- Определение десятичного логарифма
- Свойства десятичного логарифма
- Таблица десятичных логарифмов
- График десятичного логарифма
- Десятичный, натуральный и другие логарифмы
- Логарифмическая шкала
- Как решать примеры с логарифмами?
- Свойства и формулы логарифмов
- Применение логарифмических свойств в примерах
- Пример 1
- Пример 2
- Практическое применение логарифмов
- Зачем нужны логарифмы в жизни
- Логарифмы в природе
Определение десятичного логарифма
Десятичный логарифм — это логарифм, основанием которого является число 10. Он обозначается как lg и записывается следующим образом:
log y = log10 y = x, для y>0
lg y — решение уравнения y = 10 x. Другими словами, в какую степень (x) нужно возвести число 10, чтобы получить y.
Отношение натурального логарифма
лог х ≈ 0,43429 лог х
Это соотношение получается переносом на новую базу:
потому что ln 10 ≈ 2,30259.
Свойства десятичного логарифма
Характеристики | Формула | Пример |
Логарифм умножения | lg (x ⋅ y) = ln x + ln y» data-order=»lg (x ⋅ y) = ln x + ln y»> lg (x ⋅ y) = ln x + ln y | lg (10 ⋅ 100) = lg 10 + lg 100 |
Делительный логарифм | lg (x / y) = ln x — ln y «данные-порядок=»lg (x / y) = ln x — ln y»>lg(x/y) = ln x — ln y | lg (100 / 10) = lg 100 — lg 10 |
Степенный логарифм | lg xy = y ⋅ lg x»порядок данных=»lg x y = y ⋅ lg x»>lg ху = у ⋅ lg х | lg 103 = 3 ⋅ lg 10 |
Корневой логарифм | ||
Производная логарифма | ||
Логарифмический интеграл | ||
Логарифм бесконечности | ||
Логарифм отрицательного числа | lg x не определено, если x<0″ data-order=»lg x не определен, если x<0″ data-colspan=»2″ data-rowspan=»1″>lg x не определено, если x | |
Логарифм числа 0 | лг 0 не определено | |
Логарифм числа 1 | lg 1 = 0″ порядок данных=»lg 1 = 0″data-colspan=»2″ data-rowspan=»1″>lg 1 = 0 | |
Логарифм числа 10 | журнал 10 = 1 |
microexcel.ru
Таблица десятичных логарифмов
х»заказ данных=»x«стиль = «минимальная ширина: 9,2857%; ширина:9,2857%;»>х | х «заказ данных = «lg x«стиль = «минимальная ширина: 15,4762%; ширина:15,4762%;»>lg x | х»заказ данных=»x«стиль = «минимальная ширина: 9,5238%; ширина:9,5238%;»>х | х «заказ данных = «lg x«стиль = «минимальная ширина: 16,9048%; ширина:16,9048%;»>lg x | х»заказ данных=»x«стиль = «минимальная ширина: 9,0476%»; ширина:9,0476%;»>х | х «заказ данных = «lg x«стиль = «минимальная ширина: 14,7619%; ширина:14,7619%;»>lg x | х»заказ данных=»x«стиль = «минимальная ширина: 9,7619%»; ширина:9,7619%;»>х | х «заказ данных = «lg x«стиль = «минимальная ширина: 15,2381%; ширина:15,2381%;»>lg x |
1 | 0 | 26 | 1.41497 | 51 | 1.70757 | 76 | 1.88081 |
2 | 0,30103 | 27 | 1.43136 | 52 | 1716 | 77 | 1,88649 |
3 | 0,47712 | 28 | 1.44716 | 53 | 1.72428 | 78 | 1.89209 |
4 | 0,60206 | 29 | 1,4624 | 54 | 1.73239 | 79 | 1,89763 |
5 | 0,69897 | тридцать | 1.47712 | 55 | 1.74036 | 80 | 1.90309 |
6 | 0,77815 | 31 | 1.49136 | 56 | 1.74819 | 81 | 1.90849 |
7 | 0,8451 | 32 | 1.50515 | 57 | 1,75587 | 82 | 1.91381 |
8 | 0,90309 | 33 | 1.51851 | 58 | 1,76343 | 83 | 1.91908 |
9 | 0,95424 | 34 | 1.53148 | 59 | 1.77085 | 84 | 1.92428 |
10 | 1 | 35 | 1.54407 | 60 | 1.77815 | 85 | 1.92942 |
одиннадцать | 1.04139 | 36 | 1,5563 | 61 | 1,78533 | 86 | 1,9345 |
12 | 1.07918 | 37 | 1,5682 | 62 | 1.79239 | 87 | 1.93952 |
1. 3 | 1.11394 | 38 | 1,57978 | 63 | 1,79934 | 88 | 1,94448 |
14 | 1.14613 | 39 | 1.59106 | 64 | 1.80618 | 89 | 1,94939 |
15 | 1.17609 | 40 | 1.60206 | 65 | 1.81291 | 90 | 1,95424 |
16 | 1.20412 | 41 | 1,61278 | 66 | 1.81954 | 91 | 1.95904 |
17 | 1.23045 | 42 | 1.62325 | 67 | 1.82607 | 92 | 1,96379 |
18 | 1.25527 | 43 | 1,63347 | 68 | 1.83251 | 93 | 1,96848 |
19 | 1,27875 | 44 | 1,64345 | 69 | 1,83885 | 94 | 1,97313 |
20 | 1.30103 | 45 | 1.65321 | 70 | 1,8451 | 95 | 1,97772 |
21 | 1.32222 | 46 | 1,66276 | 71 | 1,85126 | 96 | 1,98227 |
22 | 1.34242 | 47 | 1,6721 | 72 | 1,85733 | 97 | 1,98677 |
23 | 1.36173 | 48 | 1,68124 | 73 | 1,86332 | 98 | 1,99123 |
24 | 1.38021 | 49 | 1,6902 | 74 | 1,86923 | 99 | 1,99564 |
25 | 1.39794 | 50 | 1,69897 | 75 | 1.87506 | 100 | 2 |
microexcel.ru
х «заказ данных = «lg x«стиль = «минимальная ширина: 12,2449%»; ширина:12,2449%;»>lg x | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
х»заказ данных=»x»>х | 10 | 102 | 103 | 104 | 105 | 106 | 107 | 108 | 109 | 1010 |
График десятичного логарифма
Функция десятичного логарифма задается как y = lg x. Существует только для неотрицательных значений x. Схема выглядит так:
Читайте также: Фонетика греческого языка
Десятичный, натуральный и другие логарифмы
Число А, возведенное в определенную степень, называется основанием логарифма. Самые популярные среди математиков логарифмы — десятичные и натуральные.
Десятичный логарифм — это когда основанием логарифма является число 10. Наша задача в данном случае — найти степень возведения 10, чтобы получить искомое число. Обозначается как lg:
Натуральный логарифм имеет аналогичную структуру, но вместо десяти основанием логарифма является число e, которое приблизительно равно 2,71828 и называется числом Эйлера. В математике число е играет такую же важную роль, как число пи в геометрии, поэтому логарифмирование числа по основанию е часто встречается во многих математических расчетах и доказательствах.
Натуральный логарифм обозначается следующим образом — ln:
Логарифмическая шкала
Если мы возьмем прямую и отметим на ней точки через каждый сантиметр, то получим арифметическую шкалу. Арифметика — потому что каждая новая отметка считается арифметической операцией — сложением шага и предыдущего значения:
Но если вместо сложения взять логарифм, скажем, по основанию 10, то каждая новая отметка будет зависеть от значения десятичного логарифма:
Выглядит странно, но логарифмическая шкала постоянно используется в финансах и маркетинге, когда нужно оценить рост или падение стоимости продукта. Если взять обычную арифметическую шкалу, то разница между парами (1, 2) и (9, 10) будет одинаковой — 1 балл.
Но при этом в первом случае цена увеличилась в 2 раза, с 1 до 2, а во втором случае всего на 10%. При логарифмическом масштабе рост цены будет выглядеть логичнее:
Как решать примеры с логарифмами?
Рассмотрим пример решения логарифма:
Задаем вопрос: в какой степени нужно возвести 7, чтобы получилось 49?
Ответ: во второй степени. Фонды, .
Свойства и формулы логарифмов
- Эта формула называется основным логарифмическим тождеством.
Пример: .
- Пример: .
- Пример: .
- Логарифм степени находится по формуле: .
Вы можете видеть, что показатель степени вынесен перед логарифмом.
Пример: .
- Показатель степени основания числа тоже выносится перед логарифмом, но в виде обратного числа, то есть, например, вместо 5 будет .
Пример: .
- Если вам необходимо переехать на другую базу, это можно сделать по формуле: . Свойство называется формулой перехода к новому основанию.
- А частным случаем предыдущей формулы является формула, позволяющая поменять местами основание и аргумент логарифма: .
Конечно, это не все свойства логарифмов, а только самые важные. Комбинируя вышеперечисленные свойства, можно получить все больше и больше формул для логарифмов. Например, объединяя формулы 4 и 5, мы получаем Но заучивать его нет смысла, важно знать только основные свойства логарифмов.
Применение логарифмических свойств в примерах
Пример 1
Найдите значение выражения, если .
Если в показателе степени логарифма вы видите частное, запишите его по формуле 3: .
Решение
Каждый логарифм имеет в показателе степень, а значит, поможет четвертая формула:
Первый логарифм можно вычислить по определению. И обратите внимание на второй логарифм: у него по основанию а, а в условии задачи дан логарифм по основанию b, значит, надо как-то заменить а на b. Конечно, формула 7 в помощь!
Подставьте числовое значение из условия, и все готово:
Отличный пример! Мы использовали почти все свойства логарифмов. Теперь вы еще немного потренируетесь, но помните, что это сложная задача!
Пример 2
Рассчитать: .
Вы получили ответ 27? Если да, то поздравляю: вы попались на самые популярные ошибки! Какая бы задача перед вами ни стояла, операции с логарифмами следует производить только по определениям и правилам. В примере вы видите деление двух логарифмов. Есть ли формула деления двух логарифмов?
Разумеется, это формула перехода к новому дну, которую мы приводили в разделе 6 выше. Применим его к этому случаю и посчитаем логарифм по определению, задав вопрос: в какую степень надо возвести основание, чтобы получить показатель степени
И ответ 4, а не 27.
Практическое применение логарифмов
Помните, мы говорили выше, что логарифм сочетает в себе задачи для экзаменов, галактики и рога горного козла? И если с баллами по ЕГЭ все понятно, то про галактики и рога — интереснее.
Дело в том, что это логарифмическая спираль, которая задается формулой: . По этой логарифмической спирали растут рога горных козлов, закручиваются многие галактики (и даже та, в которой мы живем), а также чешуя некоторых морских животных, усики растений, ураганы, смерчи и многое другое.
Как видите, логарифмы имеют большое значение в нашей жизни, а не только результаты экзаменов!
Зачем нужны логарифмы в жизни
Вокруг нас и в повседневной жизни мы сталкиваемся с гораздо большим количеством логарифмов, чем кажется. Вот некоторые примеры.
Децибелы, где измеряется относительная громкость любого звука, рассчитываются с использованием десятичного логарифма. Относительный — потому что рассчитывается от минимального порога громкости, который человек может только слышать. Например, если громкость звука 20 децибел, это значит, что он в 100 раз громче самого тихого, а если 30 децибел, то в 1000 раз.
В химии активность ионов водорода также оценивают по логарифмической шкале.
Выдержки и диафрагмы в фотографии тоже изменяются логарифмически — каждое новое значение больше или меньше предыдущего в определенное количество раз.
В ракетостроении уравнение Циолковского используется для расчета скорости ракеты. Это уравнение основано на логарифмической зависимости массы ракеты с топливом и без него.
Логарифмы в природе
Большинство логарифмов можно найти в природе в виде логарифмической спирали. Математическая формула спирали выглядит так:
Если мы хотим нарисовать это уравнение, оно будет выглядеть так:
Логарифмическая спираль в математике.
А вот логарифмическая спираль в природе — в ракушках, подсолнухах и капусте. С капустой все же связана еще одна интересная тема — фракталы, но о них мы поговорим в другой раз.
Даже рога горных козлов закручиваются по логарифмической спирали: