Длина дуги калькулятор и формулы

Основные свойства окружности

1. Диаметр окружности равен двум радиусам.

Д = 2р

2. Кратчайшее расстояние от центра окружности до секущей (хорды) всегда меньше радиуса.3. Через три точки, не лежащие на одной прямой, можно провести только одну окружность 4. Среди всех замкнутых кривых одинаковой длины наибольшую площадь имеет окружность.5. Если две окружности касаются в точке, то эта точка лежит на прямой, проходящей через центры этих окружностей.

Уравнение окружности

1. Уравнение окружности радиусом r с центром в начале декартовой системы координат:

г2 = х2 + у2

2. Уравнение окружности радиусом r с центром в точке с координатами (a, b) в декартовой системе координат:

г2 = (х — а)2 + (у — Ь)2

3. Параметрическое уравнение окружности радиусом r с центром в точке с координатами (a, b) в декартовой системе координат:

{	х = а + г кос т
y = b + r злой

Касательная окружности и ее свойства

Определение: Касательная к окружности – это прямая линия, которая касается окружности только в одной точке.

Секущая окружности и ее свойства

Определение: секущей окружности называется прямая, проходящая через две точки окружности.

Хорда окружности ее длина и свойства

Определение: Хорда окружности – это отрезок, соединяющий две точки окружности.

Длина хорды

1. Длина хорды через центральный угол и радиус:

АВ = 2r sin α2

2. Длина хорды через вписанный угол и радиус:

АВ = 2r sin α

Основные свойства хорд

1. Две одинаковые хорды образуют две одинаковые дуги:

если хорды AB = CD, то

дуги ◡ AB = ◡ CD

2. Если хорды параллельны, дуги между ними будут одинаковыми:

если хорды AB ∣∣ CD, то

◡АД = ◡БК

3. Если радиус окружности перпендикулярен хорде, он делит хорду пополам в точке пересечения:

если OD ┴ AB, то

АС=ВС

4. Если две хорды AB и CD пересекаются в точке Q, то произведение отрезков, образованных в точке пересечения одной хорды, равно произведению отрезков другой хорды:

AQ ∙ BQ = DQ ∙ QC

5. Хорды ​​одинаковой длины находятся на одинаковом расстоянии от центра окружности.

если хорды AB = CD, то

ВКЛ = ОК

6. Чем больше хорда, тем ближе она к центру.

если CD > AB, то

ВКЛ < ОК

Читайте также: Что такое вектор, как найти длину?

Центральный угол, вписанный угол и их свойства

Определение Центральный угол окружности – это угол, вершина которого является центром окружности. Определение Вписанный в окружность угол – это угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны угла пересекают окружность.

Основные свойства углов

1. Все вписанные углы, зависящие от одной дуги, равны.
2. Вписанный угол, опирающийся на диаметр, будет прямым (90°).
3. Вписанный угол равен половине центрального угла, который зависит от той же дуги

β = α2

4. Если два вписанных угла опираются на одну хорду и лежат по разные стороны от нее, то сумма этих углов равна 180°.

α + β = 180°

Определение Дуга окружности (◡) — это часть окружности, соединяющая две точки на окружности. Определение Градусная мера дуги — это угол между двумя радиусами, ограничивающими эту дугу. Градусная мера дуги всегда равна градусной мере центрального угла, ограничивающего эту дугу со сторонами.
Формула длины дуги через центральный угол (в градусах):

l = πr180°∙α

Определение.Полуокружность — дуга, концы которой соединены диаметром окружности.Определение.Полуокружность (◓) — часть окружности, ограниченная полуокружностью и диаметром.Определение.Сектор (◔) — часть окружности, ограниченная два радиуса и дуга между этими радиусами.
Формула. Формула площади сектора в виде центрального угла (в градусах)

S = πr2360°∙α

Определение. Отрезок – это часть окружности, ограниченная дугой и хордой, соединяющей концы. Определение. Концентрические окружности — это окружности с разными радиусами, имеющими общий центр. Определение. Кольцо — это часть плоскости, ограниченная двумя концентрическими окружностями.

Длина дуги через радиус и угол между ними

{P= dfrac{pi r alpha}{180степень}}

Радиус дуги (r) мм, мм Угол α, градусы (°), радианы (рад) Результат: мм, мм Десятичные разряды: 0 (целое число) 12345678910 ВЫЧИСЛИТЬ

Формула длины дуги окружности

{P= dfrac{pi r alpha}{180степень}}, где

r — радиус дуги, α — угол.

Длина дуги по формуле Гюйгенса

{P= 2l+dfrac{2l-L}{3}}

Формула Гюйгенса для длины дуги окружности

{P= 2l+dfrac{2l-L}{3}}, где

l и L — аккорды.

Просмотров страниц: 21610

Пример

Например, посчитаем, чему равна длина дуги окружности с радиусом r = 2 см и центральным углом α = 45° :

L = 3,14 ⋅ 2 ⋅ 45/180 = 6,28 ⋅ 0,25 = 1,57 см

Определение дуги сектора круга

Дуга – это отрезок между двумя точками на окружности.

Дуга сектора окружности – это пересечение двух точек на окружности, которое получается в результате пересечения этой окружности с двумя радиусами, образующими сектор окружности.

На рисунке ниже: AB — дуга зеленого сектора окружности радиусом R (или r).

• ОА=ОВ=R(r);
• α — угол сектора или центральный угол.

Формулы для нахождения длины дуги сектора

Через центральный угол в градусах и радиус

Длина (L) секторной дуги равна числу π, умноженному на радиус окружности (r), умноженному на центральный угол в градусах (α°), деленному на 180°.

Примечание. В расчете используется π, что примерно равно 3,14.

Через угол сектора в радианах и радиус

Длина (L) дуги сектора равна произведению радиуса (r) и центрального угла, выраженного в радианах (рад).

Примеры задач

упражнение 1
Дана окружность радиусом 15 см. Найдите длину дуги сектора, угол которого равен 30°.

Решение
Воспользуемся формулой расчета, в которой используется центральный угол в градусах:

Задача 2
Длина дуги сектора равна 24 см. Найдите его угол (в радианах и градусах), если радиус окружности равен 12 см.

Решение
Сначала посчитаем угол в радианах:

1 радиан ≈ 57,2958°

Следовательно, центральный угол составляет примерно 114,59 ° (2 рад ⋅ 57,2958°).

Формулы вычисления параметров сегмента

Площадь сегмента:

1
Длина дуги:

Длина хорды:

Высота сегмента:

Сегмент

Но, как справедливо заметил наш пользователь: «на практике часто бывает, что и радиус дуги, и угол неизвестны» (см длину дуги).

Параметры сегмента по хорде и высоте

Калькулятор вычисляет радиус окружности по длине хорды и высоте отрезка по следующей формуле:

Кроме того, зная радиус и длину хорды, легко найти угол отрезка по формуле:

Остальные параметры сегмента рассчитываются так же, как и первый калькулятор, по формулам, приведенным в начале статьи.

Площадь сегмента круга по радиусу и высоте

Этот калькулятор вычисляет угол по высоте и радиусу по следующей формуле:

затем формула 1 используется для получения площади.