Что такое вектор, как найти длину?

Определение и обозначение вектора

Вектор в геометрии — это отрезок, где указано, какая из граничных точек считается началом, а какая концом. В некоторых учебниках вектор может называться направленным отрезком.

Вектор обозначается строчной буквой латинского алфавита или двумя заглавными буквами со стрелкой (в некоторых случаях прямой линией) сверху.

Интересно, что порядок букв в имени вектора имеет значение! Первая буква отвечает за начало вектора, а последняя — за конец. Поэтому и являются совершенно разными векторами.

Читайте также: Как целое натуральное число разделить на десятичную дробь: правило, примеры

Виды векторов

Во-первых, есть коллинеарные и неколлинеарные векторы.

Коллинеарные векторы — это те, которые лежат на одной прямой или параллельных прямых. На рисунке и и коллинеарны, а и относительно друг друга нет.

Векторы также различаются по направлению. Если векторы уже коллинеарны, они могут быть сонаправлены или противоположно направлены. Сонаправленные векторы обозначаются следующим образом: Если они направлены в противоположные стороны, мы можем записать это следующим образом:

Равны те векторы, которые одновременно коллинеарны и сонаправлены, а также имеют одинаковую длину.

Нулевой вектор — это вектор, длина которого равна нулю. Чаще всего его обозначают так: Считается коллинеарным любому вектору.

Иногда в геометрию вводят дополнительные понятия, рассмотрим их:

• Неподвижный вектор — это отрезок с упорядоченными концами: если С — начальная точка вектора, а Е — конечная, то (именно это мы понимаем под правильным вектором в школьной геометрии).
• Свободный вектор — это вектор, начало и конец которого не фиксированы. Его можно перемещать как вдоль линии, на которой он стоит, так и параллельно этой линии. Фактически под свободным вектором понимается множество фиксированных векторов.

Нулевой вектор

Определение Нулевой вектор — это вектор, начальная и конечная точки которого совпадают.

Нулевой вектор обычно обозначается как 0.

Длина нулевого вектора равна нулю.

Коллинеарные вектора

Определение. Векторы, параллельные одной прямой или лежащие на одной прямой, называются коллинеарными векторами (рис. 2).

рис. 2

 

Сонаправленные вектора

Определение. Два коллинеарных вектора a и b называются сонаправленными векторами, если их направления совпадают: a↑↑b (рис. 3).

рис. 3

 

Противоположно направленные вектора

Определение. Два коллинеарных вектора a и b называются противоположно направленными векторами, если их направления противоположны: a↑↓b (рис. 4).

рис. 4

 

Компланарные вектора

Определение. Векторы, которые параллельны одной плоскости или лежат в одной плоскости, называются компланарными векторами. (рис. 5).

рис. 5

Всегда можно найти плоскость, параллельную любым двум векторам, поэтому любые два вектора всегда компланарны.

Равные вектора

Определение. Векторы a и b называются равными, если они лежат на одной или параллельных прямых, их направления равны и их длины равны (рис. 6).

рис. 6

То есть два вектора равны, если они коллинеарны, сонаправлены и имеют одинаковую длину:
a = b, если a↑↑b и |a| = |б|.

Единичный вектор

Определение Единичный вектор или вектор — это вектор, длина которого равна единице.

Сложение и вычитание векторов

Операции с векторами описаны как в алгебре, так и в геометрии. Сегодня мы рассмотрим способы сложения и вычитания векторов, не зная их координат.

Сложение: метод треугольника

Представим, что векторы даны в пространстве и что нам нужно сложить. Эта задача особенно актуальна для физиков, поскольку к одному и тому же телу часто прикладывают такие векторные величины, как сила. В этом случае возникает вопрос: как рассчитать результирующее действие всех этих сил?

Вот тут-то и приходит на помощь физикам математика – королева науки! Чтобы добавить два вектора, вам нужно:

1. Отложить начало одного вектора от конца другого.
2. Вектор их суммы будет совпадать с вектором, соединяющим начало вектора с концом вектора

Сложение: метод параллелограмма

Вы также можете складывать векторы другим способом, используя метод параллелограмма:

1. Совместите концы и
2. Откладываем от конца вектор равный
3. Откладываем от конца вектор равный
4. Благодаря пунктам 2 и 3 мы получили параллелограмм (квадрат, у которого противоположные стороны параллельны и равны).
5. Проведем диагональ параллелограмма, между и на которой будет лежать вектор, равный сумме и

Проблема решена, ты молодец!

Обратите внимание И метод параллелограмма, и метод треугольника предполагают перемещение векторов в пространстве: мы либо совмещаем их концы, либо откладываем начало другого от конца одного вектора. Этими методами невозможно получить сумму векторов, не имеющих общей точки.

Сложение: метод многоугольника

Что делать, если векторов больше двух? Математика уже выработала решение этой проблемы: мы воспользуемся методом расширенного треугольника, который называется «метод многоугольника».

По этому методу мы последовательно объединяем конец и начало векторов, а затем показываем вектор суммирования, где начало совпадает с началом первого вектора, а конец с концом последнего. Лучше всего это увидеть на чертеже:

Вычитание векторов

Продолжаем делать всевозможные операции с векторами, на этот раз вычитание. Математики знают, что вычитание — это то же самое, что и сложение, но с обратным числом.

То же самое работает и с векторами: вместо вычитания попробуем добавить вектор напротив исходного:

Изобразим разницу между векторами с помощью уже знакомого нам правила треугольника:

Боитесь запутаться в векторах для попутного и встречного направления? Для их вычета существует отдельное правило:

1. Отложим один вектор от начала другого.
2. Тогда вектор разности совпадает с вектором, начало которого совмещено с концом вычитаемого вектора, а начало — с концом приведенного.

Этот метод похож на метод параллелограмма, но в этом случае мы берем другую диагональ.

Координаты вектора на плоскости и в пространстве

Для выполнения остальных операций с векторами нам нужно поместить их в такую ​​систему координат, чтобы мы могли определить их положение относительно друг друга. Для этого используется декартова система координат, которую можно использовать как на плоскости с осями X и Y, так и в пространстве с осями X, Y, Z.

Итак, если он находится на плоскости, его координаты могут быть выражены как в пространстве —

Базисные векторы – это векторы, каждый из которых направлен вдоль своей координатной оси, в трехмерном пространстве они обозначаются

Любой вектор в трехмерном пространстве можно разложить на три базисных вектора.

Умножение вектора на число

Представим, что нам надо дважды растянуть вектор или сжать его, но уже в три раза. За все эти действия отвечает простая задача: умножение вектора на число.

Чтобы увеличить или уменьшить вектор в определенное количество раз, необходимо умножить все координаты вектора на это число.

Таким образом, если он задан координатами, то — Кстати, аналогичным образом можно повернуть вектор и направить его в обратную сторону:

Длина вектора

Длина вектора является одним из основных понятий в этом разделе. И неудивительно, ведь он характеризует его протяженность в пространстве и выражается числом.

Таким образом, длина вектора — это расстояние между его началом и концом. Его часто называют модулем, что и отражено в обозначении. Если нам нужно найти длину, мы пишем это так:

Длину вектора можно найти разными способами, вот самые важные:

1. через координаты вектора;
2. через координаты точек начала и конца вектора;
3. по закону косинусов.

Давайте изучим все методы вместе!

Длина вектора через его координаты

Если задано в координатах, длина может быть найдена как

Почему мы можем быть уверены, что эта формула верна? Рассмотрим вектор в декартовой системе координат.

Откладываем вектор от точки с координатами Тогда этот вектор можно назвать , а так как мы строили его от начала координат, то координаты вектора можно найти как

Длина вектора через координаты точек начала и конца

Во-первых, давайте вспомним, как задать координаты вектора через координаты начала и конца.

Рассмотрим где и Тогда координаты вектора можно выразить следующим образом:

Мы уже знаем, как найти длину вектора через его координаты, поэтому заменим полученное выражение формулой:

Задача 3

Найдите длину, если и

Решение:

Задача 4

Вычислите координату точки вектора, длина которого равна

Решение:

На этом остановимся и подставим известные числа в формулу:

или

Длина вектора через теорему косинуса

К сожалению, в задачах не всегда даются координаты точек вектора или самого себя. В этом случае воспользуемся теоремой косинусов. Давайте вспомним формулировку.

Теорема косинусов звучит так: квадрат одной стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

Формула теоремы косинусов:

Эту теорему можно использовать и в векторной форме. Немного изменим картинку:

Тогда для нахождения длины нужно знать (или уметь вычислять) длины и , знать угол между ними, а также уметь вычислять произведение длин этих векторов.

Задача 5

Длины и равны 4 и 6 соответственно, а угол между ними равен Вычислите длину

Решение:

Задача 6

Вычислите модуль вектора в треугольнике, длина которого = 8, длина = 10, а угол между ними равен

Решение:

Скалярное произведение векторов

Мы почти подошли к концу нашего путешествия по царству векторов. Нам остается изучить только скалярное произведение векторов. Что это?

Скалярное произведение — это операция над двумя векторами, в результате которой получается скаляр, то есть число, не зависящее от выбора системы координат.

Скалярным произведением будет скалярная величина, равная произведению модулей этих векторов на косинус угла между ними:

Помните, что в той же физике величины делятся на скалярные (у которых нет направления, например масса) и векторные (у которых есть направление, например сила, ускорение, скорость). В математике вектор означает направленный отрезок, а понятие скаляра хоть и не равно, но очень близко к понятию числа.

Скалярное произведение показывает, насколько синхронизированы, скоординированы направления векторов. Таким образом, чем больше угол между векторами, тем меньше согласованность, а это означает, что скалярное произведение будет уменьшаться с увеличением угла:

• Скалярное произведение вектора на себя равно квадрату его модуля: в этом случае значение скалярного произведения максимально возможное.
• Если угол между векторами острый и векторы не равны нулю, то скалярное произведение положительно, так как

  

• Если угол между векторами представляет собой прямую линию, то скалярное произведение равно 0, так как

  

• Если угол между векторами тупой и векторы не равны нулю, то скалярное произведение отрицательно, так как

  

• Скалярное произведение вектора и противоположного ему вектора равно отрицательному произведению их длин. В этом случае значение скалярного произведения минимально возможное.

  

Вы, конечно, можете возразить: «Последовательность направлений прекрасно показывает угол, зачем нам эти сложные вычисления?». А все дело в том, что в космосе иногда очень сложно измерить угол, а вычислить скалярное произведение несложно, особенно если считать его через координаты.

Если его выразить координатами и тогда скалярное произведение этих векторов описывается формулой: В пространстве скалярное произведение через координаты векторов будет даваться следующим образом:

Где используется скалярное произведение? Благодаря ему выполняется большое количество математических операций, таких как нахождение угла между векторами и любыми расстояниями, если они заданы через координаты. Благодаря скалярному произведению можно описать даже свойства искривленных поверхностей, но об этом мы поговорим в другой раз.

Признаки компланарности

Если векторы параллельны друг другу или исходят из одной точки, они называются компланарными. При этом многие сегменты могут быть объединены в группу. Также действует правило, что для двух элементов всегда существует равноудаленная плоскость, которая относит их к соответствующей группе. Есть три условия:

• Три вектора будут такими, если их суммарное произведение равно нулю.
• Когда сегменты линейно зависимы, они также компланарны.
• N-е число компланарно, если только два из них линейно независимы.

Большинство задач, связанных с этим свойством, основано на доказательстве компланарности двух или более отрезков. Когда векторов три и один из них нулевой, это уже теорема, от которой отталкиваются другие решения и подтверждения.

Геометрические свойства

Может показаться, что векторы — это правильные отрезки. Однако они помогают в расчетах и ​​алгебраических свойствах в различных прикладных и математических науках. Они обладают следующими геометрическими свойствами:

• Поскольку отрезки представляют собой прямые линии, любое правило будет справедливо как для плана, так и для пространственного расположения.
• В геометрии широко используется понятие свободного вектора. Это означает, что начало и/или конец могут быть расширены для упрощения вычислений.
• нахождение в космосе — расплывчатое понятие. Учитывая форму сегмента, его рассматривают как в двухмерном, так и в трехмерном виде.
• Суммарные значения не зависят от движения. Их можно перемещать в пространстве и на плоскости, образуя набором линий другие геометрические фигуры.
• Сходства или различия используются для сравнения. Координатная ось активируется при необходимости — трехмерная. Когда они размещены в совершенно разных направлениях, имеют разные начала и окончания, они все равно могут быть одинаковыми.
• Решения задач осуществляются геометрически и алгебраически. Использовать только один метод не получится.

Для выполнения определенных операций можно использовать электронный калькулятор. Практичная форма заполнения позволяет быстро получить результат. Компьютерная техника самостоятельно выбирает практический метод расчета, строит геометрический чертеж и показывает алгебраические свойства. Некоторые системы могут дать не только результат, но и пошаговое решение.