Определение тетраэдра
Тетраэдр — это разновидность пирамиды; тетраэдр, грани которого треугольники.
У тетраэдра 4 грани, 4 вершины и 6 ребер. Каждая грань фигуры может быть ее основанием.
Развертка тетраэдра на примере правильной фигуры представлена ниже:
Основные элементы и свойства тетраэдра (к нему относятся свойства правильной пирамиды) мы рассмотрели в отдельной публикации.
Виды тетраэдра
- Равногранный тетраэдр – боковые грани фигуры равны, а основание – правильный (равносторонний) треугольник.
- Прямоугольный тетраэдр — угол между всеми тремя ребрами в одной вершине прямой, т.е равен 90°.
- Правильный тетраэдр — все ребра равны, а грани — соответственно равносторонние треугольники.
- Ортоцентрический тетраэдр — все высоты, проведенные из всех углов фигуры к противоположным граням, пересекаются в одной точке.
Типы тетраэдров.
Правильный тетраэдр – это такая правильная треугольная пирамида, где каждая из граней оказывается равносторонним треугольником.
В правильном тетраэдре каждый двугранный угол при ребрах и каждый трехгранный угол при вершинах имеют одинаковое значение.
У тетраэдра 4 грани, 4 вершины и 6 ребер.
Правильный тетраэдр — один из 5 правильных многогранников.
Кроме обычного тетраэдра внимания заслуживают следующие виды тетраэдра:
— Равносторонний тетраэдр, где каждая сторона представляет собой треугольник. Все треугольные грани такого тетраэдра равны.
— Ортоцентрический тетраэдр, у которого каждое возвышение, опущенное из вершин в противоположную сторону, пересекает остальные в одной точке.
— Прямоугольный тетраэдр, у которого каждое ребро, примыкающее к одной из вершин, перпендикулярно другим ребрам, примыкающим к той же вершине.
— Скелетный тетраэдр — тетраэдр, который при таких условиях:
- есть сфера, касающаяся каждого края,
- сумма длин пересекающихся ребер равна,
- сумма двугранных углов при противоположных сторонах равна,
- круги, вписанные в лица, соприкасаются попарно,
- описывается каждый квадрат, образованный развитием тетраэдра,
- перпендикуляры, поставленные к граням из центров вписанных в них окружностей, пересекаются в одной точке.
— Пропорциональный тетраэдр, высоты сторон равны.
— инцентрический тетраэдр, имеет отрезки, соединяющие вершины тетраэдра с центрами окружностей, вписанных в противоположные грани, пересекающиеся в одной точке.
Свойства тетраэдра.
Параллельные плоскости, проходящие через пары ребер тетраэдра, пересекаются и определяют описанную рамку около тетраэдра.
Плоскость, проходящая через середины 2-х ребер тетраэдра, пересекающая и делящая его на 2 равные по объему части.
Все медианы и бимедианы тетраэдра пересекаются в одной точке. Эта точка делит медианы в соотношении 3:1, если считать сверху. Он также делит бимедианы на две равные части.
Математические характеристики тетраэдра
Тетраэдр можно поместить в сферу (вписать) так, чтобы каждая его вершина касалась внутренней стенки сферы.
Радиус описанной сферы тетраэдра определяется по формуле:
, где а — длина стороны.
Сфера может быть вписана в тетраэдр.
Радиус вписанной сферы тетраэдра определяется по формуле:
Площадь поверхности тетраэдра
Для наглядности площадь поверхности тетраэдра можно представить в виде чистой площади. Площадь поверхности можно определить как площадь одной из сторон тетраэдра (это площадь правильного треугольника), умноженную на 4. Или воспользоваться формулой:
Объем тетраэдра определяется по следующей формуле:
Высота тетраэдра определяется по следующей формуле:
Расстояние до центра основания тетраэдра определяется по формуле:
Читайте также: Как найти объем призмы: формула для правильной, боковой и прямой
Вариант развертки
Тетраэдр можно сделать самостоятельно. Бумага или картон – лучший вариант. Для сборки вам понадобится развертка бумаги — цельная деталь с линиями сгиба.
Древнегреческий философ Платон связывал тетраэдр с «земной» стихией огня, поэтому мы выбрали красный цвет для построения модели этого распространенного многогранника.
Обратите внимание, что это не единственный вариант свайпа.
Для сборки модели можно скачать разработку в формате pdf и распечатать на листе формата А4:
— если вы собираетесь печатать на цветном принтере — цветное сканирование
— если вы собираетесь использовать для сборки цветной картон — отсканируйте
Формулы для определения элементов тетраэдра.
Высота тетраэдра:
где h — высота тетраэдра, a — ребро тетраэдра.
Объем тетраэдра рассчитывается по классической формуле объема пирамиды. В него нужно подставить высоту тетраэдра и площадь правильного (равностороннего) треугольника.
где V — объем тетраэдра, а — ребро тетраэдра.
Основные формулы правильного тетраэдра:
Где S – площадь поверхности правильного тетраэдра;
V — объем;
h — высота опущенного до основания;
r — радиус окружности, вписанной в тетраэдр;
R — радиус описанной окружности;
а — длина ребра.
Формулы площади и объема правильного тетраэдра
Плоская поверхность
Объем
Площадь поверхности тетраэдра
 |
 |
