Что такое угол?

Вычисления

Определение угла

Угол – это простая геометрическая фигура. Определение угла напрямую связано с понятием луча.

Луч — это прямая линия, которая имеет начало, но не имеет конца и продолжается только в одном направлении.

Если мы получим на плоскости прямую а, и на ней будет точка О, то окажется, что прямая делится точкой на две части, каждая из которых является лучом, начинающимся в точке О.

точка делит прямую

Луч может обозначаться строчной буквой латинского алфавита или двумя заглавными буквами. Например вот так:

обозначение луча

Угол — это часть плоскости между двумя прямыми, начинающимися из одной точки. Каждая сторона угла является лучом, а вершина является общим началом сторон.

угол

Что такое вершина и стороны угла

В математике есть специальный символ для угла, вот он: ∠.

Если стороны угла названы строчными латинскими буквами, то они пишутся после символа. Например, так: ∠ab или ∠ba.

Если стороны угла названы заглавными буквами, то обозначение угла будет состоять из символа и трех букв, причем вершина всегда пишется посередине. Со сторонами угла OA и OB название угла запишем так: ∠AOB и ∠BOA. Вы также можете назвать угол одной заглавной буквой, обозначающей вершину, например: ∠O.

Иногда встречается обозначение в виде цифр — это тоже возможно.

Для наглядности все способы задания углов:

обозначения углов

Так как угол делит плоскость на две части, одна будет внутри угла, а другая будет снаружи угла. Как это:

Читайте также: Калькулятор процентов

угловая зона

Единицей измерения углов является градус. Символ степени угла: °.

 

Виды углов

Существуют разные виды уголков и каждый имеет свое название:

  • острый
  • прямой
  • тупой
  • развернутый
  • выпуклый
  • полный

типы углов

Важно различать типы углов в геометрии. Можно определить на глаз или с помощью линейки.

Прямой угол – это угол, стороны которого перпендикулярны друг другу. Прямой угол всегда равен 90°.

Если два смежных угла равны, то каждый из них прямой. Для удобства прямой угол обозначают уголком. Как это:

прямой угол

На рисунке показаны два прямых угла ∠AOC и ∠COB. Общая сторона ОС перпендикулярна прямой АВ, а точка О является основанием перпендикуляра.

Острый угол — это угол, который меньше прямого угла, то есть < 90°.

Прямой угол – это открытый угол, образованный двумя лучами и равный сумме двух прямых углов. Развернутый угол 180°. Как выглядит расширенный угол, показано на первой картинке.

При делении прямым углом на плоскости любая из частей считается внутренностью прямого угла.

Нетупым углом называется любой угол, не являющийся тупым, то есть не равный 180°.

Тупой угол — это угол, который больше прямого угла, но меньше прямого угла:
90° < тупой угол < 180°.

Выпуклый угол – это угол, который больше прямого угла, но меньше полного угла:
180° < угол выпуклости < 360°.

Полный угол является углом, если обе его стороны совпадают с лучом. Он равен сумме четырех прямых углов, т е. = 360°.

Целые углы — это пара углов с общей вершиной и стороной, при этом остальные стороны лежат по разные стороны от общей стороны.

смежные углы

На рисунке мы видим два смежных угла ∠AOB и ∠BOC, общую вершину O и общую сторону OB.

Определение можно сформулировать иначе: если луч, проведенный из вершины угла, делит угол пополам, то образующиеся углы будут смежными.

Чтобы найти угол, образуемый лучом, сложите полученные углы: ∠AOB = ∠AOC + ∠COB. Отсюда можно выделить следующие истинные отличия:

  • ∠АОС = ∠АОВ — ∠СОВ,
  • ∠COB = ∠AOB − ∠AOC.

Помните! Угол называется прямым, если он равен 90°, острым, если он меньше 90°, тупым, если он больше 90°, но меньше 180°. Развернутый угол 180°.

Прямой угол

Прямой угол — это угол 90 градусов. Это легко определить с помощью треугольника, например вот этого:

39346.jpg

Острый угол

Острый угол – это угол, который МЕНЬШЕ прямого угла, меньше 90.

39350.jpg
м

Тупой угол

Острый угол — это угол, который БОЛЬШЕ прямого угла, более 90 градусов.

39351.jpg

Сравнение углов

Для сравнения углов можно использовать самый простой метод из программы 4 класса — метод наложения. Для этого нужно совместить два угла и сторону одного угла со стороной другого. Если стороны данных углов совпадают, то углы равны. В противном случае угол, образуемый другим, будет меньше. Вот два наглядных примера с равными и неравными углами:

Сравнение углов

При этом развернутые углы всегда равны.

Комбинация углов ∠ и ∠ выглядит следующим образом:

  1. Соединяем вершину одного угла с вершиной другого угла.
  2. Накладываем сторону одного угла на сторону другого угла так, чтобы стороны и располагались в одном направлении.

Если остальные стороны также совпадают, то углы равны: ∠ = ∠.

Сравнение углов

Если нет, то один угол меньше другого: ∠<∠.

Сравнение углов

Вы также можете сравнить углы, измерив их размер. Для этого понадобится специальный инструмент для построения и измерения углов – транспортир. Вот как это выглядит:

транспортир

Как правильно измерять углы

измерение углов аналогично измерению отрезков: вы должны сравнить их с углом, принятым за единицу измерения. В геометрии за единицу измерения обычно принимают градус — угол, равный 1/180 развернутого угла. Об этом сообщается следующим образом: °.

Градусная мера угла — положительное число, показывающее, сколько раз градус и его части входят в данный угол.

Есть две дополнительные возможные угловые меры: минуты и секунды. Они позволяют выполнять более точные расчеты, особенно когда значение не является целочисленным символом градуса.

Минута равна 1/60 градуса. Указано ´.

Секунда составляет 1/60 минуты. Обозначается знаком ´´.

Градус состоит из 3600 секунд, то есть: 1° = 60´ = 3600´´.

Как измеряется угол: сначала измеряются стороны угла, а затем его внутренняя область. Всегда необходимо считать количество сложенных вершин, так как они предопределяют меру измеряемого угла.

Когда луч делит угол на два или более углов, градусная мера всего угла равна сумме градусных мер этих углов.

реактивный самолет

На рисунке показан угол АОВ, он состоит из углов АОС, COD и DOB. Это можно записать так: ∠AOB = ∠AOC + ∠COD + ∠DOB = 45° + 30° + 60° = 135 °.

угол АОВ

Равные углы имеют одинаковую меру.

Что понадобится для определения прямого угла?

Рулетка
Итак, какие инструменты нужно использовать для проверки правильного угла. Сразу стоит отметить, что никаких приспособлений и серьезных инструментов для этого не требуется. Необходимо будет использовать очень простые вещи, которые найдутся практически в каждом хозяйстве. И даже если их нет под рукой, их легко можно купить в магазине. С этим никаких сложностей не возникнет.

Для расчета прямого угла нужно взять:

  • Карандаш;
  • Построить рулетку.

Вот и все. Вот так просто.

Как можно вычислить прямой угол?

Итак, в этой статье будет описан принцип 3-4-5 при определении угла 90 градусов. В этом нет ничего сложного. Просто нужно немного подумать головой и погрузиться во все расчеты, которые могут помочь вам проверить угол.

Итак, необходимо предпринять следующие шаги:

  1. Как рассчитать
    Для начала стоит понять, почему принцип так обозначен — 3-4-5. Это не просто набор чисел, это размер сторон прямоугольного треугольника. Теорема Пифагора утверждает, что квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Числа 3-4-5 очень подходят для проверки этого простого геометрического правила: 3*3+4*4=5*5, то есть 9+16=25. Эти цифры следует использовать в дальнейших расчетах;
  2. Так что сначала нужно отмерить 3 метра от угла вдоль одной из стен. Здесь следует отметить, что предпочтительнее измерять длину 3 метра, но если помещение небольшое, можно отметить только 30 сантиметров. В месте измерения нужно сделать отметку;
  3. В принципе можно использовать и другие числа, но рекомендуется в любом случае использовать пропорционально увеличенные числа, например: 9-12-15 или 30-40-50;
  4. После того, как сделан предварительный замер, нужно отмерить 4 метра по другой стене, также от угла. Ну или 40 сантиметров соответственно, если комната маленькая. Вы должны сделать заметку;
  5. Теперь осталось сделать последнее действие, где уже можно судить прямой угол или нет. Измерителю потребуется измерить расстояние между сделанными отметками. На основании полученных данных можно будет сделать определенные выводы:
    • Если расстояние между отметками ровно 5 метров, это означает, что угол прямой;
    • Если измеренное расстояние меньше 5 метров, угол будет меньше 90 градусов;
    • И, наконец, значение угла будет больше 90 градусов, если результирующее значение измерения больше 5 метров.

Способы определения разворота

В прошлом обычным решением было добиться угла 90 градусов, например на фундаменте был обычный строительный угол. Главное, чтобы он был проверен и соответствовал 90 градусам. Сегодня профессионалы используют лазерные уровни для упрощения процесса и ускорения монтажных работ. Третий вариант – использовать обычную рулетку.

Теорема Пифагора

С этой доказанной теоремой знаком каждый, кто учился в школе. Это применимо только к треугольникам, у которых один из углов обязательно прямой. Прилегающие к нему стороны – это катеты а и b, соединительный отрезок – гипотенуза (с). Формула выглядит так: a²+b²=c².

Удобство использования этого метода поиска прямого угла при строительстве заключается в том, что разметку можно наносить в любой зоне помещения. Здесь допускается даже наличие инородных тел. Самое главное, что есть доступ к углу и стенам, можно свободно вытянуть соединительную гипотенузу. Кроме того, вам нужен только калькулятор, чтобы быстро произвести необходимые расчеты.

Египетский треугольник

Золотой или египетский треугольник – фигура с прямым углом, стороны которого равны 3, 4 и 5 частям. Практичность здесь в том, что вам не нужно возводить параметры в квадрат и извлекать корни. Достаточно взять в качестве детали какое-нибудь обычное устройство. Это может быть как 1 см, так и 10 метров, что особенно удобно для решения вопроса о том, как нарисовать угол 90 градусов на оштукатуренных стенах.

Если есть сомнения в справедливости утверждения об угле 90 градусов, можно проверить его с помощью теоремы Пифагора: 3*3+4*4= 5*5 или 9+16=25. Осталось только начать использовать эту технику на практике.

Равнобедренный треугольник

Здесь, чтобы легче было образовать угол 90 градусов с помощью рулетки, рассматривается фигура, две стороны которой равны 100 см. При прямом перегибе между ними длина основания будет 141,4 см., 3 и более раз, разница между размерами соединительного отрезка будет одинаковой. То есть в прямоугольном равнобедренном треугольнике верны следующие равенства:

  • а и b равны 100*2=200 см — с=141,4*2=282,8 см;
  • а и b равны 100*5=500 см — с=141,4*5=707 см;
  • а и b равны 100 * 2,2 = 220 см — с = 141,4 * 2,2 = 311,08 см.

Если вы проверите эти утверждения, гипотенуза или основание равнобедренного треугольника с прямым углом вверху при округлении действительно будет равна 141,4 (141,421356…). С одной стороны, это простой и безопасный способ проверить угол 90 градусов рулеткой по разметке. Достаточно измерить метровые отрезки и сделать всего одно умножение 141,4 на количество метров. Однако здесь есть только один недостаток. Если в квартире или доме погрешность незначительна из-за малых размеров, то отклонение из-за неточной гипотенузы может стать заметным на крупных объектах.

Обозначение углов на чертеже

Чертеж помогает решать задачи по геометрии в разы быстрее. Для наглядного изображения углов и других фигур даже придумали свое направление — геометрический рисунок.

Проблемы с углами могут быть разными, и не всегда получается правильно изобразить и обозначить угол. Вот что важно помнить при разметке лучей и углов:

  • Равные углы отмечены одинаковым числом дуг.
  • Разные углы отмечены разным количеством дуг, чтобы они отличались друг от друга.

На рисунке показаны три разных ракурса:

обозначение угла

Для обозначения на чертеже более трех углов используем разные виды дуг: волнистые, зубчатые.

Обозначение углов на чертеже

Углы можно отметить разными цветами. Самое главное, чтобы это было просто и цепляюще. В этом случае не обязательно отмечать все, все углы — достаточно только тех, которые нам нужны для решения задачи.

Определение прямого угла

Угол прямой, если его градусная мера равна 90 градусов.

Прямой угол

На чертежах для обозначения такого угла используется не круглая дуга, а квадратная.

Прямой угол составляет половину прямого угла (180°) и равен π/2 в радианах.

Величина прямого угла в разных единицах

  1.   $90^{circ}$;
  2. $frac{pi}{2}$ радиан;
  3. 100 градусов;
  4. ¼ оборота или полного угла;
  5. 5400 угловых минут;
  6. 324000 угловых секунд.

Фигуры с прямыми углами

1. Квадрат — ромб, все углы равны 90°.

2. Прямоугольник – параллелограмм, у которого все углы тоже прямые.

3. Прямоугольный треугольник — это один из его прямых углов.

4. Прямоугольная трапеция — хотя бы один из углов равен 90°.

Пример задачи

Известно, что в треугольнике один из углов прямой, а два других равны между собой. Найдем неизвестные значения.

Решение

Как мы знаем из теоремы о сумме треугольника, он равен 180°.

Следовательно, два неизвестных угла равны 90° (180° — 90°). Таким образом, каждый из них равен 45° (90° : 2).

Таблица перевода из Прямой угол в Градусы

1 5 10 25 50 100 250 500
90 450 900 2250 4500 9000 22 500 45000

Таблица перевода из Градусов в Прямой угол

100 500 1000 2500 5000 10 000 25000 50 000
1.111 5556 11.111 27 778 55 556 111.111 277 778 555 556
Оцените статью
Блог о Microsoft Word