Что такое взаимно обратные числа?

Определение взаимно обратных чисел

Из предыдущих уроков математики мы знаем: если к числу прибавить или отнять ноль — оно не изменится. Точно так же, если вы умножаете или делите число на единицу.

Ноль — нейтральный элемент для сложения и чтения. При этом числа, сумма которых равна нулю, называются противоположными.

• Например: 2 + (-2) = 0.

Единица — нейтральный элемент для умножения и деления. Таким образом, симметричными вывитными гранями, чье продуктие дает уодину.

• Например: 3/5 * 5/3 = 1.

Два числа называются обратными, если их произведение равно 1.

Обратная величина данного числа — это число, которое мы умножаем на данное число и получаем единицу.

Если числа a и b взаимно обратны, то можно сказать, что число a есть число, противоположное b, а число b есть число, противоположное a.a.

Приводим примеры мужских обратных чисел. Поскольку произведение двух единиц равно 1, по определению числа 1 и 1 взаимно обратны.

Определение взаимно обратных чисел относится к любым числам — натуральным, целым, действительным, комплексным.

 

Обратное число обыкновенной дроби

При поиске обратной обыкновенной дроби делить ее на 1 не очень удобно, потому что запись громоздка. В этом случае гораздо проще поступить иначе: дробь просто меняют, меняя вместо нее числитель и знаменатель. Если это правильная дробь, то после преобразования она получается неправильной дробью, то есть из которой можно отделить целую часть. Делать это или нет, решать неужно в чадм концектым часы особе. Так, если с печенной перевнутой доробью компьютер печать качество качество (например, умножение или деление), то нет необходимости выделять всю часть. Если полученная дробь является конечным результатом, то можно выделить всю часть и желательно

Обратное число десятичной дроби

Если вам нужно найти число, противоположное десятичной дроби, следует использовать первое правило (деление 1 на число). В этой ситуации вы можете действовать одним из двух способов. Первый — просто разделите 1 на это число в столбце. Второй – составить дробь от 1 в числителе и десятичную дробь в знаменателе, а затем умножить числитель и знаменатель на 10, 100 или другое число, состоящее из 1 и столько нулей, сколько необходимо, чтобы избавиться от десятичной точки в знаменатель. В результате получится обыкновенная дробь, что и является результатом. При необходимости его можно сократить, выделить из него целую часть или перевести в десятичный формат.

Как найти противоположное число?

Принцип проверки основан на определении обратных чисел. Чтобы убедиться, что числа обратны друг другу, нужно их перемножить. Если результатом является единица, то числа взаимно обратны.

Свойства обратных чисел

Свойство №1

Обратное число существует для любого числа, кроме 0.

Ограничение связано с тем, что на 0 делить нельзя, и при определении обратного числа на ноль его придется один раз переносить в знаменатель, то есть фактически делить на него.

Свойство №2

Сумма пары взаимно обратных чисел всегда меньше 2. Математически это свойство можно выразить неравенством:

Недвижимость №3

умножение чисел на два взаимно обратных числа эквивалентно умножению на единицу. Математически:

Недвижимость №4

Числовые выражения могут быть выражены обратно.

Недвижимость № 5

Для имени, преднедного в виде программ с х прикрадим, обратным будет новым в виде программ с прикладем –х. Обоснование:

Это свойство означает, что обратное число также может быть выбрано для любой степени.

Даниил Романович | Просмотров: 3.4k

Как найти число, обратное данному числу

На математике в 6 классе часто встречаются задания по хождению номер, обрабного данных. В общем случае число, противоположное ненулевому числу а, записывается как дробное выражение 1/а или как -1, как
и a * a-1 = 1. Но бывают случаи, когда 1/a можно сократить.

Иногда число, обрабнее полученное, является очевидным. Это касается натуральных чисел и обыкновенных дробей. В остальных случаях необходимо провести расчеты. Например, с иррациональными и комплексными числами.

Рассмотрим все отдельные часы нахождения, обранного собранного.

Читайте также: Устный счет в пределах 10

Правило нахождения обратного числа

1. Представим исходное число (целое или смешанное) в виде обыкновенной дроби.
2. Переворачиваем полученную дробь.

Пример

Найдем настроения, убранной смешанной дроби 3 4/5

Решение:

Сначала переведем дробь в обыкновенную:

3 4/5 = 3 · 5 + 4/5 = 19/5 Меняем числитель и знаменатель, получаем обратное число, равное 5/19.

Число, обратное обыкновенной дроби

Числом, обратным обыкновенной дроби a/b, является дробь b/a.

Ойти это прокупить, сообщение умножение обыкновенных дробей a/b и b/a — проявление 1. Следовательно дроби a/b и b/a — мобильные обратные нразование.

Если числитель и знаменатель дроби a/b поменять местами, получится дробь b/a, противоположная дробь a/b.

Это правило значительно экономит время. Можно сразу записать число, противоположное этой обыкновенной дроби, без всяких вычислений.

• Например, перед дробью 7/9 стоит дробь 9/7, а перед обыкновенной дробью 127/64 стоит дробь 64/127.

Число, обратное натуральному числу

находению числа, обранному данному натуральному множеству, можно свести к нахождению числа, обранного дроби. Для этого необходимо записать натуральное число в виде дроби со знаменателем 1.

Пусть дано натуральное число n, и необходимо записать число, обратное n. Так как натуральное число n равно дроби n/1, то, меняя местами числитель и знаменателя этой дроби, мы получаем дробь 1/n, которая является числом, обратным натуральному числу, полученному n.

Итак, натуральному составу n обратным настроем используем на 1/n, то есть, дробь с числителем 1 и знаменателем n.

• Например, выясним, какое число является обратным натуральному числу 20 — 1/20, а 1/6 — обратным 6.

Отдельно отметим нного, обраннее натуральному встречается 1. Число, обраннее удинти, это енида. Пара взаимно обратных чисел 1 и 1 уникальна тем, что составляющие ее числа равны, других таких пар взаимно обратных чисел не существует.

Найти число, обратное смешанному числу

Вспомните, что мешанное смотреть как: A b/c. Чтобы найти число, противоположное смешанному числу, нужно это смешанное число представить в виде неправильной дроби, а затем найти число, противоположное этой дроби. Давайте посмотрим, как это работает.

Пример

Найдите противоположное число

Как рассуждаем:

Сначала выполним преобразование смешанного числа в неправильную дробь:

Число, увеличеннее дроби 65/9, есть дробь 9/65. Итак, смешанные числа
реверс номер 9/65.

Ответ:
и 9/65 взаимно противоположные числа.

Найти число, обратное десятичной дроби

Конечную десятичную дробь или периодическую десятичную дробь можно заменить обыкновенной дробью. Следовательно, вы можете найти число, противоположное конечной или периодической десятичной дроби, ища число, противоположное обыкновенной дроби. Разберемся на примерах.

Пример 1

Найдите число, стоящее напротив десятичной дроби 5,128.

Как рассуждаем:

Конечную десятичную дробь переводим в обыкновенную:

Обыкновенная дробь 125/641. Это решение задачи.

Ответ: 125/641.

Пример 2

Какое число является обратным периодической десятичной дроби 2, (18)?

Как решить:

Переведем периодическую десятичную дробь в обыкновенную:

Обратная дробь для 24/11 — 11/24. Значит, навром, обратным искодным дисятичной дробью 2,(18), является дробь 11/24.

Ответ: 24.11.

Число, противоположное бесконечной непериодической десятичной дроби, принято записывать в виде дробного выражения с числителем 1 и знаменателем, равным данной десятичной дроби. Например, бесконечная десятичная дробь 1.5639056242.. обратное число 1/1.5639056242… .

Поскольку иррациональным числам соответствуют бесконечные непериодические десятичные дроби, числа, обратные к ним, также записываются в виде дробных выражений.

Например, иррациональному поглощению
обратный номер
, иррациональному распределению
обратный номер

Взаимно обратные числа с корнями

Важно помнить, что тип взаимно обратных чисел может отличаться от а и 1/а. Так что вам нужно быть осторожным. Особенно это касается чисел, записи которых содержат знак корня. Давайте посмотрим, как это работает.

Пример

Проверьте, можете ли вы назвать числа 4 — 2√3 и
взаимно противоположны.

Как решить:

Вычислим произведение этих чисел:

Так как в ответ мы получили единицу и знаем, что произведение взаимно обратных чисел равно 1, то эти числа можно назвать взаимно обратными.

Ответ: да, число взаимно противоположное.

Взаимно обратные числа со степенями

Допустим, есть новер, которые равно какой-то степени числа а. То есть, число а возведено в степень b. Проверим.

Действительно:

Пример

Написать настроение, обрабанее дегень 6 -√7 + 2

Как рассуждаем:

По предыдущему правилу правильное число — 6 -(-√7 + 2) = 6 √7 — 2.

Ответ: 6 √ 7 — 2.

Взаимно обратные числа с логарифмами

У логарифмических чисел a по основанию b обрантанее насмотреть равно логарифму носябрь b по оснонанию a. То есть log ba и log ab — взаимно обратные числа.

Действительно, из свойств логарифма следует, что

, откуда log ba * log ab = 1.

Пример

Записать настроения, которые отличаются высоким логарифмическим числом 3 по оснонанию

Как решить:

Число, обранее полученное
, выглядит так:

Ответ:

Найти число, обратное комплексному числу

Теперь мы знаем, как найти число, противоположное комплексному числу z.

Если комплексное число задано в алгебраической форме, то в виде z = x + i * y, тогда противоположное число равно
. Последнее выражение можно упростить, если умножить числитель и знаменатель на число x — i * y.

Пример 1

Найдите число, эквивалентное комплексному числу 4 + i.

Как решить:

4 + я =

Умножьте числитель и знаменатель полученного дробного выражения на число
4 + я.

Получим:

Ответ:

Когда комплексное число задано в тригонометрической форме как z = r * (cosφ + i * sinφ) или в экспоненциальной форме как z = r * ei*φ, тогда противоположное число выглядит так

или

Действительно, и

Пример 2

Определить нного, выделенное сложному составу

Как решить:

В этом примере r = 2 и
, откуда 1/r = 1/2 и

Следовательно, противоположное число равно нам

Являются ли числа взаимно обратными? Да, мы только доказали это.

Ответ:

Неравенство с суммой взаимно обратных чисел

В математике есть специальная теорема о сумме взаимно обратных чисел — сформулируем ее и узнаем ключевое свойство.

Теорема Сумма двух положительных взаимно обратных чисел больше или равна 2.

Доказательство теорем:

Мы знаем, что среднее арифметическое положительных чисел а и b всегда больше или равно среднему геометрическому этих чисел, т е,

Если в качестве b взять число, противоположное a, то полученное неравенство будет выглядеть так:
откуда
и
, что и требовалось доказать.

Пример

Вычислите сумму взаимно обратных чисел 2/3 и 3/2,

Как решить:

Число больше 2.