параллельно друг другу. А боковые ребра AA1, BB1, CC1, DD1 параллельны друг другу. Получившаяся фигура представляет собой параллелепипед.

Присмотритесь, как выглядит коробка и из каких компонентов она состоит.

При пересечении трех пар параллельных плоскостей образуется параллелепипед.

Основание параллелепипеда бывает в зависимости от вида: параллелограмм, прямоугольник, квадрат.

Параллелепипед это:

  • база;
  • лица;
  • ребра;
  • диагонали;
  • диагонали лица;
  • высота.

Читайте также: Как найти радиус вписанной в ромб окружности: формулы, примеры

Свойства параллелепипеда

быть параллелепипедом ー означает неуклонно следовать законам геометрии. В противном случае вы можете скатиться к простому параллелограмму.

Вот 4 характеристики коробки, о которых следует помнить:

  1. Противоположные грани параллелепипеда равны и параллельны друг другу.
  2. Все 4 диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делят эту точку пополам.
  3. Параллелепипед симметричен относительно середины диагонали.
  4. Квадрат длины диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов его трех измерений.

Свойства коробки

Виды параллелепипедов

  1. Прямой параллелепипед — боковые грани фигуры перпендикулярны основаниям и представляют собой прямоугольники.
  2. Прямой параллелепипед может быть прямоугольным — основания прямоугольники.
  3. Косая коробка — боковые поверхности не перпендикулярны основаниям.
  4. Куб — все стороны фигуры равные квадраты.
  5. Если все грани параллелепипеда — одинаковые ромбы, то он называется ромбоэдром.

Прямой параллелепипед

Прямой параллелепипед – это параллелепипед, боковые ребра которого перпендикулярны основанию.

Основание правильного параллелепипеда — параллелограмм. В прямом параллелепипеде стороны прямоугольники.

На рисунке: ребро AA1 перпендикулярно основанию ABCD. AA1 перпендикулярна линиям AB и AD, лежащим в плоскости земли

Свойства прямого параллелепипеда:

  1. Основания прямого параллелепипеда – это одинаковые параллелограммы, лежащие в параллельных плоскостях.
  2. Боковые ребра прямого параллелепипеда равны, параллельны и перпендикулярны плоскостям оснований.
  3. Высота прямого параллелепипеда равна длине боковой грани.
  4. Противоположные стороны прямого параллелепипеда — равные прямоугольники.
  5. Диагонали прямого параллелепипеда делятся точкой пересечения пополам.

На слух все довольно скучно и сложно, но на самом деле все характеристики просто описывают фигуру. Внимательно прочитайте каждое свойство, посмотрите на рисунок коробки после каждого пункта. Все сразу встанет на свои места.

Формулы прямого параллелепипеда:

  • Боковая поверхность прямого параллелепипеда
    Sб = Po * ч
    Ро — окружность основания
    ч — высота
  • Общая площадь прямого параллелепипеда
    Сп = Сб + 2Со
    Итак — базовая площадь
  • Объем правильного параллелепипеда
    В = Так * ч

Прямоугольный параллелепипед

Определение кубоида:

Прямоугольный параллелепипед – это параллелепипед, в основании которого лежит прямоугольник, а стороны перпендикулярны основанию.

На рисунке: основание прямоугольного параллелепипеда ABCD; боковое ребро AA1 перпендикулярно ABCD; угол BAD = 90°

Присмотритесь, как выглядит прямоугольная коробка. Обратите внимание на разницу с правой коробкой.

Свойства прямоугольного параллелепипеда

Прямоугольный ящик обладает всеми свойствами произвольного ящика.

  1. Прямоугольный ящик содержит 6 граней. Все грани прямоугольного параллелепипеда являются прямоугольниками.
  2. Противоположные грани параллелепипеда попарно параллельны и равны.
  3. Все углы прямоугольного параллелепипеда, состоящего из двух граней, равны 90°.
  4. Диагонали прямоугольного параллелепипеда равны.
  5. Кубоид имеет четыре диагонали, которые пересекаются в одной точке и делят эту точку пополам.
  6. За основу можно взять любую грань прямоугольного параллелепипеда.
  7. Если все ребра прямоугольного параллелепипеда равны, то прямоугольный параллелепипед является кубом.
  8. Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов его трех измерений (длины, ширины, высоты).

Свойства кубоида

Формулы прямоугольного параллелепипеда:

  • Объем прямоугольного параллелепипеда
    V = абс
    а — длина, б — ширина, з — высота
  • Площадь боковой поверхности
    Sсторона = Pоснование c=2(a+b) c
    ПОС — окружность основания, с — боковой край
  • Плоская поверхность
    Sp.p = 2(ab+bc+ac)

Диагонали прямоугольного параллелепипеда: теорема

Недостаточно просто знать свойства прямоугольного параллелепипеда, нужно уметь их доказать.

Если это теорема, вы должны доказать ее. (с) Пифагор

Теорема: Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов его трех измерений.

В данном случае это три измерения: длина, ширина, высота. Длина, ширина и высота — это длины трех ребер, исходящих из одной вершины прямоугольного параллелепипеда.

Дан прямоугольный ящик ABCDA1B1C1D1. Докажите теорему.

Теорема о диагонали прямоугольного параллелепипеда

Доказательство теоремы:

Чтобы найти диагональ прямоугольного параллелепипеда, вспомните, что диагональ — это отрезок, соединяющий противоположные углы.

Мы используем формулу:

г² = а² + б² + с²

Все грани прямоугольного параллелепипеда являются прямоугольниками.

ΔABD: ∠BAD = 90°, по теореме Пифагора

д₁² = а² + b²

ΔB₁BD: ∠B₁BD = 90°, по теореме Пифагора

d² = d₁² + c² = a² + b² + c²

г² = а² + б² + с²

Доказанная теорема является пространственной теоремой Пифагора.

Куб: определение, свойства и формулы

Куб – это прямоугольный параллелепипед, у которого все три измерения равны.

Каждая сторона куба представляет собой квадрат.

Куб

Свойства куба:

  1. У куба 6 граней, каждая сторона куба представляет собой квадрат.
  2. Противоположные грани параллельны друг другу.
  3. Все углы куба, образованного двумя гранями, равны 90°.
  4. Куб имеет четыре диагонали, которые пересекаются в центре куба и делят друг друга пополам.
  5. Диагонали куба равны.
  6. Диагональ куба в √3 раза больше его ребра.
  7. Диагональ грани куба в √2 раза больше длины ребра.

Помимо основных свойств, куб характеризуется способностью вмещать в себя тетраэдр и правильный шестиугольник.

Формулы куба:

  • Объем куба по длине ребра a
    V = а3
  • Площадь поверхности куба
    S=6a2
  • Периметр куба
    Р=12а

Решение задач

Чтобы считать тему прямоугольного параллелепипеда раскрытой, стоит потренироваться в решении задач. 10 класс — пора настоящей геометрии для взрослых. Так что чем больше тренировок, тем лучше. Давайте рассмотрим несколько примеров.

Упражнение 1. Дан прямоугольный параллелепипед. Вам нужно найти сумму длин всех ребер параллелепипеда и площади поверхности.

Задача нахождения суммы длин всех ребер параллелепипеда и площади его поверхности

Для наглядности решения обозначим размеры прямоугольного параллелепипеда: а – длина, b – ширина, c – высота. Тогда а = 10, б = 5, с = 8.

Так как в прямоугольном параллелепипеде их всего 4 — высота, ширина и длина, и все размеры равны между собой, то:
1) 4*10=40(см) — сумма длин параллелепипеда;
2) 4*5=20 (см) — суммарное значение ширины параллелепипеда;
3) 4 * 8 = 32 (см) — сумма высот параллелепипеда;
4) 40+20+32=92 (см) — сумма длин всех ребер прямоугольного параллелепипеда.

Отсюда мы можем вывести формулу для нахождения суммы длин всех сторон печатной платы:
X = 4a + 4b + 4c (где X — сумма длин ребер).

Формула нахождения площади поверхности параллелепипеда Sp.p = 2(ab+bc+ac).
Тогда: S = (5*8 + 8*10 + 5*10) * 2 = 340 см2.

Упражнение 2. Дан прямоугольный параллелепипед ABCDA1B1C1D1.

D1B = √26
ВВ1 = 3
А1D1 = 4

Нам нужно найти длину ребра A1B1.

Задача о нахождении длины ребер прямоугольного параллелепипеда

Треугольник BDD1 находится в фокусе.
Угол D = 90°.

По теореме Пифагора:
БД12 = ДД12 + БД2
БД2 = БД12 — ДД12
БД2 = 26 — 9 = 17
БД = √17
В треугольнике ADB угол A = 90°.
БД2=АД2+АВ2
AB2 = BD2 — AD2 = (√17)2 — 42 = 1
А1В1=АВ=1.

Задача 3. Дан прямоугольный параллелепипед ABCDA1B1C1D1.

АВ = 4
АД = 6
АА1=5
Вам нужно найти отрезок BD1.

Задача нахождения отрезка BD прямоугольного параллелепипеда

В треугольнике ADB угол A = 90°.

По теореме Пифагора:
БД2=АВ2+АД2
БД2 = 42 + 62 = 16 + 36 = 52
В треугольнике BDD1 угол D = 90°.
BD12 = 52 + 25 = 77
BD1 = √77.

Оцените статью
Блог о Microsoft Word