Деление десятичных дробей: правила, примеры, решения, как целое число разделить на десятичную дробь

Вычисления

Как делить десятичные дроби?

Деление десятичных дробей сводится к делению обыкновенных дробей. Рассмотрим подробнее основные правила деления десятичных дробей.

Основы деления десятичных дробей

Все десятичные дроби, как конечные, так и периодические, являются лишь особой формой записи правильных дробей. Следовательно, к ним применяются те же принципы, что и к соответствующим им правильным дробям. Таким образом, мы сводим весь процесс деления десятичных дробей к замене их обыкновенными с последующим вычислением уже известными нам методами. Возьмем конкретный пример.

Пример 1

Разделите 1,2 на 0,48.

Решение

Запишем десятичные дроби в виде обыкновенных дробей. Мы сможем:

1,2=1210=65

0,48=48100=1225.

Следовательно, мы должны разделить 65 на 1225. Считаем:

1,2:0,48=62:1225=65 2512=6 255 12=52

Из полученной неправильной дроби можно извлечь целую часть и получить смешанное число 212, а можно представить ее в виде десятичной дроби так, чтобы она соответствовала исходным числам: 52 = 2,5. Как это сделать, мы уже писали ранее.

Ответ: 1,2:0,48=2,5.

Пример 2

Посчитайте, сколько будет 0, (504) 0,56.

Решение

Для начала нам нужно преобразовать периодическую десятичную дробь в правильную.

0.(504)=0,5041-0,001=0,5040,999=504999=56111

После этого переведем и последнюю десятичную дробь в другой вид: 0,56 = 56100. Теперь у нас есть два числа, с которыми нам будет легко произвести необходимые вычисления:

0.(504):1,11=56111:56100=56111 10056=100111

У нас есть результат, который мы также можем преобразовать в десятичную форму. Для этого разделим числитель на знаменатель методом столбца:

Основы десятичного деления

Ответ:0,(504):0,56=0,(900).

Если в примере с делением мы столкнулись с непериодическими десятичными дробями, то поступим немного иначе. Мы не можем привести их к обычным обыкновенным дробям, поэтому при делении мы должны сначала округлить их до определенного числа. Эту операцию необходимо проделать и с делимым, и с делителем: имеющуюся конечную или периодическую дробь мы также округлим для точности.

Пример 3

Найдите, сколько станет 0,779…/1,5602.

Решение

В первую очередь округляем обе дроби до сотых. Вот как мы переходим от бесконечных неповторяющихся дробей к конечным десятичным:

0,779…≈0,78

1,5602≈1,56

Мы можем продолжить вычисления и получить приблизительный результат: 0,779…:1,5602≈0,78:1,56=78100:156100=78100 100156=78156=12=0,5.

Точность результата будет зависеть от степени округления.

Ответ: 0,779…: 1,5602≈0,5.

Читайте также: Как найти площадь поверхности шарового слоя (среза шара): формулы

Правило деления десятичных дробей на на 0,1; 0,01; 0,001 и так далее:

Чтобы разделить десятичную дробь на 0,1, 0,01, 0,001 и так далее, нужно переместить запятую справа от этой дроби соответственно на 1, 2, 3 и так далее цифры.

Правило деления десятичных дробей на на 10; 100; 1 000 и так далее:

Чтобы разделить десятичную дробь на 10, 100, 1000 и так далее, необходимо переместить запятую влево от этой дроби на 1, 2, 3 и так далее соответственно цифры.

Зная это правило, можно сделать следующий вывод:

Если делимое и делитель одновременно увеличить на 10, 100, 1000 и т д., то частное не изменится.

Пример 7: Найдите частное 14,364 : 0,4.

Увеличим делимое и делитель одновременно в 10 раз. Тогда получаем: 14,364:0,4 = 143,64:4.

Деление десятичной дроби 143,64 на 4 сделано выше, значит, мы можем записать, что 14,364:0,4=143,64:4=35,91.

Правило деления десятичной дроби на десятичную:

Чтобы разделить десятичную дробь на десятичную, нужно:

1) сдвинуть запятые в делимом и делителе вправо на столько цифр, сколько содержится после запятой в делителе;

2) разделить на натуральное число.

Как разделить натуральное число на десятичную дробь и наоборот

Подход к делению в этом случае почти такой же: конечные и периодические дроби заменяем на правильные, а бесконечные непериодические — округляем. Начнем с примера деления на натуральное число и десятичную дробь.

Пример 4

Разделите 2,5 на 45.

Решение

Приведем 2,5 к виду правильной дроби: 25510=512. Тогда нам просто нужно разделить его на натуральное число. Мы уже знаем, как это сделать:

25,5:45=512:45=512 145=1730

Если перевести результат в десятичную систему счисления, то получится 0,5 (6).

Ответ: 25,5:45=0,5(6).

Как разделить десятичную дробь на натуральное число столбиком

Способ деления столбиком хорош не только для натуральных чисел. По аналогии, мы можем использовать его и для дробей. Ниже мы укажем последовательность действий, которые необходимо для этого выполнить.

Определение 1

Чтобы разделить столбик десятичных дробей на натуральные числа, необходимо:

1. Добавьте несколько нулей к десятичной дроби справа (для деления мы можем добавить их любое количество, которое нам нужно).

2. Разделить десятичную дробь на натуральное число по алгоритму. Когда деление целой части дроби закончится, в полученном частном ставим запятую и считаем дальше.

Результатом такого деления может быть как конечная, так и бесконечно периодическая десятичная дробь. Это зависит от остатка: если он равен нулю, результат будет конечным, а если остатки начнут повторяться, ответом будет периодическая дробь.

Давайте возьмем несколько задач в качестве примера и попробуем выполнить эти шаги с конкретными числами.

Пример 5

Подсчитайте, сколько будет 65 144.

Решение

Мы используем метод столбцов. Для этого к дроби нужно добавить два нуля и получить десятичную дробь 65.1400, которая будет равна исходной. Теперь пишем столбец для деления на 4:

Как разделить десятичную дробь натурального числа столбиком

Полученное число и будет результатом деления нужной нам целой части. Ставим запятую, отделяем ее и продолжаем:

Как разделить десятичную дробь натурального числа столбиком

Мы достигли нулевого остатка, поэтому процесс деления завершен.

Ответ: 65,14:4=16,285.

Пример 6

Разделите 164,5 на 27.

Решение

Сначала делим дробь и получаем:

Как разделить десятичную дробь натурального числа столбиком

Разделяем полученную цифру запятой и продолжаем деление:

Как разделить десятичную дробь натурального числа столбиком

Мы видим, что остатки стали повторяться через равные промежутки, а числа девять, два и пять стали чередоваться в частном. На этом остановимся и запишем ответ в виде периодической дроби 6,0 (925).

Ответ: 164,5:27=6,0(925).

Как разделить столбиком одну десятичную дробь на другую

Такое деление можно свести к уже описанному выше процессу нахождения частной десятичной дроби и натурального числа. Для этого мы должны умножить делимое и делитель на 10, 100 и т д., чтобы делитель стал натуральным числом. Затем выполняем последовательность действий выше. Это приближение возможно благодаря свойствам деления и умножения. В буквальном виде мы записали их так:

a:b=(a 10):(b 10), a_b=(a 100):(b 100) и так далее.

Сформулируем правило:

Определение 2

Чтобы разделить одну конечную десятичную дробь на другую, необходимо:

1. Переместите запятую в делимом и делителе вправо на количество знаков, необходимое для того, чтобы делитель стал натуральным числом. Если в делимом недостаточно символов, мы добавляем к нему нули с правой стороны.

2. После этого делим дробь столбиком с полученным натуральным числом.

Давайте рассмотрим конкретную проблему.

Пример 7

Часть 7.287 с 2.1.

Решение: Чтобы сделать делитель натуральным числом, нам нужно переместить запятую на один символ вправо. Вот мы и приступили к делению десятичной дроби 72,87 на 21. Запишем полученные числа в столбик и посчитаем

Как разделить десятичную дробь столбиком

Ответ: 7,287:2,1=3,47

Пример 8

Вычислите 16,30,021.

Решение

Нам нужно перенести запятую на три цифры. В делителе для этого не хватает цифр, а значит, придется использовать лишние нули. Мы думаем, что конечный результат будет:

Как разделить десятичную дробь столбиком

Мы видим периодическое повторение остатков 4, 19, 1, 10, 16, 13. В частном повторяются 1, 9, 0, 4, 7 и 5. Тогда наш результат – периодическая десятичная дробь 776, (190476).

Ответ:16,3:0,021=776,(190476)​​​​​​

Описанный нами способ позволяет сделать обратное, то есть разделить натуральное число на конечную десятичную дробь. Давайте посмотрим, как это делается.

Пример 9

Подсчитайте, сколько будет 3 5.4.

Решение

Конечно, нам нужно сдвинуть запятую вправо на один символ. После этого можем приступать к делению 30,0 на 54. Запишем данные в столбик и посчитаем результат:

Как разделить десятичную дробь столбиком

повторение остатка дает нам число 0,(5), которое является периодической десятичной дробью.

Ответ: 3:5,4=0,(5).

Как разделить десятичные дроби на 1000, 100, 10 и др.

По уже изученным правилам деления обыкновенных дробей деление дроби на десятки, сотни, тысячи подобно умножению ее на 1/1000, 1/100, 1/10 и т д. Получается, что выполнить деление, в этом случае достаточно просто переставить запятую на нужное количество цифр. Если в числе недостаточно значений для переноса, добавьте необходимое количество нулей.

Пример 10

Итак, 56,21:10=5,621 и 0,32:100000=0,0000032.

Для бесконечных десятичных дробей делаем то же самое.

Пример 11

Например, 3.(56):1000=0,003(56) и 593,374…:100=5,93374….

Как разделить десятичные дроби на 0,001, 0,01, 0,1 и др.

Используя то же правило, мы также можем разделить дроби на заданные значения. Это действие будет аналогично умножению соответственно на 1000, 100, 10. Для этого переставляем запятую на одну, две или три цифры, в зависимости от условий задачи, и добавляем нули, если не хватает цифр в номер.

Пример 12

Например, 5,739:0,1=57,39 и 0,21:0,00001=21,000.

Это правило также применимо к бесконечным десятичным дробям. Советуем быть внимательным только с периодом дроби, полученной в ответе.

Итак, 7,5(716):0,01=757,(167), потому что после того, как мы передвинули запятую в десятичной дроби 7,5716716716… на две цифры вправо, мы получили 757,167167….

Если у нас в примере непериодические дроби, то все проще: 394,38283…:0,001=394382,83….

Как разделить смешанное число или обыкновенную дробь на десятичную и наоборот

Мы также сводим это действие к операциям с обыкновенными дробями. Для этого замените десятичные числа соответствующими обыкновенными дробями, а смешанное число запишите в виде неправильной дроби.

Если мы делим непериодическую дробь на обыкновенное или смешанное число, то должны поступить наоборот, заменив обыкновенную дробь или смешанное число соответствующей десятичной дробью.

Деление двух десятичных дробей

Деление двух десятичных чисел сводится к предыдущему алгоритму, т.е от запятых приходится избавляться. Если в делителе знаков после запятой больше, чем в делимом, то необходимо прибавить к делимому правильное количество нулей.

Пример 5: Разделите 12,6 на 1,12.

Так как в делителе (1.12) после запятой два знака, то для избавления от запятых необходимо к делимому (12.6) прибавить ноль, вот так:

Ответ: 12,6 : 1,12 = 11,25

Деление дробей в столбик

Разделите 5220 на 36

5 2 2 0 3 6
3 6 1 4 5 36 х 1 = 36
1 6 2 52 — 36 = 16
1 4 4 36 х 4 = 144
1 8 0 162 — 144 = 18
1 8 0 36 х 5 = 180
0 180 — 180 = 0

Выберите первый полный дивиденд 52
Разделите 52 на 36.
Получите 1 с остальными
Напишите цифру 1 под чертой в ответе.
Проверяем умножением 36х1=36.
Вычитаем и сравниваем, разница должна быть меньше делителя.
52-36=16, 16<36
Снос 2
Разделите 162 на 36
Получите 4 с остальными
Ниже строки в ответе пишем цифру 4.
Проверяем умножением 36х4=144.
Вычитаем и сравниваем, разница должна быть меньше делителя.
162-144=18, 18<36
Снос 0
Разделите 180 на 36
Получите 5 без остатка
Напишите цифру 5 под чертой в ответе.
Проверяем умножением 36х5=180.
Вычитай и сравнивай
180-180=0
Больше нечего сносить
Расчет окончен.

Алгоритм деления в столбик

  • Если делимое или делитель является десятичным числом, преобразуйте его в целое число.
  • Если делитель и делимое являются целыми числами и в конце стоят нули, их необходимо уменьшить для упрощения.
  • Пишем пример в столбик.
  • Ищем первое неполное делимое.
  • Мы делим неполный дивиденд.
  • Проверяем умножением.
  • Записываем первую цифру в ответе.
  • Ищем остаток, он должен быть меньше делителя.
  • Сносим следующую цифру и повторяем снова.
Оцените статью
Блог о Microsoft Word