Десятичный логарифм: основание, свойства, формулы, функция, график

Определение десятичного логарифма

Десятичный логарифм — это логарифм, основанием которого является число 10. Он обозначается как lg и записывается следующим образом:

log y = log10 y = x, для y>0

lg y — решение уравнения y = 10 x. Другими словами, в какую степень (x) нужно возвести число 10, чтобы получить y.

Отношение натурального логарифма

лог х ≈ 0,43429 лог х

Это соотношение получается переносом на новую базу:

потому что ln 10 ≈ 2,30259.

Свойства десятичного логарифма

Характеристики	Формула	Пример
Логарифм умножения	lg (x ⋅ y) = ln x + ln y» data-order=»lg (x ⋅ y) = ln x + ln y»> lg (x ⋅ y) = ln x + ln y	lg (10 ⋅ 100) = lg 10 + lg 100
Делительный логарифм	lg (x / y) = ln x — ln y «данные-порядок=»lg (x / y) = ln x — ln y»>lg(x/y) = ln x — ln y	lg (100 / 10) = lg 100 — lg 10
Степенный логарифм	lg xy = y ⋅ lg x»порядок данных=»lg x y = y ⋅ lg x»>lg ху = у ⋅ lg х	lg 103 = 3 ⋅ lg 10
Корневой логарифм
Производная логарифма
Логарифмический интеграл
Логарифм бесконечности
Логарифм отрицательного числа	lg x не определено, если x<0″ data-order=»lg x не определен, если x<0″ data-colspan=»2″ data-rowspan=»1″>lg x не определено, если x
Логарифм числа 0	лг 0 не определено
Логарифм числа 1	lg 1 = 0″ порядок данных=»lg 1 = 0″data-colspan=»2″ data-rowspan=»1″>lg 1 = 0
Логарифм числа 10	журнал 10 = 1

microexcel.ru

Таблица десятичных логарифмов

х»заказ данных=»x«стиль = «минимальная ширина: 9,2857%; ширина:9,2857%;»>х	х «заказ данных = «lg x«стиль = «минимальная ширина: 15,4762%; ширина:15,4762%;»>lg x	х»заказ данных=»x«стиль = «минимальная ширина: 9,5238%; ширина:9,5238%;»>х	х «заказ данных = «lg x«стиль = «минимальная ширина: 16,9048%; ширина:16,9048%;»>lg x	х»заказ данных=»x«стиль = «минимальная ширина: 9,0476%»; ширина:9,0476%;»>х	х «заказ данных = «lg x«стиль = «минимальная ширина: 14,7619%; ширина:14,7619%;»>lg x	х»заказ данных=»x«стиль = «минимальная ширина: 9,7619%»; ширина:9,7619%;»>х	х «заказ данных = «lg x«стиль = «минимальная ширина: 15,2381%; ширина:15,2381%;»>lg x
1	0	26	1.41497	51	1.70757	76	1.88081
2	0,30103	27	1.43136	52	1716	77	1,88649
3	0,47712	28	1.44716	53	1.72428	78	1.89209
4	0,60206	29	1,4624	54	1.73239	79	1,89763
5	0,69897	тридцать	1.47712	55	1.74036	80	1.90309
6	0,77815	31	1.49136	56	1.74819	81	1.90849
7	0,8451	32	1.50515	57	1,75587	82	1.91381
8	0,90309	33	1.51851	58	1,76343	83	1.91908
9	0,95424	34	1.53148	59	1.77085	84	1.92428
10	1	35	1.54407	60	1.77815	85	1.92942
одиннадцать	1.04139	36	1,5563	61	1,78533	86	1,9345
12	1.07918	37	1,5682	62	1.79239	87	1.93952
1. 3	1.11394	38	1,57978	63	1,79934	88	1,94448
14	1.14613	39	1.59106	64	1.80618	89	1,94939
15	1.17609	40	1.60206	65	1.81291	90	1,95424
16	1.20412	41	1,61278	66	1.81954	91	1.95904
17	1.23045	42	1.62325	67	1.82607	92	1,96379
18	1.25527	43	1,63347	68	1.83251	93	1,96848
19	1,27875	44	1,64345	69	1,83885	94	1,97313
20	1.30103	45	1.65321	70	1,8451	95	1,97772
21	1.32222	46	1,66276	71	1,85126	96	1,98227
22	1.34242	47	1,6721	72	1,85733	97	1,98677
23	1.36173	48	1,68124	73	1,86332	98	1,99123
24	1.38021	49	1,6902	74	1,86923	99	1,99564
25	1.39794	50	1,69897	75	1.87506	100	2

microexcel.ru

х «заказ данных = «lg x«стиль = «минимальная ширина: 12,2449%»; ширина:12,2449%;»>lg x	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
х»заказ данных=»x»>х	10	102	103	104	105	106	107	108	109	1010

График десятичного логарифма

Функция десятичного логарифма задается как y = lg x. Существует только для неотрицательных значений x. Схема выглядит так:

Читайте также: Фонетика греческого языка

Десятичный, натуральный и другие логарифмы

Число А, возведенное в определенную степень, называется основанием логарифма. Самые популярные среди математиков логарифмы — десятичные и натуральные.

Десятичный логарифм — это когда основанием логарифма является число 10. Наша задача в данном случае — найти степень возведения 10, чтобы получить искомое число. Обозначается как lg:

Натуральный логарифм имеет аналогичную структуру, но вместо десяти основанием логарифма является число e, которое приблизительно равно 2,71828 и называется числом Эйлера. В математике число е играет такую ​​же важную роль, как число пи в геометрии, поэтому логарифмирование числа по основанию е часто встречается во многих математических расчетах и ​​доказательствах.

Натуральный логарифм обозначается следующим образом — ln:

Логарифмическая шкала

Если мы возьмем прямую и отметим на ней точки через каждый сантиметр, то получим арифметическую шкалу. Арифметика — потому что каждая новая отметка считается арифметической операцией — сложением шага и предыдущего значения:

Но если вместо сложения взять логарифм, скажем, по основанию 10, то каждая новая отметка будет зависеть от значения десятичного логарифма:

Выглядит странно, но логарифмическая шкала постоянно используется в финансах и маркетинге, когда нужно оценить рост или падение стоимости продукта. Если взять обычную арифметическую шкалу, то разница между парами (1, 2) и (9, 10) будет одинаковой — 1 балл.

Но при этом в первом случае цена увеличилась в 2 раза, с 1 до 2, а во втором случае всего на 10%. При логарифмическом масштабе рост цены будет выглядеть логичнее:

Как решать примеры с логарифмами?

Рассмотрим пример решения логарифма:

Задаем вопрос: в какой степени нужно возвести 7, чтобы получилось 49?

Ответ: во второй степени. Фонды, .

Свойства и формулы логарифмов

1. Эта формула называется основным логарифмическим тождеством.

   Пример: .

2. Пример: .
3. Пример: .
4. Логарифм степени находится по формуле: .

   Вы можете видеть, что показатель степени вынесен перед логарифмом.

   Пример: .

5. Показатель степени основания числа тоже выносится перед логарифмом, но в виде обратного числа, то есть, например, вместо 5 будет .

   Пример: .

6. Если вам необходимо переехать на другую базу, это можно сделать по формуле: . Свойство называется формулой перехода к новому основанию.
7. А частным случаем предыдущей формулы является формула, позволяющая поменять местами основание и аргумент логарифма: .

Конечно, это не все свойства логарифмов, а только самые важные. Комбинируя вышеперечисленные свойства, можно получить все больше и больше формул для логарифмов. Например, объединяя формулы 4 и 5, мы получаем Но заучивать его нет смысла, важно знать только основные свойства логарифмов.

Применение логарифмических свойств в примерах

Пример 1

Найдите значение выражения, если .

Если в показателе степени логарифма вы видите частное, запишите его по формуле 3: .

Решение

Каждый логарифм имеет в показателе степень, а значит, поможет четвертая формула:

Первый логарифм можно вычислить по определению. И обратите внимание на второй логарифм: у него по основанию а, а в условии задачи дан логарифм по основанию b, значит, надо как-то заменить а на b. Конечно, формула 7 в помощь!

Подставьте числовое значение из условия, и все готово:

Отличный пример! Мы использовали почти все свойства логарифмов. Теперь вы еще немного потренируетесь, но помните, что это сложная задача!

Пример 2

Рассчитать: .

Вы получили ответ 27? Если да, то поздравляю: вы попались на самые популярные ошибки! Какая бы задача перед вами ни стояла, операции с логарифмами следует производить только по определениям и правилам. В примере вы видите деление двух логарифмов. Есть ли формула деления двух логарифмов?

Разумеется, это формула перехода к новому дну, которую мы приводили в разделе 6 выше. Применим его к этому случаю и посчитаем логарифм по определению, задав вопрос: в какую степень надо возвести основание, чтобы получить показатель степени

И ответ 4, а не 27.

Практическое применение логарифмов

Помните, мы говорили выше, что логарифм сочетает в себе задачи для экзаменов, галактики и рога горного козла? И если с баллами по ЕГЭ все понятно, то про галактики и рога — интереснее.

Дело в том, что это логарифмическая спираль, которая задается формулой: . По этой логарифмической спирали растут рога горных козлов, закручиваются многие галактики (и даже та, в которой мы живем), а также чешуя некоторых морских животных, усики растений, ураганы, смерчи и многое другое.

Как видите, логарифмы имеют большое значение в нашей жизни, а не только результаты экзаменов!

Зачем нужны логарифмы в жизни

Вокруг нас и в повседневной жизни мы сталкиваемся с гораздо большим количеством логарифмов, чем кажется. Вот некоторые примеры.

Децибелы, где измеряется относительная громкость любого звука, рассчитываются с использованием десятичного логарифма. Относительный — потому что рассчитывается от минимального порога громкости, который человек может только слышать. Например, если громкость звука 20 децибел, это значит, что он в 100 раз громче самого тихого, а если 30 децибел, то в 1000 раз.

В химии активность ионов водорода также оценивают по логарифмической шкале.

Выдержки и диафрагмы в фотографии тоже изменяются логарифмически — каждое новое значение больше или меньше предыдущего в определенное количество раз.

В ракетостроении уравнение Циолковского используется для расчета скорости ракеты. Это уравнение основано на логарифмической зависимости массы ракеты с топливом и без него.

Логарифмы в природе

Большинство логарифмов можно найти в природе в виде логарифмической спирали. Математическая формула спирали выглядит так:

Если мы хотим нарисовать это уравнение, оно будет выглядеть так:

Логарифмическая спираль в математике.

А вот логарифмическая спираль в природе — в ракушках, подсолнухах и капусте. С капустой все же связана еще одна интересная тема — фракталы, но о них мы поговорим в другой раз.

Даже рога горных козлов закручиваются по логарифмической спирали: