Десятичные дроби — как решать примеры 5, 6 класс

Понятие десятичной дроби

Прежде чем ответить на вопрос, как найти десятичную дробь, давайте рассмотрим основные определения, виды дробей и разницу между ними.

Дробь — это представление числа в математике, где a и b — числа или выражения. На самом деле это только одна из форм, в которой может быть представлено число.Существует два формата записи:

• обычный вид — ½ или а/б,
• десятичная форма — 0,5.

В правильной дроби над чертой принято писать делимое, которое становится числителем, а под чертой всегда стоит делитель, который называется знаменателем. Линия между числителем и знаменателем означает деление.

В десятичной дроби знаменатель всегда равен 10, 100, 1000, 10000 и т д. По сути, десятичная дробь — это то, что получается при делении числителя на знаменатель. Десятичная дробь записывается в строке, разделенной запятой, чтобы отделить целую часть от дробной части. Как это:

• 0,8
• 7,42
• 9932

Замыкающая десятичная дробь — это дробь, в которой точно определено количество цифр после запятой.

Бесконечное десятичное число — это когда количество цифр после запятой бесконечно. Для удобства математики договорились округлить эти числа до 1-3 после запятой.

Что такое десятичная запись дробных чисел

Так называемая десятичная запись дробных чисел может использоваться как для натуральных, так и для дробных чисел. Он выглядит как набор из двух или более чисел с запятыми между ними.

Десятичная точка используется для отделения целой части от дробной. Как правило, последняя цифра десятичного числа никогда не бывает нулем, если только десятичная точка не стоит сразу после первого нуля.

Каковы некоторые примеры дробных чисел в десятичной системе счисления? Это может быть 34,21, 0,35035044, 0,0001, 11 231 552,9 и т д.

В некоторых учебниках можно встретить использование точки вместо запятой (5.67, 6789.1011 и т.д.) этот вариант считается равнозначным, но он более характерен для англоязычных источников.

Определение десятичных дробей

Основываясь на приведенной выше концепции десятичной системы счисления, мы можем сформулировать следующее определение десятичных дробей:

Определение 1

Десятичные дроби — это дробные числа в десятичной системе счисления.

Почему мы должны записывать дроби в такой форме? Это дает нам некоторые преимущества перед обычными, такие как более компактная запись, особенно в случаях, когда знаменатель равен 1000, 100, 10 и т д или смешанное число. Например, вместо 610 мы можем указать 0,6, вместо 2510000 — 0,0023, вместо 5123100 — 512,03.

О том, как правильно представлять обыкновенные дроби с десятками, сотнями, тысячами в знаменателе в десятичной форме, будет рассказано в отдельном материале.

Свойства десятичных дробей

Основное свойство десятичной дроби заключается в следующем: если к десятичной дроби справа добавить один или несколько нулей, значение не изменится. Это означает, что если в вашей дроби много нулей, вы можете их просто отбросить. Например:

• 0,600 = 0,6
• 21.10200000 = 21.102

Дробь значения не имеет, если делитель равен нулю. Дробь равна нулю, если числитель равен нулю, а знаменатель — нет. Две дроби a/b и c/d называются равными, если a * d = b * c. Если числитель и знаменатель умножить или разделить на одно и то же натуральное число, то получится равная дробь

Обычные и десятичные дроби — старые друзья. Вот как они связаны:

• Целая часть десятичной дроби равна целой части смешанной дроби. Если числитель меньше знаменателя, целая часть равна нулю.
• Дробная часть десятичной дроби содержит те же цифры, что и числитель этой же дроби в ее правильной форме.
• Количество цифр после запятой зависит от количества нулей в знаменателе обыкновенной дроби. То есть 1 цифра — это делитель 10, 4 цифры — это делитель 10000.

обучение на курсах математики — отличный способ закрепить полученные знания на практике и охватить сложные темы.

Как записать десятичную дробь

Давайте рассмотрим на примерах, как написать десятичную дробь. Небольшое напоминание: сначала пишем целую часть, ставим запятую и потом пишем числитель дробной части.

Пример 1. Преобразовать обыкновенную дробь 16/10 в десятичную.

Как мы решаем:

1. В знаменателе 10, то есть ноль.
2. Считаем справа налево в числителе дроби один знак и ставим запятую.
3. В полученной десятичной дроби цифра 1 – целая часть, цифра 6 – дробная часть.

Ответ: 16/10 = 1,6.

Пример 2. Преобразование 37/1000 в десятичное число.

Как мы решаем:

1. В знаменателе 1000, это три нуля.
2. Считаем справа налево в числителе дроби три цифры и ставим запятую.
3. Так как в счетчике всего две цифры, то в пустые места пишем нули.
4. В полученной десятичной дроби число 0 – целая часть, 037 – дробная часть.

Ответ: 37/1000 = 0,037.

Как читать десятичную дробь

Чтобы учитель правильно вас понял, важно правильно читать десятичные дроби. Сначала произносим целую часть с добавлением слова «целая», а затем дробь с обозначением разряда — это зависит от количества знаков после запятой:

одна цифра — десятые;	1,3 — одна целая, три десятых;
две цифры — сотые	2,22 — две целых, двадцать две сотых;
три цифры — тысячные;	23 885 — двадцать три точки восемьсот восемьдесят пять тысячных;
четыре цифры — десятитысячные;	0,5712 — ноль целых пять тысяч семьсот двенадцать десятитысячных;
и так далее

Сохраняйте зрительный образ, чтобы быстрее запоминать.

Что такое разряды в десятичных дробях

Значение цифры в десятичной системе счисления зависит от того, где она стоит (так же, как и в случае с натуральными числами). Так, в десятичной дроби 0,7 семь десятых, в 0,0007 – десять тысячных, а в дроби 70 000,345 – семь десятков тысяч целых единиц. Таким образом, в десятичных дробях также присутствует понятие разряда числа.

Названия цифр перед запятой аналогичны тем, которые встречаются в натуральных числах. Имена тех, кто стоит после, наглядно представлены в таблице:

Возьмем пример.

Пример 1

У нас есть десятичное число 43.098. У нее четверка в разряде десятков, тройка в разряде единиц, ноль в разряде десятков, 9 в разряде сотен и 8 в разряде тысячных.

В десятичных дробях принято разделять цифры по старшинству. Если мы будем двигаться по числам слева направо, мы будем двигаться от старших к младшим цифрам. Получается, что сотни старше десятков, а миллионные моложе сотых. Если взять последнюю десятичную дробь, которую мы привели в качестве примера выше, то старшей, или старшей, будет цифра сотен, а низшей, или низшей, будет цифра 10 тысячных.

Любую десятичную дробь можно разложить на отдельные цифры, то есть представить в виде суммы. Эта операция выполняется так же, как и для натуральных чисел.

Пример 2

Попробуем разложить дробь 56,0455 на цифры.

Мы сможем:

56,0455 = 50+6+0,4+0,005+0,0005

Если помнить о свойствах сложения, то эту дробь можно представить и в других формах, например в виде суммы 56 + 0,0455, или 56,0055 + 0,4 и т д.

Читайте также: 8 самых длинных автодорог на планете

Что такое конечные десятичные дроби

Все дроби, о которых мы говорили выше, являются конечными десятичными. Это означает, что количество цифр после запятой конечно. Получим определение:

Определение 1

Замыкающие десятичные дроби — это тип десятичной дроби с ограниченным числом цифр после запятой.

Примерами таких дробей могут быть 0,367, 3,7, 55,102567958, 231032,49 и т д.

Любая из этих дробей может быть преобразована либо в смешанное число (если значение их дробной части не равно нулю), либо в обыкновенную дробь (если целая часть равна нулю). Как это делается, мы посвятили отдельный материал. Здесь мы просто хотим указать на пару примеров: например, последнюю десятичную дробь 5,63 мы можем привести к виду 563100, а 0,2 равно 210 (или другой дроби, равной ей, например 420 или 15.)

Но обратный процесс, то есть запись правильной дроби в десятичной форме, не всегда можно осуществить. Так, 513 нельзя заменить равной дробью со знаменателем 100, 10 и т д., а значит, из него не получится последняя десятичная дробь.

Основные виды бесконечных десятичных дробей: периодические и непериодические дроби

Выше мы указывали, что конечные дроби называются так потому, что они имеют ограниченное количество знаков после запятой. Однако оно вполне может быть и бесконечным, и в этом случае сами дроби тоже будем называть бесконечными.

Определение 2

Бесконечные десятичные дроби — это те, которые имеют бесконечное количество цифр после запятой.

очевидно, что такие числа просто не могут быть записаны полностью, поэтому мы указываем только их часть и затем ставим многоточие. Этот символ указывает на бесконечное продолжение последовательности десятичных знаков. Примеры бесконечных десятичных чисел: 0,143346732…, ​​3,1415989032…, 153,0245005…, 2,66666666666…, 69,748768152… и так далее

В «хвосте» такой дроби могут быть не только явно случайные последовательности чисел, но и постоянное повторение одного и того же символа или группы символов. Дроби с чередованием после запятой называются периодическими.

Определение 3

Периодические десятичные дроби — это такие бесконечные десятичные дроби, в которых после запятой повторяется одна цифра или группа из нескольких цифр. Повторяющаяся часть называется периодом дроби.

Например, для дроби 3,444444.. периодом будет число 4, а для 76, 134134134134… — группа 134.

Какое минимальное количество символов допускается в периодической дроби? Для периодических дробей достаточно будет написать весь период один раз в скобках. Итак, дробь 3,444444.. правильно было бы записать как 3, (4), а 76, 134134134134… — как 76, (134).

Как правило, записи с несколькими точками в круглых скобках будут иметь точно такое же значение: например, периодическая дробь 0,677777 совпадает с 0,6 (7) и 0,6 (77) и т д. Также записи вида 0,67777(7), 0,67 (7777) и т.д.

Во избежание ошибок введем единообразие в обозначениях. Условимся писать только одну точку (кратчайшую возможную последовательность цифр), ближайшую к десятичной запятой, и заключать ее в круглые скобки.

То есть для приведенной выше дроби мы будем считать запись 0,6(7) наиболее важной, а, например, в случае дроби 8,9134343434 напишем 8,91(34).

Если знаменатель обыкновенной дроби содержит простые делители, не равные 5 и 2, при переводе в десятичную запись они окажутся бесконечными дробями.

В принципе, любую конечную дробь можно записать как периодическую. Для этого нам просто нужно добавить бесконечное количество нулей справа. Как это выглядит на почте? Допустим, у нас есть последняя дробь 45,32. В периодической форме это будет выглядеть как 45,32(0). Эта операция возможна потому, что прибавление нулей справа от десятичной дроби дает нам в результате равную ей дробь.

Отдельно следует остановиться на периодических дробях с периодом 9, например 4,89(9), 31,6(9). Они являются альтернативным обозначением аналогичных дробей с периодом 0, поэтому их часто заменяют при записи дробей с нулевым периодом. При этом к значению следующей цифры добавляется единица, а в скобках указывается (0). Равенство полученных чисел легко проверить, представив их в виде обыкновенных дробей.

Например, дробь 8.31(9) можно заменить соответствующей дробью 8.32(0). Или 4,(9)=5,(0)=5.

Бесконечные десятичные периодические дроби являются рациональными числами. Другими словами, любую периодическую дробь можно представить в виде правильной дроби и наоборот.

Существуют также дроби, в которых нет бесконечно повторяющейся последовательности после запятой. В этом случае их называют непериодическими дробями.

Определение 4

К непериодическим десятичным дробям относятся бесконечные десятичные дроби, не содержащие точки после запятой, т.е повторяющаяся группа чисел.

Иногда непериодические дроби очень похожи на периодические. Например, 9,03003000300003. на первый взгляд имеет период, но подробный анализ десятичных знаков подтверждает, что это все же непериодическая дробь. С такими цифрами нужно быть очень осторожным.

Непериодические дроби — это иррациональные числа. Они не преобразуются в правильные дроби.

Преобразование десятичных дробей

Чтобы без проблем запутать вас в формулировках, важно знать, как переводить десятичные дроби в другие виды. Теперь давайте учиться!

Как перевести десятичную дробь в проценты

Уже в пятом классе математические задачи предполагают, что дроби каким-то образом связаны с процентами. И это правда: процент — это одна сотая часть любого числа, обозначаемого знаком %.

1% = 1/100 = 0,01

Чтобы научиться преобразовывать проценты в дроби, уберите знак % и разделите наше число на 100, как в примере выше.

А чтобы преобразовать десятичную дробь в проценты, умножьте дробь на 100 и добавьте знак %. Возьмем пример:

0,15 = 0,15 100 % = 15%.

выразить дробь в процентах несложно: сначала преобразуйте ее в десятичную дробь, а затем используйте предыдущее правило.

2/5 = 0,4
0,4 100 % = 40%

8/25 = 0,32
0,32 100% = 32%

Чтобы разрезать торт на равные кусочки и не обидеть гостей, нужно просто помнить о соотношении частей и целого. Визуальная табличка — наш друг-помощник:

Преобразование десятичных дробей

Быстрое напоминание:

Десятичное число — это число с остатком, где остаток идет после целой части и отделяется запятыми.

Смешанная дробь – это тоже число с остатком, но остаток записывается как простая дробь (через дефис).

Для преобразования десятичных дробей в смешанные дроби не нужно запоминать специальные алгоритмы. Достаточно понять определения и правильно прочитать заданную дробь — этим занимаются школьники в 5 классе. Теперь давайте практиковаться!

Пример 1. Преобразовать 5,4 в смешанное число.

Как мы решаем:

1. Прочитайте вслух: пять целых четыре. «Четыре десятых» предполагает, что в числителе будет 4, а в знаменателе — 10. В смешанном виде эта дробь выглядит так: 5 4/10.
2. А теперь уменьшаем числитель и знаменатель на два (потому что можем) и получаем: 5 2/5.

Ответ: 5,4 = 5 2/5.

Пример 2. Преобразование 4,005 в смешанное число.

Как мы решаем:

1. Прочтите вслух: четыре целых пять тысячных. Итак, 5 идет в числитель, а 1000 идет в знаменатель. В смешанном виде получается так: 4 5/1000. После редукции: 4 1/200.

Ответ: 4,005 = 4 1/200.

Пример 3. Преобразовать 5,60 в смешанное число.

Как мы решаем:

1. Прочтите вслух: пять целых шестьдесят сотых. Отправляем 60 в числитель и 100 в знаменатель. В смешанном виде дробь составляет: 5 60/100.
2. Уменьшим дробь на 10 и получим 5 6/10. А можно запомнить свойство десятичной дроби и просто отбросить нули в числителе и знаменателе.

Ответ: 5,60 = 5 6/10.

Как перевести десятичную дробь в обыкновенную

Не будем изобретать велосипед и рассмотрим самый простой способ преобразования десятичной дроби в обычную. Вот как это сделать:

1. Перепишем исходную дробь в новом виде: в числителе поставим исходную десятичную дробь, а в знаменателе единицу. Например:
   • 0,35 = 0,35/1
   • 2,34 = 2,34/1
2. Умножьте числитель и знаменатель на 10 столько раз, чтобы в числителе исчезла запятая. При этом после каждого умножения запятая в числителе сдвигается вправо на один знак, а в знаменателе соответственно добавляются нули. Пример проще:
   • 0,35 = 0,35/1 = 3,5/10 = 35/100
   • 2,34 = 2,34/1 = 23,4/10 = 234/100
3. А теперь уменьшаем — то есть делим числитель и знаменатель на кратные им:
   • 0,35 = 35/100, делим числитель и знаменатель на пять, получаем 6/20, снова делим на 2, получаем окончательный ответ 3/10.
   • 2,34 = 234/100 = 117/50 = 2·17/50.

Не забывайте про минус в ответе, если пример был про отрицательное число. Очень раздражающий баг!

Действия с десятичными дробями

С десятичными дробями можно производить те же действия, что и с любым другим числом. Рассмотрим самые распространенные на простых примерах.

Как разделить десятичную дробь на натуральное число

1. Разделите целую часть десятичной дроби на это число.
2. Поставьте запятую в частном и продолжите расчет как при обычном делении.

Пример 1. Разделить 4,8 на 2.

Как мы решаем:

1. Рекордное деление для угла.
2. Разделите всю часть на два. Запишите результат в виде частного и поставьте запятую.
3. Умножьте частное на делитель, запишите, посмотрите на остаток от деления. Но мы еще не закончили, поэтому остальные «нолики» не записываем. Отнимите 8 и разделите на 2.
4. Делимся снова. Запишем получившуюся 4 в частное и умножим на делитель:

Ответ: 4,8:2 = 2,4.

Пример 2: Разделите 183,06 на 45.

Как мы решаем:

1. Рекордное деление для угла.
2. Разделите целую часть 183 на 45. Результат запишите, в частном поставьте запятую.
3. Запишите результат разности 183 и 180. Вычтите 0. Запишите 0 в частное, чтобы вычесть 6.
4. Запишите результат разницы между 306 и 270. 36 не делится на 45, поэтому прибавьте ноль и получите разницу.

Ответ: 183,06:45=4,068.

Как разделить десятичную дробь на обыкновенную

Чтобы разделить десятичную дробь на правильную или смешанную дробь, вы должны представить десятичную дробь как правильную дробь, а смешанное число записать как неправильную дробь.

Пример 1. Разделить 0,25 на 3/4.

Как мы решаем:

1. Запишите 0,25 в виде дроби: 0,25 = 25/100.
2. Разделите дробь по правилам:

Ответ: 0,25: 3/4 = 1/3.

Пример 2. Разделите 2,55 на 1 1/3.

Как мы решаем:

1. Запишите 2,55 в виде дроби: 2,55 = 255/1000.
2. Запишите 1 1/3 в виде правильной дроби: 1 1/3 = 4/3.
3. Разделите дробь по правилам:

Ответ: 2,55: 1 1/3 = 1 73/80.

Как умножить десятичную дробь на обыкновенную

Для умножения десятичной дроби на обыкновенную или смешанную используют два правила для 6 класса. Сначала десятичную дробь приводим к виду обыкновенной дроби и затем умножаем на нужное число. Во втором случае приводим обыкновенную или смешанную дробь к десятичной и соответственно умножаем.

Пример 1. Умножить 2/5 на 0,8.

Как мы решаем:

1. Запишите 0,8 в виде дроби: 0,8 = 8/10.
2. Умножаем по правилам: 2/5 ∗ 8/10 = 2/5 ∗ 4/5 = 8/25 = 0,32.

Ответ: 2/5 * 0,8 = 0,32.

Пример 2: Умножьте 0,28 на 6 1/4.

Как мы решаем:

1. Запишите 6 1/4 в виде десятичной дроби: 6 1/4 = 6,25.
2. Умножаем по правилам: 0,28*6,25=0,8.

Ответ: 0,28 * 6 1/4 = 0,8.

Положение десятичных дробей на оси координат

Вы можете указать точное соответствие между завершающим десятичным знаком и точкой на оси координат. Разберемся, как отметить на оси точку, которая будет точно соответствовать нужной десятичной дроби.

Мы уже изучили, как строить точки, соответствующие обыкновенным дробям, и к этому виду можно привести десятичные дроби. Например, обыкновенная дробь 1410 такая же, как 1,4, поэтому соответствующая ей точка будет точно на таком же расстоянии от начала координат в положительном направлении:

Можно обойтись без замены десятичной дроби на обычную, а взять за основу метод разложения цифр. Так что если нам нужно отметить точку, координата которой будет равна 15.4008, мы сначала представим это число в виде суммы 15+0.4+.0008. Для начала откладываем 15 целых единичных отрезков в положительном направлении от начала координат, затем 4 десятых отрезка, а затем 8 десятитысячных отрезка. В результате мы получим координатную точку, которая соответствует дроби 15,4008.

Для бесконечной десятичной дроби лучше использовать именно этот метод, так как он позволяет подойти к нужной точке сколь угодно близко. В некоторых случаях можно построить точное соответствие бесконечной дроби на оси координат: например, 2=1,41421…, и этой дроби можно сопоставить точку на координатном луче, удаленную от 0 на расстояние длина диагонали квадрата, сторона которого будет равна одному разрезу.

Если мы находим не точку на оси, а соответствующую ей десятичную дробь, то эта операция называется десятичным измерением отрезка. Давайте посмотрим, как это сделать правильно.

Допустим, нам нужно попасть из нуля в заданную точку на оси координат (или подобраться как можно ближе в случае бесконечной дроби). Для этого постепенно откладываем единичные отрезки от начала координат, пока не достигнем нужной точки. После целых отрезков, при необходимости, измеряем десятые, сотые и более мелкие части, чтобы соответствие было максимально точным. В результате мы получили десятичную дробь, соответствующую заданной точке на оси координат.

Выше мы показали рисунок с точкой М. Посмотрите на него еще раз: чтобы попасть в эту точку, нужно отмерить один единичный отрезок от нуля и четыре его десятых, так как эта точка соответствует десятичной дроби 1,4.

Если мы не можем попасть в точку в процессе десятичного измерения, значит, ей соответствует бесконечная десятичная дробь.