Действия с рациональными числами: правила, примеры, решения, арифметические действия с рациональными числами

Определение рационального числа

Рациональное число — это число, которое можно представить в виде правильной (простой) дроби. Множество рациональных чисел имеет специальное обозначение — Q.

Правила сравнения рациональных чисел:

1. Любое положительное рациональное число больше нуля. Помечается знаком «больше чем» с помощью специального символа “>“.
   Например: 5>0, 12>0, 144>0, 2098>0 и так далее
2. Любое отрицательное рациональное число меньше нуля. Обозначается знаком «меньше чем “<“.
   Например: -3<0, -22<0, -164<0, -3042<0 и т.д.
3. Из двух положительных рациональных чисел больше то, которое имеет большее абсолютное значение.
   Например: 10>4, 132>26, 1216<1516 и т д
4. Из двух отрицательных рациональных чисел большее имеет меньшее абсолютное значение.
   Например: -3>-20, -14>-202, -54<-10 и т д

Свойства рациональных чисел

Рациональные числа имеют определенные законы и ряд свойств — рассмотрим каждое из них. Пусть a, b и c — любые рациональные числа.

Основные свойства операций с рациональными числами Коммутативное свойство сложения: a + b = b + a. Ассоциативное свойство сложения: (а + b) + с = а + (b + с). Прибавление рационального числа и нейтрального элемента (нуля) не меняет этого числа: а + 0 = а. У каждого рационального числа есть противоположное число, и их сумма всегда равна нулю: а + (-а) = 0. Коммутативное свойство умножения: ab = ba. Ассоциативное свойство умножения: (a * b) * c = a * (b * c). Произведение рационального числа на единицу не меняет этого числа: а * 1 = а. Каждое ненулевое рациональное число имеет обратное. Их произведение равно единице: a * a−1 = 1. Распределительное свойство умножения по отношению к сложению: a * (b + c) = a * b + a * c.

Помимо основных перечисленных, существует ряд других свойств:

1. Правило умножения рациональных чисел с разными знаками: (-a) * b = -ab. Такое предложение поможет запомнить: «плюс на минус — это минус, а минус на плюс — это минус».
2. Правило умножения отрицательных рациональных чисел: (−a) * (−b) = ab. Запомнить поможет выражение: «минус к минусу есть плюс».
3. Правило умножения любого рационального числа на ноль: а * 0 = 0 или 0 * а = 0. Докажем это свойство.
   Мы знаем, что 0 = d + (-d) для любого рационального d, поэтому a * 0 = a * (d + (-d)).
   Закон распределения позволяет переписать выражение:
   a * d + a * (-d), а так как a * (-d) = -ad, то a * d + a * (-d) = a * d + (-ad).
   Таким образом получилась сумма двух противоположных чисел, которая в результате дает нуль, что доказывает равенство а * 0 = 0.

Мы только перечислили свойства сложения и умножения. На множестве рациональных чисел вычитание и деление можно записать как действие, обратное сложению и умножению. То есть разность (a — b) может быть записана как сумма a + (-b), а частное a/b равно произведению a * b−1, при этом b ≠ 0.

Различие между целыми, натуральными и рациональными числами

Натуральные числа — это числа, с помощью которых мы считаем что-то конкретное, осязаемое: банан, две тетради, десять стульев.

А вот что точно не натуральное число:

• Ноль — это целое число, которое при прибавлении к любому числу или вычитании из него дает одно и то же число. Умножение на ноль дает ноль.
• Отрицательные числа: -1, -2, -3, -4.
• Дроби: 1/2, 3/4, 5/6.

Целые числа — это натуральные числа, их противоположности и ноль.

Если два числа отличаются знаком, их называют противоположными: +2 и -2, +7 и -7. Знак плюс обычно не пишется, а если перед числом знака нет, то оно положительное. Числа со знаком минус впереди называются отрицательными числами.

Какие числа называются рациональными, мы уже знаем из первой части статьи. Давайте повторим это снова.

Рациональные числа — это конечные дроби и бесконечные периодические дроби.

Например:

Любое рациональное число можно представить в виде дроби, где числитель принадлежит целым числам, а знаменатель — натуральным числам. Следовательно, множество рациональных чисел включает в себя множество целых и натуральных чисел.

Но не все числа можно назвать рациональными. Например, бесконечные непериодические дроби не принадлежат множеству рациональных чисел. Так что √3 или (число пи) нельзя назвать рациональными числами.

Читайте также: Горы: что это такое, виды и классификация

Рациональные числа на координатной прямой

Мы рассматривали координатную линию, когда изучали отрицательные числа. Помните, что это прямая линия, на которой лежит множество чисел. Следующий:

На этом рисунке показан небольшой фрагмент координатной линии от -5 до 5.

Нетрудно отметить на координатной прямой целые числа вида 2, 0, −3.

Гораздо интереснее обстоят дела с остальными числами: с обыкновенными дробями, смешанными числами, десятичными дробями и т д. Эти числа лежат между целыми числами и этих чисел бесконечно много.

Например, отметим на координатной линии рациональное число
. Это число находится точно между нулем и единицей

Попробуем понять, почему дробь 
внезапно остановился между нулем и единицей.

Как было сказано выше, между целыми числами лежат другие числа — обыкновенные дроби, десятичные дроби, смешанные числа и т.д. Например, если увеличить часть координатной линии от 0 до 1, то можно увидеть следующее изображение

Видно, что между целыми числами 0 и 1 есть уже другие рациональные числа, которые представляют собой известные нам десятичные дроби. Здесь вы можете увидеть нашу фракцию
, который стоит там же, где и десятичная дробь 0,5. Внимательное изучение этой фигуры отвечает на вопрос, почему дробь
находится прямо здесь.

Доля
означает деление 1 на 2. А если разделить 1 на 2, то получим 0,5

Десятичную дробь 0,5 можно замаскировать, как и другие дроби. Из основного свойства дроби мы знаем, что если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же число, значение дроби не изменится.

Если числитель и знаменатель дроби
умножаем на любое число, например на число 4, и получаем новую дробь 
, и эта дробь такая же, как 
соответствует 0,5

Так на дроби координатной линии
можно поставить на то же место, где была поставлена ​​фракция

Пример 2. Попробуем поставить над координатой рациональное число
. Это число находится точно между цифрами 1 и 2

Дробное значение
соответствует 1,5

Если мы увеличим сечение координатной линии с 1 до 2, то увидим следующее изображение:

Видно, что между целыми числами 1 и 2 стоят уже другие рациональные числа, которые представляют собой известные нам десятичные дроби. Здесь вы можете увидеть нашу фракцию
, который ставится там же, где и десятичная дробь 1,5.

Мы увеличили определенные отрезки на координатной линии, чтобы увидеть остальные числа, лежащие на этом отрезке. В результате мы нашли десятичные дроби, у которых после запятой была одна цифра.

Но это были не единственные цифры, которые были на этих сегментах. На координатной прямой лежит бесконечное количество чисел.

Нетрудно догадаться, что между десятичными дробями, имеющими одну цифру после запятой, уже есть другие десятичные дроби, имеющие две цифры после запятой. Другими словами, сотые доли сегмента.

Например, попробуем увидеть числа, лежащие между десятичными дробями 0,1 и 0,2

Другой пример. Десятичные числа, которые имеют две цифры после запятой и лежат между нулем и рациональным числом 0,1, выглядят следующим образом:

Пример 3. Отметить рациональное число на координатной прямой
. Это рациональное число будет очень близко к нулю

Дробное значение
соответствует 0,02

Если мы увеличим отрезок от 0 до 0,1, то увидим, как именно расположено рациональное число

Видно, что наше рациональное число
ставится там же, где и десятичная дробь 0,02.

Пример 4. Отметить на координатной прямой рациональное число 0, (3)

Рациональное число 0, (3) — бесконечная периодическая дробь. Его доля никогда не заканчивается, она бесконечна

0,33333….и так до бесконечности..

А так как число 0, (3) имеет бесконечную дробь, то это означает, что мы не сможем найти точное место на координатной прямой, где находится это число. Мы можем указать это место только приблизительно.

Рациональное число 0,33333. будет очень близко к обычному десятичному 0,3

На этом рисунке не показано точное расположение числа 0,(3). Это всего лишь иллюстрация, показывающая, насколько периодическая дробь 0,(3) может быть близка к обычной десятичной дроби 0,3.

Пример 5. Отметить рациональное число на координатной прямой
. Это рациональное число будет помещено посередине между числами 2 и 3

это 2 (два целых числа) и
(половина). Доля
иначе называется «половина». Поэтому мы отметили два целых отрезка и еще половину отрезка на координатной линии.

Если мы переведем смешанное число
в неправильную дробь, получим правильную дробь
. Эта дробь на координатной прямой будет лежать в том же месте, что и дробь

Дробное значение
соответствует 2,5

Если мы увеличим сечение координатной линии с 2 до 3, то увидим следующую картину:

Видно, что наше рациональное число 
ставится там же, где и десятичная дробь 2,5

Минус перед рациональным числом

В предыдущем уроке, который назывался умножение и деление целых чисел, мы научились делить целые числа. Делимое и делитель могут быть как положительными, так и отрицательными числами.

Придумайте простейшее выражение

(−6): 2 = −3

В этом выражении делимое (−6) является отрицательным числом.

Теперь рассмотрим второе выражение

6 : (−2) = −3

Здесь делитель (−2) уже является отрицательным числом. Но в обоих случаях мы получаем один и тот же ответ -3.

Учитывая, что любое деление можно записать в виде дроби, мы также можем записать рассмотренные выше примеры в виде дроби:

А так как значение дроби в обоих случаях одинаково, то минус, который стоит либо в числителе, либо в знаменателе, можно сделать общим, поставив его перед дробью

Поэтому между выражениями 
и
и 
можно поставить знак равенства, потому что они имеют одинаковое значение

В дальнейшем, работая с дробями, если мы встретим минус в числителе или в знаменателе, то этот минус будем делать общим, и ставить перед дробью.

Противоположные рациональные числа

Как и целое число, рациональное число имеет противоположное ему число.

Например, для рационального числа
противоположный номер
. Он размещается на координатной линии, симметричной местоположению
о начале координат. Другими словами, оба этих числа равноудалены от начала координат

Перевод смешанных чисел в неправильные дроби

Мы знаем, что для преобразования смешанного числа в неправильную дробь необходимо умножить целую часть на знаменатель дроби и прибавить к дроби числитель. Полученное число будет числителем новой дроби, а знаменатель останется прежним..

Например, переведем смешанное число
в нереальную дробь

Умножьте целую часть на знаменатель дробной части и прибавьте числитель дробной части:

(2×2) + 1

Вычислим это выражение:

(2 × 2) + 1 = 4 + 1 = 5

Полученное число 5 будет числителем новой дроби, а знаменатель останется прежним:

Весь процесс записывается следующим образом:

Чтобы вернуть исходное смешанное число, достаточно выделить целую часть дроби

Но этот способ преобразования смешанного числа в неправильную дробь применим только в том случае, если смешанное число положительно. Для отрицательного числа этот метод не сработает.

Подумайте о дроби
. Возьмем целую часть этой дроби. Немного

Чтобы вернуть исходную дробь
нужно перевести смешанные числа
в нереальную дробь. Но если воспользоваться старым правилом, а именно умножить целую часть на знаменатель дроби и прибавить к полученному числу числитель дроби, то получим следующее противоречие:

У нас есть шанс
, но должен был получить дробь
.

Делаем вывод, что смешанное нет
неправильно переведено в неправильную дробь:

Чтобы перевести отрицательное смешанное число в неправильную дробь, умножьте целую часть на знаменатель дробной части и вычтите из полученного числа числитель дробной части. В этом случае все встанет на свои места

Отрицательное смешанное число
противоположно смешанному числу
. Если положительное смешанное число
находится справа и выглядит так

тогда отрицательное смешанное число
будет располагаться слева симметрично
относительное происхождение

И если
читается как «два целых числа и одна секунда», тогда
читается как «минус два целых числа и минус одна секунда». Поскольку числа −2 и
размещены слева от координатной линии — они оба отрицательны.

Любое смешанное число можно записать в развернутой форме положительное смешанное число
в расширенной форме записывается как
.

Отрицательное смешанное число
написано как

Теперь мы можем понять, почему смешанное число
расположен слева от координатной линии. Минус перед двойкой говорит о том, что мы продвинулись от нуля на два шага влево, в результате чего оказались в точке, где находится число -2

Затем, начиная с числа −2, двигались дальше влево на
роза. А так как значение
равно -0,5, то наш шаг будет половиной полного шага.

В итоге мы окажемся посередине между цифрами -3 и -2

Пример 2. Выделить в неправильной дроби
целую часть, а затем перевести полученное смешанное число обратно в неправильную дробь

Решим первую часть задачи, выбрав в неправильной дроби
вся часть

Выполним вторую часть задания, а именно переведем полученное смешанное число
в нереальную дробь. Для этого умножаем целую часть на знаменатель дробной части и от полученного числа отнимаем числитель дробной части:

Если нет желания путаться и привыкать к новому правилу, можно поставить смешанное число в скобки, а минус оставить за скобками. Тогда можно будет воспользоваться старым добрым правилом: умножить целую часть на знаменатель дробной части и прибавить к полученному числу числитель дробной части.

Выполним таким образом предыдущее задание, а именно переведем смешанное число
в нереальную дробь

Множество рациональных чисел.

Задан набор рациональных чисел
и это можно записать так:

Кроме того, дробь можно писать по-разному и в разных видах, но значение при этом не потеряется. Например, 3/4 и 9/12, (любая дробь, которая может быть получена из другой дроби (и наоборот) путем их умножения или деления числителя и знаменателя на одно и то же натуральное число, является одним и тем же рациональным числом). Так как путем деления числителя и знаменателя дроби на НОД можно получить единственное неприводимое представление рационального числа, то можно говорить об их множестве как о множестве неприводимых дробей с целым числителем и натуральным знаменателем:

где НОД(m,n) — это НОД чисел m и n.

Множество рациональных чисел является естественным обобщением множества целых чисел. Если рациональное число a=m/n имеет знаменатель n=1, то a=m будет целым числом.

Любое рациональное число можно легко представить в виде дроби, где числитель — целое число, а знаменатель — натуральное число.

a/b, где a ∈ Z (a принадлежит целым числам), b∈N (b принадлежит натуральным числам).

Использование рациональных чисел в реальной жизни.

В реальной жизни набор рациональных чисел используется для подсчета частей некоторых целых делимых объектов, таких как пирожные или другие продукты, разрезаемые на куски перед употреблением, или для грубой оценки пространственных отношений протяженных объектов.

Операции с рациональными числами.

1. Сложение рациональных чисел.
2. Вычитание рациональных чисел.
3. Умножение рациональных чисел.
4. Деление рациональных чисел.

Действие сложения рациональных чисел

Рациональные числа содержат натуральные числа, тогда смысл действия сложения рациональных чисел сравним со смыслом сложения натуральных чисел. Например, сумма рациональных чисел, записанная как 5 + 1 4, может быть описана следующим образом: четверть такого предмета прибавлялась к 5 целым предметам, после чего полученная сумма оценивалась совместно.

Сформулируем правила сложения рациональных чисел:

Сложение нуля с отличным от него рациональным числом

Определение 1

прибавление нуля к любому числу дает одно и то же число. Это правило можно записать в виде равенства: а + 0 = а (для любого рационального числа а). Используя свойство коммутативности сложения, мы также получаем правильное равенство: 0 + a = a.

Пара простых примеров: сумма рационального числа 2,1 и числа 0 равна 2,1 и: 645+0 = 645.

Сложение противоположных рациональных чисел

Определение 2

Сумма противоположных чисел равна нулю.

Это правило можно записать так: a+(-a)=0 (для любого рационального числа a).

Например, числа 45,13 и -45,13 являются противоположными, т.е их сумма равна нулю: 45,13+(-45,13) = 0.

Сложение положительных рациональных чисел

В виде обыкновенной дроби можно представить любое положительное рациональное число, а затем использовать форму сложения для обыкновенных дробей.

Пример 1

Необходимо сложить рациональные числа: 0,6 и 59.

Решение

Переведем десятичную дробь в обычную и тогда: 0,6 + 59 = 610 + 59.

Сложим дроби с разными знаменателями:

610+59= 5490+ 5090= 10490=1745

Ответ: 0,6 + 59 = 1745.

Рациональные числа, подлежащие сложению, могут быть записаны как конечные десятичные или смешанные числа и, таким образом, складываются десятичные и смешанные числа соответственно.

Сложение рациональных чисел с разными знаками

Определение 3

Для выполнения сложения рациональных чисел с разными знаками необходимо из большего модуля слагаемых вычесть наименьшее и поставить перед результатом знак числа, модуль которого больше.

Пример 2

Нужно сложить рациональные числа с разными знаками 8,2 и -234 .

Решение

Согласно исходным данным, к отрицательному необходимо прибавить положительное число. Следуя приведенному выше правилу, мы определяем модули для заданных чисел: |8,2| = 8,2 и |-234|=234. После сравнения модулей — рациональных чисел, получим: 8,2 > 234, и соответственно поймем, какое число из заданного будет уменьшаться, а какое вычитаться. Вычтем смешанные числа, то есть: 8,2-234= 8210-234= 59 20.

Результату присваивается знак плюс, потому что наибольший из членов по модулю является положительным числом. Ответ: 8,2 +(-234)= 5920.

Сложение отрицательных рациональных чисел

Определение 4

Чтобы сложить отрицательные рациональные числа, добавьте модули к заданным терминам, а затем присвойте результату знак минус.

Пример 3

Необходимо добавить числа: -4.0203 и -12.193.

Решение

Модули данных номеров соответственно: 4.0203 и 12.193. Давайте сложим их вместе:

​​​​​​

Присвоим полученному результату знак минус: -16,2133.

Ответ: (-4,0203) + (-12,193) = -16,2133.

Действие вычитания рациональных чисел

Вычитание является обратным сложением, где мы находим неизвестный член по сумме и известному члену. Тогда из равенства c+b=a следует, что ab=c и ac=b. И наоборот: из равенства ab=c и ac=b следует, что c+b=a.

Определение 5

Когда мы вычитаем из большего положительного рационального числа, мы либо вычитаем обыкновенные дроби, либо, при необходимости, вычитаем десятичные или смешанные дроби.

Пример 4

Нужно вычислить разницу между рациональными числами: 4, (36) — 15.

Решение

Сначала преобразуем периодическую десятичную дробь в правильную: 4,(36) = 4+(0,36 + 0,0036 +…)= 4+0,361-0,01=4 + 3699=4+ 411= 4411

Затем переходим к действию вычитания обыкновенной дроби из смешанного числа: 4, (36)-15= 4411- 15=4 + 411-15=4+2055- 1155=4+955=4955

Ответ: 4, (36)-15 = 4955

Определение 6

В остальных случаях вычитание рациональных чисел необходимо заменить сложением: к вычитаемому прибавить противоположное число: a–b=a+(-b).

Это равенство можно доказать на основе свойств операций над рациональными числами. Они позволяют написать цепочку равенств: (a+(-b))+b=a+((-b)+b)=a+0=a. Отсюда в силу смысла операции вычитания следует, что сумма а + (-b) есть разность между числами а и b.

Пример 5

Нужно из рационального числа 27 вычесть рациональное число 537

Решение

Согласно последнему изложенному правилу, используем для дальнейших действий число, противоположное вычитаемому, т.е. -537. Тогда: 27-537=27+-537

Далее складываем рациональные числа с разными знаками: 27+-537=-537-27=-537-27=-517

Ответ: 27+-537=-517

Действие умножения рациональных чисел

Общее понятие числа простирается от натуральных чисел до целых чисел, а также от целых чисел до рациональных. Все операции над целыми числами имеют те же свойства, что и операции над натуральными числами. При этом операции с рациональными числами также должны характеризоваться всеми свойствами операций с целыми числами. Но действие умножения рациональных чисел имеет дополнительное свойство: свойство умножения обратных чисел. Все правила умножения рациональных чисел эквивалентны приведенным выше. Укажем на них.

Умножение на нуль

Определение 7

Произведение любого рационального числа а на ноль равно нулю.

Они 0=0.

Используя свойство коммутативности умножения, получаем: 0 a=0.

Например, умножение рационального числа 713 на 0 даст 0. Умножение отрицательного рационального числа -718 на ноль также даст ноль. В частном случае произведение нуля на ноль равно нулю: 0·0=0.

Умножение на единицу

Определение 8

умножение любого рационального числа а на 1 дает число а.

Они a 1=a или 1 a = a (для любого рационального a). Единицей здесь является нейтральное число при умножении.

Например, умножение рационального числа 5,46 на 1 даст число 5,46.

Умножение взаимообратных чисел

Определение 9

Если множители являются взаимно обратными числами, результат их произведения будет единицей. : а·а-1=1.

Например, произведение чисел 56 и 65 будет единицей.

Умножение положительных рациональных чисел

В общих случаях умножение положительных рациональных чисел сводится к умножению обыкновенных дробей. На первом этапе множители представляются в виде обыкновенных дробей, если заданные числа таковыми не являются.

Пример 6

Необходимо вычислить произведение положительных рациональных чисел 0,5 и 625.

Решение

Представим данную десятичную дробь в виде правильного 0,5 = 510 = 12.

Затем умножаем обыкновенные дроби: 12 625 = 650 = 325.

Ответ: 0,5 625 = 325

Вы также можете работать с последующими десятичными знаками. Практичнее в этом случае будет не переходить к действиям над обыкновенными дробями.

Пример 7

Необходимо вычислить произведение рациональных чисел 2,121 и 3,4.

Решение

Умножьте десятичные дроби в столбик:

Ответ: 2,121 3,4 = 7,2114

В частных случаях нахождение произведения рациональных чисел — это умножение натуральных чисел, умножение натурального числа на обыкновенную или десятичную дробь.

Умножение рациональных чисел с разными знаками

Определение 10

Чтобы найти произведение рациональных чисел с разными знаками, необходимо перемножить модули множителей и присвоить результату знак минус.

Пример 8

Нужно найти произведение чисел: -338 и 212

Решение

По приведенному выше правилу получаем: -338 212=-338 212=-338 212

Заменим смешанные дроби неправильными и найдем искомое произведение: -338 212=-278 52=-13516=-8716

Ответ: -338 212=-8716

Умножение отрицательных рациональных чисел

Определение 11

Чтобы найти произведение отрицательных рациональных чисел, необходимо перемножить модули множителей.

Пример 9

Необходимо найти произведение отрицательных рациональных чисел -3,146 и -56.

Решение: модули данных чисел равны 3,146 и 56 соответственно.

Умножим их в один столбик:

Достигнутый результат и будет желаемым продуктом.

Ответ: (-3,146) (-56) = 176,176

Деление рациональных чисел

Деление — это операция, обратная умножению, где мы находим неизвестный множитель из данного произведения и известного множителя. Смысл операции деления можно записать так: из равенства bc = a следует, что a: b = c и a: c = b, и наоборот: из равенства a_b=c и a_c= b следует, что b·c =a.

На множестве рациональных чисел деление не считается самостоятельной операцией, так как выполняется через операцию умножения. На самом деле этот смысл заложен в правиле деления рациональных чисел.

Определение 12

деление числа а на ненулевое число b равносильно умножению числа а на обратную величину делителя. То есть на множестве рациональных чисел верно равенство: a_b=a·b-1.

Указанное равенство легко доказывается: исходя из свойств операций с рациональными числами, будет выполняться цепочка равенств (a b-1) b=a (b-1 b)=a 1=a, что и доказывает равенство a : б = а б-1.

Таким образом, деление рационального числа на другое ненулевое рациональное число сводится к умножению рациональных чисел.

Пример 10

Требуется частичное действие 313:-116

Решение

Определим величину, обратную данному делителю. Запишем данный делитель в виде неправильной дроби: -116= -76.

Обратное значение этой дроби будет: -67. Теперь по указанному выше правилу выполним операцию умножения рациональных чисел

Ответ:313:-116=-267

Возведение в степень

возведение рационального числа а в степень n равносильно умножению этого числа на самого себя n раз. Пишется как н.

В котором:

• Любая степень положительного числа приводит к положительному числу.
• Четная степень отрицательного числа положительна, нечетное число отрицательно.

Например:

• 26 = 2 2 2 2 2 2 = 64
• -34 = (-3) (-3) (-3) (-3) = 81
• -63 = (-6) (-6) (-6) = -216