Что такое шар (сфера): определение, свойства, формулы

Трехмерное пространство

Большинство геометрических построений делаются на плоскости, но в старших классах начинают изучать объемные фигуры. Двумерное пространство имеет только два свойства: длину и ширину. Высота добавляется к 3D-областям. В 6 классе математики изучаются отдельные объемные фигуры.

На плоскости фигура характеризовалась площадью и окружностью. В трехмерных объектах им добавляется объем.

Кроме того, существует ряд специфических свойств трехмерных фигур. Их может пересекать прямая и плоскость, это может быть секущая плоскость, имеющая форму других фигур.

Использование объемных фигур для составления заданий сильно усложняет их, но в то же время делает намного интереснее. Дадим определения шара и сферы, после чего попытаемся выделить отличия между этими фигурами.

Определение шара и сферы

Шар — это совокупность всех точек трехмерного пространства, находящихся на заданном расстоянии от точки, называемой центром шара (точка O на рисунке ниже). Другими словами, это набор точек, ограниченных сферой.

Сфера образована вращением окружности вокруг своего диаметра (оси) на 180° или полуокружности на 360°.

Сфера – это поверхность сферы. Он образован вращением круга вокруг его диаметра на 180° или полукруга на 360°.

Есть два типа мячей:

• закрытый — включает пулю;
• открытый — исключает сферу.

Радиус сферы (сферы) – это расстояние между центром и точками, расположенными на поверхности. На рисунке выше он отмечен буквой R.

Диаметр сферы (сферы) – это отрезок, проходящий через центр шара и соединяющий две противоположные точки на поверхности. Совпадает с осью шара, обычно обозначаемой буквой d.

Полюса шара (шара) – это точки А и В, расположенные на концах его диаметра.

Шар

Шар и сфера — аналог круга и круга на плоскости. Шар – это фигура, полученная вращением полуокружности вокруг точки.

Шар имеет площадь поверхности: $S=4pir^2$

Радиус — это отрезок, соединяющий центр шара и некоторые точки на поверхности.

Формула объема шара$V={4pir^3over3}$

Объем показывает, сколько места занимает фигура. Чтобы понять, что такое объем, нужно представить себе полую фигуру. Тогда объем — это количество воды, которое можно налить в эту фигуру

Шар, как и любую другую трехмерную фигуру, можно разрезать плоскостью. Секущая плоскость шара представляет собой окружность, центр которой можно найти, опустив перпендикуляр из центра шара на окружность.

Рис. 2. Разрез мяча.

Хотя в школьном курсе таких ситуаций не бывает, но надо понимать, что мяч можно разрезать плоскостью под углом. Но и в этом примере секущая плоскость останется шаром.

Сфера

Сфера — это фигура, представляющая собой множество точек в пространстве, равноудаленных от центра сферы. Сфера:

• Он имеет те же формулы объема и площади поверхности, что и сфера.
• Секущая плоскость сферы представляет собой окружность
• Центр секущей окружности находится так же, как и для шара

Рис. 3. Круто.

В чем различие

Тогда возникает вопрос, чем отличается мяч от пули, кроме определения? Дело в том, что различия между сферой и сферой гораздо более размыты, чем различия между кругом и кругом. Сфера также имеет объем и площадь поверхности.

Возможно, кроме определения, отличие заключается в том, что в задачах никогда не встречается объем сферы. Как правило, ищут объем мяча. Это не означает, что сфера не имеет объема. Это объемная фигура, поэтому она имеет объем.

Аналогия просто проводится с кругом, у которого нет площади. Это не правило, а скорее традиция, которую необходимо помнить: в геометрии не приветствуется формулировка объема сферы.

Еще одно отличие, которое можно считать более или менее существенным: секущая плоскость сферы: круг, не имеющий внутреннего пространства, но имеющий длину. Плоскость сечения сферы: круг, имеющий площадь и не имеющий окружности. Поэтому стоит быть внимательным в формулировке задачи, чтобы не было ошибок из-за таких мелочей.

Читайте также: Как перевести кэВ в эВ и в кулоны

Свойства шара и сферы

Свойство 1

Любая часть сферы плоскостью является окружностью.

Свойство 2

Любая часть сферы плоскостью является окружностью.

Свойство 3

Все точки на сфере равноудалены от центра.

Свойство 4

Сфера имеет самый большой объем из всех форм в пространстве, имеющих такую ​​же площадь поверхности.

Свойство 5

Через две диаметрально противоположные точки (самые удаленные точки на окружности друг от друга) можно провести неограниченное количество окружностей для сферы или окружностей для сфер с радиусом, равным радиусу шара/сферы.

Примечание: если точки не диаметрально противоположны, можно нарисовать только одну окружность (окружность).

Части шара

Сегмент шара — это часть шара, отсекаемая плоскостью. Иногда называется сферическим сегментом. Изображение ниже окрашено в зеленый цвет.

Сечение сферы – это часть сферы между двумя параллельными плоскостями, пересекающими ее. Может также упоминаться как сферический слой. На картинке ниже он выделен желтым цветом.

Сектор шара — состоит из сферического сегмента и конуса, вершина которого находится в центре шара, а основание совпадает с низом сегмента. На рисунке ниже сектор закрашен оранжевым цветом.

Формулы для шара/сферы

В приведенных ниже формулах используются как радиус (R), так и диаметр (d) фигур. Число π в расчетах обычно округляется до двух знаков после запятой и примерно равно 3,14.

Объем мяча

Площадь поверхности шара

Уравнение сферы

1. Уравнение сферы радиусом R с центром в начале декартовой системы координат:

х2 + у2 + z2 = R2

2. Уравнение сферы радиусом R с центром в точке с координатами (x0, y0, z0) в декартовой системе координат:

(x — x0)2 + (y — y0)2 + (z — z0)2 = R2

3. Параметрическое уравнение сферы с центром в точке (x0, y0, z0):
x = x0 + R sin θ cos φy = y0 + R sin θ sin φz = z0 + R cos θ
где θ ϵ 0,π, φ ε 0,2π. Определение: Диаметрально противоположными точками называются две точки на поверхности сферы (шара), соединенные диаметром.

Основные свойства сферы и шара

1. Все точки на сфере одинаково удалены от центра.2. Любая часть сферы плоскостью является окружностью.3. Любая часть сферы плоскостью является кругом.4. Сфера имеет наибольший объем среди всех пространственных фигур с одинаковой площадью поверхности. Через две диаметрально противоположные точки можно провести много красивых кругов для сферы или кругов для шара.

6. Через две точки, кроме диаметрально противоположных, можно провести только одну большую окружность для сферы или одну большую окружность для шара.7. Любые две большие окружности шара пересекаются по прямой, проходящей через центр шара, причем окружности пересекаются в двух диаметрально противоположных точках.8. Если расстояние между центрами любых двух сфер меньше суммы их радиусов и больше модуля разности их радиусов, то такие сферы пересекаются, и в плоскости пересечения образуется окружность.

Секущая, хорда, секущая плоскость сферы и их свойства

Определение: секущая сферы – это прямая линия, которая пересекает сферу в двух точках. Точки пересечения называются точками проникновения в поверхность или точками входа и выхода на поверхности. Определение. Хорда сферы (шара) – это отрезок, соединяющий две точки шара (поверхности шара). Определение. Секущая плоскость — это плоскость, которая разрезает сферу.

Определение Диаметральная плоскость — это секущая плоскость, проходящая через центр сферы или сферы, сечение которой образует большой круг и большой круг соответственно. Большой круг и большой круг имеют центр, совпадающий с центром сферы (сферы). Любая хорда, проходящая через центр сферы (сферы), является диаметром. Хорда – это отрезок секущей. Расстояние d от центра сферы до секущей всегда меньше радиуса сферы:

д < р

Расстояние m между секущей плоскостью и центром сферы всегда меньше радиуса R:

м < R

Сечение секущей плоскости на сфере всегда будет маленькой окружностью, а на сфере сечением будет маленькая окружность. Малый круг и малый круг имеют свои центры, не совпадающие с центром сферы (сферы). Радиус r такой окружности можно найти по формуле:

г = √R2 — м2,

где R — радиус сферы (сферы), м — расстояние от центра сферы до плоскости сечения. Определение Полусфера (полусфера) — это полусфера (сфера), образованная при разрезании ее диаметральной плоскостью.

Касательная, касательная плоскость к сфере и их свойства

Определение Касательной к сфере называется прямая, которая касается сферы только в одной точке. Определение. Касательная плоскость к сфере — это плоскость, которая касается сферы только в одной точке. Касательная линия (плоскость) всегда перпендикулярна радиусу сферы, проведенной к точке касания. Расстояние от центра сферы до касательной (плоскости) равно радиусу сферы.
Определение: Сегмент шара — это часть шара, отсеченная от шара секущей плоскостью. Основанием сегмента называется круг, который образовался на месте разреза. Высота отрезка h — это длина перпендикуляра, проведенного из центра основания отрезка к поверхности отрезка. Формула. Площадь внешней поверхности сегмента сферы высотой h через радиус сферы R:

S = 2πRh

Формула. Объем сегмента сферы высотой hi равен радиусу сферы R:

В =	h2π	(3R-ч)
3

Определение: Диск шара – это часть шара, образованная в результате его сечения двумя параллельными плоскостями и расположенная между ними.
Определение. Сектором называется часть шара, ограниченная суммой всех лучей, исходящих из центра шара О и образующих на поверхности окружность радиусом г. Формула. Площадь поверхности сектора S высотой O1H (h) через радиус сферы OH (R):

S = πR(2t + √2tR — h2)

Формула Объем сектора V высотой O1H (h) через радиус сферы OH (R):

В =	2πR2h
3

Определение: Касательные сферы (сферы) – это любые две сферы (сферы), имеющие общую точку соприкосновения. Если расстояние между центрами больше суммы радиусов, то фигуры не касаются и не пересекаются.
Определение: концентрическими сферами называются любые две сферы, имеющие общий центр и радиусы разной длины. Формулы геометрии

Площади сферы и ее частей. Объемы шара и его частей

В следующей таблице приведены формулы для расчета объема сферы и объемов ее частей, а также площади сферы и площадей ее частей.

Фигура	Рисунок	Формула	Описание
Прохладный		S = 4πr2, где r — радиус сферы.	Диапазон пуль
Мяч	где r — радиус шара.	Объем мяча
Сферический ремень		S = 2пр, где r — радиус сферы, h – высота сферического пояса. Площадь сферического пояса не зависит от радиусов r1 и r2 !	Площадь сферического пояса
Мяч команда	где r1, r2 — радиусы оснований сферического слоя, h – высота сферического слоя.	Объем сферического слоя
Сферический сегмент		S = 2пр, где r — радиус сферы, h – высота сферического сегмента.	Площадь сферического сегмента
Шаровой сегмент	где r — радиус шара, h – высота сферического сегмента.	Объем сферического сегмента
Сектор мяча		где r — радиус шара, h — высота сферического сектора.	Объем сферического сектора

Прохладный

Диапазон мяча: S = 4πr2, где r — радиус сферы.

Мяч

Объем мяча: где r — радиус шара.

Сферический ремень

Площадь сферического пояса: S = 2пр, где r — радиус сферы, h – высота сферического пояса. Площадь сферического пояса не зависит от радиусов r1 и r2 !

Мяч команда

Объем шаровой кровати: где r1, r2 — радиусы оснований сферического слоя, h – высота сферического слоя.

Сферический сегмент

Площадь сферического сегмента: S = 2пр, где r — радиус сферы, h – высота сферического сегмента.

Шаровой сегмент

Объем шарового сегмента: где r — радиус шара, h – высота сферического сегмента.

Сектор мяча

Объем сектора сферы: где r — радиус шара, h — высота сферического сектора.