Декартова система координат: основные понятия и примеры

Понятие декартовой системы координат

Если вы находитесь в нулевой точке и думаете о том, сколько единиц расстояния вам нужно пройти прямо и потом прямо направо, чтобы попасть в другую точку, то вы уже используете прямоугольную декартову систему координат на плоскости. А если точка находится над плоскостью, на которой вы стоите, и к вашим расчетам добавляется подъем на точку по лестнице строго вверх еще и на определенное количество единиц расстояния, то вы уже используете прямоугольную декартову систему координат в пространстве.

Упорядоченная система с двумя или тремя пересекающимися перпендикулярными друг другу осями, имеющими общее начало (начало координат) и общую единицу длины, называется прямоугольной декартовой системой координат.

Имя французского математика Рене Декарта (1596-1662) в первую очередь связано с такой системой координат, где по всем осям измеряется единая единица длины, а оси прямые. Помимо прямоугольной, существует общая декартова система координат (аффинная система координат). Он также может включать не обязательно перпендикулярные оси. Если оси перпендикулярны, система координат прямоугольная.

Прямоугольная декартова система координат на плоскости имеет две оси, а прямоугольная декартова система координат в пространстве имеет три оси. Каждая точка на плоскости или в пространстве определяется упорядоченным набором координат — чисел, соответствующих единице длины системы координат.

Отметим, что, как следует из определения, это декартова система координат на прямой, то есть в одном измерении. Введение декартовых координат на прямой является одним из способов, при помощи которого любой точке на прямой ставится в соответствие вполне определенное вещественное число, т е координата.

Метод координат, зародившийся в работах Рене Декарта, ознаменовал собой революционную перестройку всей математики. Появилась возможность интерпретировать алгебраические уравнения (или неравенства) в виде геометрических образов (графиков) и, наоборот, искать решение геометрических задач с помощью аналитических формул, систем уравнений. Таким образом, неравенство z ​​< 3 геометрически означает полупространство, лежащее ниже плоскости, параллельной координатной плоскости xOy, и на 3 единицы выше этой плоскости.

В декартовой системе координат принадлежность точки к данной кривой соответствует числам x и y, удовлетворяющим некоторому уравнению. Итак, координаты точки на окружности с центром в данной точке (a;b) удовлетворяют уравнению (x — a)² + (y — b)² = R².

Читайте также: Как найти область определения функции

Сферы применения

Декартова система координат является основой для рассмотрения плоских и пространственных объектов во многих разделах математики и используется в т.ч

• определять координаты векторов на плоскости и в пространстве ;
• выражать векторное произведение векторов ;
• решать многие задачи с прямой на плоскости ;
• решить многие задачи с прямой линией в пространстве ;
• строить уравнения плана в пространстве ;
• для построения уравнений поверхностей второго порядка ;
• задать координаты плоских и пространственных объектов, длины, площади и объемы которых можно вычислить с помощью интеграла .

Прямоугольная декартова система координат на плоскости

Две перпендикулярные оси на плоскости с общим началом и одной единицей масштаба образуют декартову прямоугольную систему координат на плоскости. Одна из этих осей называется осью быка, или осью абсцисс, другая — осью Оу, или осью ординат. Эти оси также называются осями координат. Обозначим через Mx и My соответственно проекции произвольной точки M на оси Ox и Oy. Как получить прогнозы? Проведем через точку М прямую, перпендикулярную оси Ох. Эта линия пересекает ось Ox в точке Mx. Проведем через точку М прямую, перпендикулярную оси Оу. Эта линия пересекает ось Oy в точке My. Это показано на рисунке ниже.

Декартовы прямоугольные координаты x и y точки M будут значениями прямолинейных отрезков OMx и OMy соответственно. Значения этих направленных отрезков вычисляются соответственно как x = x0 — 0 и y = y0 — 0. Декартовы координаты x и y точки M называются абсциссой и ординатой соответственно. То, что точка M имеет координаты x и y, обозначается следующим образом: M(x, y).

Оси координат делят плоскость на четыре квадранта, нумерация которых показана на рисунке ниже. Там же указано расположение знаков координат точек в зависимости от их расположения в том или ином квадранте.

Кроме декартовых прямоугольных координат на плоскости часто рассматривают и полярную систему координат. О способе перехода из одной системы координат в другую — в уроке полярная система координат .

Прямоугольная декартова система координат в пространстве

Декартовы координаты в пространстве вводятся по полной аналогии с декартовыми координатами на плоскости.

Три взаимно перпендикулярные оси в пространстве (оси координат) с общим началом О и одной единицей масштаба образуют в пространстве декартову прямоугольную систему координат.

Одна из этих осей называется осью Ох, или осью абсцисс, другая — осью Оу, или осью ординат, третья — осью Оз, или осью приложения. Пусть Mx, MyMz — проекции произвольной точки M пространства на оси Ox, Oy и Oz соответственно.

Проведем через точку М плоскость, перпендикулярную оси Ох. Эта плоскость пересекает ось Ох в точке Мх. Проведем через точку M плоскость, перпендикулярную оси Oy. Эта плоскость пересекает ось Oy в точке My. Проведем через точку M плоскость, перпендикулярную оси Oz. Эта плоскость пересекает ось Oz в точке Mz.

Декартовы прямоугольные координаты x, y и z точки M будем называть значениями направленных отрезков OMx, OMy и OMz соответственно. Значения этих направленных отрезков вычисляются как x = x0 — 0, y = y0 — 0 и z = z0 — 0 соответственно.

Декартовы координаты x, y и z точки M называются ее абсциссой, ординатой и аппозитой соответственно.

Попарно оси координат расположены в координатных плоскостях xOy, yOz и zOx.

Задачи о точках в декартовой системе координат

Пример 1. В декартовой системе координат заданы точки на плоскости

А(2;-3);

Б(3;-1);

С(-5; 1).

Найдите координаты проекций этих точек на ось абсцисс.

Решение. Как следует из теоретической части данного урока, проекция точки на ось абсцисс расположена на самой оси абсцисс, то есть на оси вола, и поэтому имеет абсциссу, равную абсциссе самой точки, и ордината (координата на оси Oy, которую абсцисса пересекает в точке 0), равная нулю. Таким образом, мы получаем следующие координаты этих точек по оси x:

Ах (2; 0);

Бх(3;0);

Сх(-5; 0).

Пример 2. В декартовой системе координат заданы точки на плоскости

А(-3; 2);

Б(-5; 1);

С(3;-2).

Найдите координаты проекций этих точек на ось ординат.

Решение. Как следует из теоретической части данного занятия, проекция точки на ось ординат расположена на самой оси ординат, то есть на оси Оу, и поэтому имеет ординату, равную ординате самой точки, и абсцисса (координата на оси Ox, которую ось y пересекает в точке 0), равная нулю. Таким образом, мы получаем следующие координаты этих точек по оси Y:

Да(0; 2);

В (0; 1);

Сай(0;-2).

Пример 3. В декартовой системе координат заданы точки на плоскости

А(2; 3);

В(-3; 2);

С(-1;-1).

Найдите координаты точек, симметричных этим точкам относительно оси быка.

Решение. Поверните на 180 градусов вокруг оси Ох направленный отрезок, идущий от оси Ох в заданную точку. На рисунке, где обозначены квадранты плоскости, мы видим, что точка, симметричная данной точке относительно оси ox, будет иметь ту же абсциссу, что и данная точка, а ординату, равную по модулю ординате данной точки и противоположного ей по знаку. Таким образом, мы получаем следующие координаты точек, симметричных этим точкам относительно оси быка:

А'(2;-3);

В'(-3;-2);

С'(-1; 1).

Общие сведения о системах координат

Система координат — это набор определений, реализующий метод координат, то есть способ определения положения точки или тела с помощью чисел или других символов. Набор чисел, определяющих положение конкретной точки, называется координатами этой точки. В общем, систему координат можно определить как систему отсчета для определения положения точек в пространстве или на плоскостях и поверхностях по отношению к выбранным осям, плоскостям или поверхностям.

Система координат широко используется во многих отраслях науки:

В математике координаты — это набор чисел, связанных с несколькими точками на некоторой карте определенного атласа.
В элементарной геометрии координаты — это величины, определяющие положение точки на плоскости и в пространстве. На плоскости положение точки чаще всего определяется расстояниями от двух прямых (координатных осей), пересекающихся в одной точке (начале) под прямым углом; одна из координат называется ординатой, а другая — абсциссой. В пространстве по системе Декарта положение точки определяется расстояниями от трех координатных плоскостей, пересекающихся в одной точке под прямым углом друг к другу, или сферическими координатами, где начало координат находится в центре координатной сферы.

В географии координаты выбирают как (приблизительно) сферическую систему координат — широту, долготу и высоту над известным общим уровнем (например, над морем).

В астрономии небесными координатами называют упорядоченную пару угловых величин (таких как прямое восхождение и склонение), определяющих положение светил и вспомогательных точек на небесной сфере. В астрономии используются разные системы небесных координат. Каждая из них представляет собой сферическую систему координат (без радиальной координаты) с соответствующим образом выбранной базовой плоскостью и началом координат. В зависимости от выбора базовой плоскости небесная система координат называется горизонтальной (горизонтальная плоскость), экваториальной (экваториальная плоскость), эклиптической (эклиптическая плоскость) или галактической (галактическая плоскость).

Наиболее часто используемой системой координат является прямоугольная система координат (также известная как декартова система координат).
Координаты на плоскости и в пространстве можно вводить бесконечным числом различных способов. При решении той или иной математической или физической задачи координатным методом можно использовать разные системы координат, выбирая ту, которая решает задачу проще или удобнее в данном конкретном случае. Известным обобщением системы координат являются системы отсчета и системы отсчета.

Абсцисса, ордината, начало координат и единичный отрезок

Эти оси имеют общие названия. Горизонтальная ось называется осью абсцисс и письменно обозначается $Ox$

Вертикальная ось называется осью Y и обозначается $Oy$

Оси пересекаются под прямым углом перпендикулярно друг другу, поэтому такая система координат называется прямоугольной.

Точка пересечения осей координат является началом координат. Обычно эту точку обозначают буквой $O$ и называют началом координат. Ее также иногда называют нулевой точкой.

На каждой оси выделяется один отрезок, с помощью которого вычисляются координаты объекта. Длина отдельного отрезка может быть любой единицей измерения, но она должна быть одинаковой на каждой из осей. То есть, если единичный отрезок по оси абсцисс задан, например, равным 1 см, то единичный отрезок по оси ординат тоже должен быть равен одному сантиметру.

Абсцисса, ордината, начало координат и единичная линия

Положительное и отрицательное направление

Для осей стрелка задает положительное направление:

• поэтому обычно направление вправо считается положительным для оси $Ox;
• для оси $Oy$ направление снизу вверх считается положительным.

В этом случае часть прямой $Оx$ левее точки $О$ будет иметь отрицательные значения. Точно так же часть линии $Oy$ ниже опорной точки $O$ также будет иметь отрицательные значения.

Итак, все:

• происхождение $O$
• оси $Ox$ и $Oy$ пересекаются под прямым углом с заданными направлениями
• заданный единичный сегмент

образует прямоугольную систему координат, в математике плоскость называется координатной плоскостью.

Или другими словами:

Прямоугольная система координат представляет собой две взаимно перпендикулярные оси координат с заданными направлениями, единицей длины и точкой отсчета в точке их пересечения.

Письменно система координат обозначается $Оxy$

Четверти

Оси координат делят плоскость на 4 части, их обозначают римскими цифрами. Каждая часть называется «квадрант». Другие названия: «координатный угол» или «четверть». Нумерация кварталов ведется против часовой стрелки в порядке, указанном на рисунке ниже.

Четверть координатной плоскости

В квадранте I значения $x$ и $y$ будут положительными. Отсюда следует, что если координаты объекта $x$ и $y$ — положительные числа, то он находится в I квадранте.

В квадранте II $y$ будет положительным, а $x$ отрицательным.

В квадранте III обе координаты $x$ и $y$ будут иметь отрицательные значения.

В последнем квадранте IV $x$ будет положительным, а $y$ отрицательным.

Координаты точки в декартовой системе координат

Для начала отложим точку М на оси координат Ох. Любое действительное число xM равно единственной точке M, лежащей на данной прямой. В этом случае начало координатных линий всегда равно нулю.

Каждая точка M, лежащая на Ox, равна действительному числу xM. Это действительное число равно нулю, если точка М находится в начале координат, то есть в точке пересечения Ох и Оу. Если точку удалить в положительном направлении, длина отрезка положительна и наоборот.

Число xM является координатой точки M на данной координатной прямой.

Пусть точка будет проекцией точки Mx на Ox, а My на Oy. Это означает, что через точку М можно провести прямые, перпендикулярные осям Ох и Оу, после чего мы получим соответствующие точки пересечения Мх и My. Тогда точка Mx на оси Ox имеет соответствующий номер xM, а My на Oy — yM. Вот как это выглядит на осях координат:

Каждой точке М на данной плоскости в прямоугольной декартовой системе координат соответствует пара чисел (хМ, уМ), которые называются ее координатами. Абсцисса M равна xM, ордината M равна yM.

Верно и обратное: каждой паре (xM, yM) соответствует точка на плоскости.

Определение декартовой системы координат

Координаты — это своего рода точный «адрес», зарегистрированный по определенным правилам, по которому можно найти какой-либо объект.

Скоординированные примеры:

• географическая широта и долгота;
• положение любой отметки на числовой оси;
• номер ряда и номер места в самолете и так далее

Когда требуется указать координаты точки на плоскости, чаще всего используется декартова (прямоугольная) система, названная в честь французского математика и физика Рене Декарта.

Структура системы:

1. На плоскости проведены две прямые числовые оси, перпендикулярные друг другу (т.е расположенные под углом 90°). Их точка пересечения в точке О является началом координат (отсчетом) для каждой из осей.
2. Горизонтальная ось (касательные слева направо, что указано соответствующей стрелкой) называется осью абсцисс. Для его обозначения используется латинская буква «х», а пишется он как «Ох». Положительная часть расположена справа от точки «О”.
3. Вертикальная ось (выступающая снизу вверх, что также обозначено стрелкой) называется осью Y. Обозначается буквой «у», пишется как «ой». Положительная часть находится выше точки «О”.

Таким образом, прямоугольная система координат включает в себя следующие основные элементы:

1. Координатная плоскость — это плоскость, в которой расположена система координат, записывается как «xOy”.
2. Оси координат: абсцисса (Ox) и ордината (Oy).
3. Одиночные отрезки (цена деления) — расстояния между линиями по обеим числовым осям, которые обычно имеют одинаковую длину.
4. Значения, соответствующие каждому отметке на оси. Обычно пишут так:
   • для быка — снизу;
   • для Oy, вправо или влево.
5. Координатные четверти — зоны, на которые плоскость делится двумя осями. Пронумерованы римскими цифрами и расположены следующим образом:

Что такое координатная сетка?

Одним из элементов географической карты является сетка координатных линий. Координатные сетки бывают двух видов: картографические, образованные линиями с меридианами и параллелями, и сетки прямоугольных координат, образованные линиями, параллельными осям координат ОХ и ОУ.

На топографических картах меридианы и параллели являются границами листа карты; в углах карты подписаны их долгота и широта. Внутри листа проводится сетка с прямоугольными координатами в виде квадратов, иногда называемая километровой сеткой, так как на картах масштаба 1:10 000 и мельче сетка проводится через целое число километров.

Вертикальные линии сетки параллельны осевому меридиану зоны (оси ОХ) и имеют уравнение Y = Const; значение координаты Y подписано для каждой строки. Горизонтальные линии сетки параллельны оси OY и имеют уравнение X = Const; значение координаты X подписано для каждой строки.

Для удобства использования на листах карты, отображающих интерфейсы зоны, показана сетка прямоугольных координат соседней зоны. Ширина граничного листа с сеткой соседней зоны составляет 2 градуса долготы с обеих сторон зоны. Выходы линий координатной сетки соседней зоны наносятся на внешнюю сторону рамки листа карты.

Классификация систем координат

1. Прямоугольная (плоская) система координат: XY
При этом за главную плоскость XOY принимается плоскость земного экватора. Главная ось координат ОХ направлена ​​в конкретную точку. Ось OY расположена в плоскости земного экватора под углом 90° к востоку от принятого номинального меридиана. Ось OZ совмещена с северным направлением оси вращения Земли.

2. Пространственная прямоугольная система координат: XYZ
Начало пространственных прямоугольных координат определяется либо при условии совпадения с центром масс Земли (общеземных систем), либо близко к нему.
Ориентация оси Z в каждой системе координат выполняется с учетом ориентации средней оси вращения Земли. При установлении системы центрального полюса, в том числе полюсов системы МУН, условия прохождения средней оси вращения через центр масс

Земли не накладываются, поэтому как в системах отсчета, так и в общеземных системах оси Z не совпадают со средней осью вращения, а параллельны ей.
Плоскость XOY перпендикулярна оси Z и центральной оси вращения Земли. Плоскость XOZ выбрана из предположения, что она параллельна плоскости исходного астрономического меридиана.

3. Геодезическая (эллипсоидальная) система координат: BLH
Система координат геодезического эллипсоида строится на основе эллипсоида вращения, поверхность которого используется в качестве опорной поверхности, на которую проецируются и затем обрабатываются результаты геодезических измерений.

В — геодезическая широта, угол между нормалью к эллипсоиду, проходящей через данную точку М на земной поверхности, и плоскостью экватора;
L — геодезическая долгота, двугранный угол между плоскостями Гринвича G и заданными геодезическими меридианами;
H — геодезическая высота над опорным эллипсоидом, расстояние по нормали от поверхности эллипсоида до точки М.

Назначение систем координат

1. Общеземные (мировые) WGS 84, PZ 9011, ITRS
Общеземными системами координат принято называть такие системы, которые получаются при условии, что их начало совпадает с центром масс Земли. Они устанавливаются относительно территории, охватывающей весь земной эллипсоид. И он используется для решения общих проблем с почвой. Наиболее практичны географические координаты (широта и долгота), рассчитываемые от поверхности экватора и нулевого меридиана в виде дуг, которым соответствуют центральные углы.

2. Состояние (СК-95, СК-63, ГСК-2011)
Эта система координат ограничена территорией одного государства и используется для проведения геодезических и картографических работ в пределах этого государства. В Российской Федерации в качестве координатной поверхности в этой системе используется поверхность эллипсоида Красовского.

3. Местные (МСК-50, МСК-50.2, Москва)
Под локальной системой координат понимается условная система координат, установленная применительно к ограниченной территории, не превышающей территорию субъекта Российской Федерации, начало координат и ориентация осей координат, смещенные относительно начало координат и ориентацию координатных осей Единой государственной системы координат, используемой при выполнении геодезических и картографических работ. Локальные системы координат устанавливаются для проведения геодезических и топографических работ при инженерных изысканиях, строительстве и эксплуатации зданий и сооружений, межевании, кадастровом ведении и других специальных работах.

Обязательным требованием при установлении местных систем координат является обеспечение возможности перехода от местной системы координат к национальной системе координат, которая осуществляется с помощью параметров перехода (ключей). Каждая локальная система координат может быть создана с одной или несколькими зонами в три или шесть градусов. Параметры местных систем координат и ключи перехода в национальную систему координат (формулы и правила, позволяющие получить координаты точек одной системы в другой системе) устанавливаются Росреестром по согласованию с Минобороны. Российская Федерация.

Определение положения точек в различных СК

Расположение точек непосредственно на физической поверхности Земли или в околоземном пространстве, а также на поверхности земного эллипсоида может определяться в различных прямолинейных и криволинейных системах координат. Однако в теории и практике производства топографо-геодезических работ чаще всего используются следующие СК:

Пространственная прямоугольная декартова СК — X, Y, Z;
Отличительной особенностью использования системы пространственных полярных геодезических координат в геодезии является то, что главная плоскость выбирается на поверхности и представляет собой плоскость геодезического горизонта (или параллельную плоскости горизонта). За полярную ось принимают линию пересечения плоскости горизонта с плоскостью геодезического меридиана до заданной точки О (полюса системы) с положительным направлением на северный полюс Земли.

Положение точки Q в этом СК определяется тремя величинами (координатами): S — длина прямой OQ; А — геодезический азимут (двугранный угол между плоскостью геодезического меридиана начальной точки О и нормальной плоскостью точки О, содержащей точку Q); Zg — зенитное расстояние (угол между точкой нормали O и линией OQ).

Криволинейные эллипсоидальные геодезические координаты — B, L, H;
Очень распространены также криволинейные эллипсоидальные системы с геодезическими координатами. Эти КА имеют прямое отношение к математической модели поверхности Земли, которой в настоящее время считается поверхность эллипсоида вращения с определенными параметрами и ориентацией ее в теле Земли, и обычно ее называют просто — Земной эллипсоид.

Земной эллипсоид, таким образом, представляет собой эллипсоид вращения, форма и размеры которого с разной степенью точности соответствуют форме и размерам Земли. Для определения формы и размеров эллипсоида Земли достаточно задать основные параметры а — большой и b — малой полуосей. Но на практике для этих целей обычно используются два других элемента — линейная величина, такая как большая полуось, и относительная. В качестве относительной величины чаще всего используют его сжатие α, вычисляемое по формуле:

Если земной эллипсоид лучше всего представляет всю Землю в целом, такой эллипсоид называется общим земным эллипсоидом, и его необходимо определить при следующих условиях:
1. Совпадение центра эллипсоида с центром масс Земли и плоскости его экватора с плоскостью земного экватора;
2. Минимальная сумма квадратов отклонений по высоте квазигеоида (геоида) во всех его точках от поверхности эллипсоида.

Различные типы полярных систем координат, как пространственные, так и на поверхностях (сферы, эллипсоиды, плоскости);

Пространственные прямоугольные топоцентрические координаты — Xt, Ut, Zt;
Плоские прямоугольные декартовы системы координат — x, y и H (геодезическая высота)

Запись координат

Для определения координат произвольной точки опускаем от нее два перпендикуляра — по одному на каждую ось, а затем вычисляем общее количество единичных отрезков от точки «О”.

Сами координаты пишем в скобках, где первая соответствует оси абсцисс, вторая — оси ординат. Например, на рисунке выше указанная точка имеет координаты (4,2).