Определение параллелепипеда
Начнем с изучения того, что такое параллелепипед.
Параллелепипед – это призма, основания которой – параллелограммы. Другими словами, параллелепипед — это многогранник с шестью гранями. Каждая грань представляет собой параллелограмм.
На рисунке изображены два параллелограмма ABCD и A1B1C1D1. Основания параллелепипеда расположены на плоскости параллельно друг другу. А боковые ребра AA1, BB1, CC1, DD1 параллельны друг другу. Получившаяся фигура представляет собой параллелепипед.
Присмотритесь, как выглядит коробка и из каких компонентов она состоит.
При пересечении трех пар параллельных плоскостей образуется параллелепипед.
Основание параллелепипеда бывает в зависимости от вида: параллелограмм, прямоугольник, квадрат.
Параллелепипед это:
- база;
- лица;
- ребра;
- диагонали;
- диагонали лица;
- высота.
Читайте также: Как найти радиус вписанной в ромб окружности: формулы, примеры
Свойства параллелепипеда
быть параллелепипедом ー означает неуклонно следовать законам геометрии. В противном случае вы можете скатиться к простому параллелограмму.
Вот 4 характеристики коробки, о которых следует помнить:
- Противоположные грани параллелепипеда равны и параллельны друг другу.
- Все 4 диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делят эту точку пополам.
- Параллелепипед симметричен относительно середины диагонали.
- Квадрат длины диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов его трех измерений.
Виды параллелепипедов
- Прямой параллелепипед — боковые грани фигуры перпендикулярны основаниям и представляют собой прямоугольники.
- Прямой параллелепипед может быть прямоугольным — основания прямоугольники.
- Косая коробка — боковые поверхности не перпендикулярны основаниям.
- Куб — все стороны фигуры равные квадраты.
- Если все грани параллелепипеда — одинаковые ромбы, то он называется ромбоэдром.
Прямой параллелепипед
Прямой параллелепипед – это параллелепипед, боковые ребра которого перпендикулярны основанию.
Основание правильного параллелепипеда — параллелограмм. В прямом параллелепипеде стороны прямоугольники.
На рисунке: ребро AA1 перпендикулярно основанию ABCD. AA1 перпендикулярна линиям AB и AD, лежащим в плоскости земли
Свойства прямого параллелепипеда:
- Основания прямого параллелепипеда – это одинаковые параллелограммы, лежащие в параллельных плоскостях.
- Боковые ребра прямого параллелепипеда равны, параллельны и перпендикулярны плоскостям оснований.
- Высота прямого параллелепипеда равна длине боковой грани.
- Противоположные стороны прямого параллелепипеда — равные прямоугольники.
- Диагонали прямого параллелепипеда делятся точкой пересечения пополам.
На слух все довольно скучно и сложно, но на самом деле все характеристики просто описывают фигуру. Внимательно прочитайте каждое свойство, посмотрите на рисунок коробки после каждого пункта. Все сразу встанет на свои места.
Формулы прямого параллелепипеда:
- Боковая поверхность прямого параллелепипеда
Sб = Po * ч
Ро — окружность основания
ч — высота - Общая площадь прямого параллелепипеда
Сп = Сб + 2Со
Итак — базовая площадь - Объем правильного параллелепипеда
В = Так * ч
Прямоугольный параллелепипед
Определение кубоида:
Прямоугольный параллелепипед – это параллелепипед, в основании которого лежит прямоугольник, а стороны перпендикулярны основанию.
На рисунке: основание прямоугольного параллелепипеда ABCD; боковое ребро AA1 перпендикулярно ABCD; угол BAD = 90°
Присмотритесь, как выглядит прямоугольная коробка. Обратите внимание на разницу с правой коробкой.
Свойства прямоугольного параллелепипеда
Прямоугольный ящик обладает всеми свойствами произвольного ящика.
- Прямоугольный ящик содержит 6 граней. Все грани прямоугольного параллелепипеда являются прямоугольниками.
- Противоположные грани параллелепипеда попарно параллельны и равны.
- Все углы прямоугольного параллелепипеда, состоящего из двух граней, равны 90°.
- Диагонали прямоугольного параллелепипеда равны.
- Кубоид имеет четыре диагонали, которые пересекаются в одной точке и делят эту точку пополам.
- За основу можно взять любую грань прямоугольного параллелепипеда.
- Если все ребра прямоугольного параллелепипеда равны, то прямоугольный параллелепипед является кубом.
- Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов его трех измерений (длины, ширины, высоты).
Формулы прямоугольного параллелепипеда:
- Объем прямоугольного параллелепипеда
V = абс
а — длина, б — ширина, з — высота - Площадь боковой поверхности
Sсторона = Pоснование c=2(a+b) c
ПОС — окружность основания, с — боковой край - Плоская поверхность
Sp.p = 2(ab+bc+ac)
Диагонали прямоугольного параллелепипеда: теорема
Недостаточно просто знать свойства прямоугольного параллелепипеда, нужно уметь их доказать.
Если это теорема, вы должны доказать ее. (с) Пифагор
Теорема: Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов его трех измерений.
В данном случае это три измерения: длина, ширина, высота. Длина, ширина и высота — это длины трех ребер, исходящих из одной вершины прямоугольного параллелепипеда.
Дан прямоугольный ящик ABCDA1B1C1D1. Докажите теорему.
Доказательство теоремы:
Чтобы найти диагональ прямоугольного параллелепипеда, вспомните, что диагональ — это отрезок, соединяющий противоположные углы.
Мы используем формулу:
г² = а² + б² + с²
Все грани прямоугольного параллелепипеда являются прямоугольниками.
ΔABD: ∠BAD = 90°, по теореме Пифагора
д₁² = а² + b²
ΔB₁BD: ∠B₁BD = 90°, по теореме Пифагора
d² = d₁² + c² = a² + b² + c²
г² = а² + б² + с²
Доказанная теорема является пространственной теоремой Пифагора.
Куб: определение, свойства и формулы
Куб – это прямоугольный параллелепипед, у которого все три измерения равны.
Каждая сторона куба представляет собой квадрат.
Свойства куба:
- У куба 6 граней, каждая сторона куба представляет собой квадрат.
- Противоположные грани параллельны друг другу.
- Все углы куба, образованного двумя гранями, равны 90°.
- Куб имеет четыре диагонали, которые пересекаются в центре куба и делят друг друга пополам.
- Диагонали куба равны.
- Диагональ куба в √3 раза больше его ребра.
- Диагональ грани куба в √2 раза больше длины ребра.
Помимо основных свойств, куб характеризуется способностью вмещать в себя тетраэдр и правильный шестиугольник.
Формулы куба:
- Объем куба по длине ребра a
V = а3 - Площадь поверхности куба
S=6a2 - Периметр куба
Р=12а
Решение задач
Чтобы считать тему прямоугольного параллелепипеда раскрытой, стоит потренироваться в решении задач. 10 класс — пора настоящей геометрии для взрослых. Так что чем больше тренировок, тем лучше. Давайте рассмотрим несколько примеров.
Упражнение 1. Дан прямоугольный параллелепипед. Вам нужно найти сумму длин всех ребер параллелепипеда и площади поверхности.
Для наглядности решения обозначим размеры прямоугольного параллелепипеда: а – длина, b – ширина, c – высота. Тогда а = 10, б = 5, с = 8.
Так как в прямоугольном параллелепипеде их всего 4 — высота, ширина и длина, и все размеры равны между собой, то:
1) 4*10=40(см) — сумма длин параллелепипеда;
2) 4*5=20 (см) — суммарное значение ширины параллелепипеда;
3) 4 * 8 = 32 (см) — сумма высот параллелепипеда;
4) 40+20+32=92 (см) — сумма длин всех ребер прямоугольного параллелепипеда.
Отсюда мы можем вывести формулу для нахождения суммы длин всех сторон печатной платы:
X = 4a + 4b + 4c (где X — сумма длин ребер).
Формула нахождения площади поверхности параллелепипеда Sp.p = 2(ab+bc+ac).
Тогда: S = (5*8 + 8*10 + 5*10) * 2 = 340 см2.
Упражнение 2. Дан прямоугольный параллелепипед ABCDA1B1C1D1.
D1B = √26
ВВ1 = 3
А1D1 = 4
Нам нужно найти длину ребра A1B1.
Треугольник BDD1 находится в фокусе.
Угол D = 90°.
По теореме Пифагора:
БД12 = ДД12 + БД2
БД2 = БД12 — ДД12
БД2 = 26 — 9 = 17
БД = √17
В треугольнике ADB угол A = 90°.
БД2=АД2+АВ2
AB2 = BD2 — AD2 = (√17)2 — 42 = 1
А1В1=АВ=1.
Задача 3. Дан прямоугольный параллелепипед ABCDA1B1C1D1.
АВ = 4
АД = 6
АА1=5
Вам нужно найти отрезок BD1.
В треугольнике ADB угол A = 90°.
По теореме Пифагора:
БД2=АВ2+АД2
БД2 = 42 + 62 = 16 + 36 = 52
В треугольнике BDD1 угол D = 90°.
BD12 = 52 + 25 = 77
BD1 = √77.