Что такое матрица
Если вектор — это строка чисел в определенном порядке, то матрица — это таблица чисел в определенном порядке. Как и любая таблица, матрица имеет столбцы и строки. В них есть какие-то цифры. Все является математическим объектом, то есть в некоторых случаях всю эту таблицу можно рассматривать как единое целое и производить с ней операции.
Массивы обычно обозначаются заглавными буквами латинского алфавита, такими как A, B, C, D и так далее.
Числа внутри матрицы называются элементами. Каждый элемент обозначается двумя числами: первое число указывает на строку, а второе — на столбец. Это адрес числа внутри массива. Например, элемент A₂₃ означает, что искомое число находится во второй строке и третьем столбце. Нумерация элементов необходима для написания формул и словесного объяснения, где в матрице находится искомое число.
Массив может содержать неограниченное количество строк, столбцов и элементов. Из-за этого массивы бывают разных типов и могут иметь разные свойства. Например, если матрица имеет одинаковое количество строк и столбцов, такая матрица называется квадратной матрицей.
В этой статье и в следующих материалах мы рассмотрим разные виды матриц и постепенно изучим их функции.
Общий вид матрицы
Пример квадратной матрицы с пятью строками и столбцами. Написано в виде матрицы 5×5. В числовом массиве мы не считаем элементы — по умолчанию им присваиваются номера. Например, элементу A₂₃ соответствует цифра три
Примеры матриц
Е4×4 =
| 1 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 0 | 0 |
| 0 | 0 | 1 | 0 |
| 0 | 0 | 0 | 1 |
А3×3=
| -413 | 2 | -1 |
| 3 | -25 | 1 |
| 2,5 | -0,025 | -2 |
А4×4 =
| 2 | -1 | 0 | 0 |
| -3 | 2 | 0 | 0 |
| 31 | -19 | 3 | -4 |
| -23 | 14 | -2 | 3 |
Элементы матрицы
Элементы в A обозначаются через aij, где i — номер строки, в которой размещен элемент, j — номер столбца.
Некоторые теоретические сведения
Транспозиция — это операция, при которой строки и столбцы матрицы меняются местами: aTij = aji
Главная диагональ квадратной матрицы — это диагональ, проходящая через левый верхний и правый нижний углы. Элементы главной диагонали — aii
Единичная матрица один × n представляет собой квадратную матрицу с n столбцами и n строками с единицами на главной диагонали и нулями за ее пределами.
Ранг — это максимальное количество линейно независимых строк (столбцов) в этой матрице. Обозначение: ранг(А)
След представляет собой сумму элементов на главной диагонали. Обозначение: tr(A) или track(A)
Умножение матрицы на число — это матрица той же размерности, что и исходная, где каждый элемент является произведением соответствующего элемента исходной матрицы на заданное число.
Возведение в степень — это умножение данной матрицы на саму себя n раз, где n — степень, в которую нужно возвести исходную матрицу. Обозначение: Ан
Обратная матрица A−1 — это матрица, произведение которой на исходную матрицу A равно единичной матрице: A-1×A = A×A-1 = E
Треугольная матрица – это квадратная матрица, имеющая нули выше (верхняя треугольная матрица) или ниже (нижняя треугольная матрица) главной диагонали.
LU-разложение — это представление матрицы в виде произведения двух матриц L и U, где L — нижняя треугольная матрица с единичной диагональю, а U — верхняя треугольная матрица. А = ЛУ
Сложение матриц An×m и Bn×m представляет собой матрицу размера Cn×m, полученную попарной суммой соответствующих элементов матриц A и B, то есть каждый элемент матрицы C равен: сij=aij+bij
Разностью матриц An×m и Bn×m называется матрица Cn×m, полученная попарной разностью соответствующих элементов матриц A и B, то есть каждый элемент матрицы C равен: сij=aij — к
Умножение матриц An×k и Bk×m представляет собой матрицу размера Cn×m, элемент которой (cij) равен сумме произведений элементов i-й строки матрицы A и соответствующих элементов j-го столбца матрицы B: cij = ai1 b1j + ai2 b2j +… + aik bkj
Читайте также: Сфера описанная около пирамиды
Простые операции с матрицами
убрать минус из матрицы. Если большинство элементов внутри матрицы имеют знак минус, это часто мешает расчетам или приводит к ошибкам. Чтобы этого избежать, избавьтесь от минуса. Для этого нужно вынести минус из матрицы и изменить знак всех элементов внутри самой матрицы.
И наоборот: если большинство элементов внутри матрицы имеют знак минус и перед матрицей стоит минус, то минус можно ввести в матрицу.
Убираем из матрицы минус и получаем вместо него двадцать один отрицательный элемент — четыре
Перед матрицей стоит минус, и внутри большинства элементов у них минус. Вводим в матрицу минус и делаем ее удобной для дальнейших вычислений
Умножение матрицы на число. Чтобы умножить матрицу на число, достаточно каждый элемент матрицы умножить на это число.
Пример умножения матрицы на число
Матричное транспонирование. Это операция, которая понадобится нам позже для решения матричных уравнений. Для транспонирования мы берем известную матрицу, меняем местами строки со столбцами в ней и получаем новую матрицу. Как разместить матрицу на странице.
⚠️ При этом запрещено произвольное изменение элементов в матрице. Но вы можете полностью поменять местами строки или столбцы. Если мы поменяем местами первую и вторую строки, это останется той же матрицей.
Схема транспонирования матриц: первая строка переходит в первый столбец, вторая строка — во второй столбец и так далее, в зависимости от количества элементов матрицы
Пример транспонирования. Транспонированная матрица помечается буквой той же матрицы, из которой она была получена + надстрочный индекс в виде печатной буквы «Т» 
Матрицу можно перетасовать, но делать это нужно по правилам. Транспозиция – одно из таких правил
Сложение матриц
Комментарий
Матрицы одинаковой размерности можно складывать и вычитать.
Определение 2
А=(αij)m×n и B=(bij)m×n — сумма матриц. Сумма этих матриц представлена выражением С=(сij) той же размерности, а элементы вычисляются как сумма соответствующих элементов в исходных матрицах: undefined. Указана сумма матриц: A+B
Пример 2
Найдите сумму матриц:
1). А=2-131, В=12-1-35;
2). А=2-131, В=-103-1253
Решение:
1). А+В=2-131+12-1-35=2+12-1+(-1)3+(-3)1+5=14-206
2). Данные массива не могут быть добавлены, поскольку они имеют разные размеры
Свойства сложения матриц
Определение 3
Начальная матрица А=(aij)m×n. Обратная матрица представляет собой выражение -А=(-аij)m×n, где все элементы противоположны исходным.
Свойства сложения матриц:
- А + В = В + А — коммуникативный закон сложения;
- (А + В) + С = А + (В + С) — ассоциативный закон сложения;
- А + 0 = 0 + А = А;
- А+(-А)=-А+А=0.
Экономический смысл сложения матриц
Конечно, суммирование матриц имеет практическое значение — именно с помощью этой операции получают различные статистические и экономические данные, астрономические величины. Это ярко выраженный прикладной формат математического расчета, он частично используется в работе бухгалтера, экономиста, инженера и систематизатора, аналитика данных.
Использование методов сложения значительно облегчает представление данных, всех расчетов и прогнозов. Например, можно представить отчет о продажах в виде матричного объединения:
Х= (х11 х12 х13 х14 х15)
(x21.x22.x23 x24 x25)
(х31 х32 х33 х34 х35)
В этом уравнении x будет количеством товаров, проданных в конкретном магазине в первый год работы. Когда есть продажи второго года, можно сформировать матрицу Y и отчет на ее основе, тогда можно будет подвести итоги продаж за пару лет, сложив отчетность по таблицам X и Y.
Удобный онлайн-калькулятор для сложения матриц на нашем сайте поможет с офисными и студенческими расчетами.
Вычитание матриц
Определение 4
Разницей между матрицами A=(αij)m×n и B=(bij)m×n является матрица C=(сij), имеющая ту же размерность. Его элементы вычисляются как сумма соответствующих элементов матрицы:
A=(aij)m×n и -B=(-bij)m×n; cij=(aij)+(-bij)
Разность между матрицами обозначается как A — B.
Пример 3
Найдите разницу между матрицами:
1). А=2-131, В=12-1-35;
2). А=2-131, В=-103-1253
Решение:
1). АВ=2-131-12-1-35=2+(-12)-1+(-(-1))3+(-(-3))1+(-5)=2-12- 1+ 13+31-5=-1006-4
2) Во втором варианте найти разницу невозможно, так как матрица разного размера.
Противоположная матрица
Обратная матрица — определение: Обратная матрица — это матрица, в которой все элементы заменены на противоположные относительно нуля.
Не путайте обратную матрицу с обратной матрицей. Это разные матрицы.
Например, найдем матрицу 
, обратная матрице 
:
,
Это, конечно, будет матрица:
Следовательно, при добавлении массивов 
получаем нулевую матрицу:
Примеры сложения матриц
Пример 1
Сложите матрицы A и B, если:
и
Решение:
Матрицы A и B имеют одинаковую структуру, поэтому мы можем их сложить, мы получим матрицу C:
Пример 2
Сложите матрицы A и B, если:
и
Решение:
Массивы A и B нельзя добавить, так как массив A является массивом 
, а матрица B – это матрица 
, и мы можем складывать только прямоугольные матрицы одного порядка.
Пример 3
Сложите матрицы A и B, если:
и
Решение: массивы имеют одинаковую прямоугольную структуру, а значит их можно складывать:
Примеры задач
упражнение 1
Найдем сумму матриц A и B ниже.
Решение:
Задача 2
Вычислим разницу между матрицами A и B.
Решение:
Умножение матриц
Матрицы умножаются построчно. Умножаем первую строку первой матрицы на первый столбец второй матрицы, складываем результаты и получаем первый элемент новой матрицы. Аналогично рассчитываем все остальные элементы. Звучит запутанно, поэтому давайте пошагово:
- У нас есть две матрицы A и B. Их нужно перемножить, чтобы получить новую матрицу C.
- Размер матрицы A два на два: две строки и два столбца. Первая строка состоит из элементов А11 и А12; другой — A21 и A22₂₂.
- Матрица B имеет ту же размерность: две строки и два столбца. Первая строка состоит из элементов B11 и B12; другой — B21 и B22₂₂.
- У нас есть два массива одинакового размера с двумя строками и столбцами. Это означает, что матрица C тоже будет два на два. Первая строка будет состоять из элементов C₁1 и C₁₂; другой — C21 и C22₂₂.
- Рассмотрим элемент C₁₁. Умножаем первый элемент первой строки матрицы A (A₁1) на первый элемент первого столбца матрицы B (B₁1). Это первая часть, после которой ставим плюсик. Вторая часть: умножаем второй элемент первой строки матрицы A (A₁₂) на второй элемент первого столбца матрицы B (B₂₁). Складываем обе части и получаем первый элемент первой строки матрицы C (C₁₁).
- Рассмотрим элемент C₁₂. Умножаем первый элемент первой строки матрицы A (A₁₁) на первый элемент второго столбца матрицы B (B₁₂). Это первая часть. Вторая часть: умножаем второй элемент первой строки матрицы A (A₁₂) на второй элемент второго столбца матрицы B (B₂₂). Складываем части и получаем второй элемент в первой строке матрицы C(C₁₂).
- Считаем элемент C₂₁. Умножаем первый элемент второй строки матрицы A (A₂1) на первый элемент первого столбца матрицы B (B11). Это первая часть. Вторая часть: умножаем второй элемент второй строки матрицы A (A₂₂) на второй элемент первого столбца матрицы B (B₂1). Складываем части и получаем первый элемент второй строки матрицы C(C₂₁).
- Считаем элемент C₂₂. Умножаем первый элемент второй строки матрицы A (A₂1) на первый элемент второго столбца матрицы B (B₁₂). Это первая часть. Вторая часть: умножаем второй элемент второй строки матрицы A (A₂₂) на второй элемент второго столбца матрицы B (B₂₂). Складываем части и получаем второй элемент во второй строке матрицы C (C₂₂).
Если нам нужно найти квадратную матрицу, мы умножаем эту матрицу саму на себя. Если вам нужна кубическая матрица, вы умножаете ее саму на себя трижды и так далее, в зависимости от количества градусов. Если в одной из матриц все элементы равны нулю, то она считается нулевой и после умножения на другую матрицу дает нулевую матрицу — это как ноль, умноженный на число, всегда дает ноль.
Формула умножения матриц
Пример умножения квадратных матриц 2×2
