Элементарные преобразования матрицы

Общие сведения о матрицах

Матрица представляет собой прямоугольный массив действительных чисел. Порядок матрицы — это количество строк и столбцов. Например, если матрица содержит 3 строки и 2 столбца, порядок будет 3 × 2. Матрицы обычно отображаются с элементами матрицы, заключенными в квадратные скобки:

Обозначение: Матрица помечается заглавной буквой. Элементы отмечены строчными буквами. Подстроки указывают номер строки и столбца элемента. Например, aij — элемент i-й строки и j-го столбца матрицы A.

На следующей диаграмме показана матрица i × j с отдельными элементами в каждой ячейке матрицы.

Матричные операции

В этом разделе описываются основные операции, определенные в массивах.

Добавление. Сумма A + B двух матриц получается путем сложения соответствующих элементов A и B:

A + B = a*ij* + b*ij* = a*ij* + b*ij*

Скалярное умножение. Эта операция умножает матрицу на действительное число. Для действительного числа k скалярное произведение получается путем умножения каждого элемента A на k.

kA = ka*ij* = k × a*ij*

Умножение матриц. Для двух матриц A и B порядка (m × n) и (n × p) произведение C = A × B представляет собой матрицу порядка (m × p), определяемую следующим образом:

или эквивалент:

c*ij* = a*i*1 x b1*j* + a*i*2 x b2*j* +… + a*in* + b*nj*

То есть, чтобы вычислить каждый элемент cij, сделайте следующее.

1. Возьмите i-ю строку A и J-й столбец B.
2. Умножьте каждую пару элементов в строке и столбце: запись в первой строке на запись в первом столбце, запись во второй строке на запись во втором столбце и т д
3. Резюме результата.

Ниже приведен пример умножения матрицы (2×2) на матрицу (2×3).

Умножение матриц не является коммутативным. То есть A × B ≠ B × A. Кроме того, из определения следует, что не всякую пару матриц можно перемножать. Количество столбцов в левой матрице должно быть равно количеству строк в правой матрице. В противном случае оператор × не определен.

Определение матрицы. Единичная матрица, обозначенная I, представляет собой квадратную матрицу, определяемую следующим образом:

I*ij* = 1, если *i* = *j*, или 0 в противном случае.

Другими словами, единичная матрица содержит 1 для каждого элемента, где номер строки равен номеру столбца, и ноль для всех остальных элементов. Например, вот массив идентификаторов 3×3.

Для любой матрицы M хранятся следующие равные значения.

МхИ=МИхМ=М

Читайте также: Площадь параллелограмма — как ее найти по формуле

Некоторые теоретические сведения

Транспозиция — это операция, при которой строки и столбцы матрицы меняются местами: aTij = aji

Главная диагональ квадратной матрицы — это диагональ, проходящая через левый верхний и правый нижний углы. Элементы главной диагонали — aii

Единичная матрица один × n представляет собой квадратную матрицу с n столбцами и n строками с единицами на главной диагонали и нулями за ее пределами.

Ранг — это максимальное количество линейно независимых строк (столбцов) в этой матрице. Обозначение: ранг(А)

След представляет собой сумму элементов на главной диагонали. Обозначение: tr(A) или track(A)

Умножение матрицы на число — это матрица той же размерности, что и исходная, где каждый элемент является произведением соответствующего элемента исходной матрицы на заданное число.

Возведение в степень — это умножение данной матрицы на саму себя n раз, где n — степень, в которую нужно возвести исходную матрицу. Обозначение: Ан

Обратная матрица A−1 — это матрица, произведение которой на исходную матрицу A равно единичной матрице: A-1×A = A×A-1 = E

Треугольная матрица – это квадратная матрица, имеющая нули выше (верхняя треугольная матрица) или ниже (нижняя треугольная матрица) главной диагонали.

LU-разложение — это представление матрицы в виде произведения двух матриц L и U, где L — нижняя треугольная матрица с единичной диагональю, а U — верхняя треугольная матрица. А = ЛУ

Сложение матриц An×m и Bn×m представляет собой матрицу размера Cn×m, полученную попарной суммой соответствующих элементов матриц A и B, то есть каждый элемент матрицы C равен: сij=aij+bij

Разностью матриц An×m и Bn×m называется матрица Cn×m, полученная попарной разностью соответствующих элементов матриц A и B, то есть каждый элемент матрицы C равен: сij=aij — к

Умножение матриц An×k и Bk×m представляет собой матрицу размера Cn×m, элемент которой (cij) равен сумме произведений элементов i-й строки матрицы A и соответствующих элементов j-го столбца матрицы B: cij = ai1 b1j + ai2 b2j +… + aik bkj

Определение и виды элементарных преобразований

Элементарными преобразованиями матрицы являются те, которые сохраняют эквивалентность матриц (из-за этого их часто называют эквивалентными). Иными словами, такие преобразования не меняют множество решений СЛАУ, представленное этой матрицей.

Элементарные преобразования используются в методе Гаусса для приведения матрицы к треугольной или ступенчатой ​​форме.

Элементарные преобразования:

• переключение двух струн;
• умножить любую строку на ненулевую константу;
• сумма любых двух строк, одна из которых умножается на конкретное ненулевое число.

Примечание. Аналогичные действия применяются к столбцам матрицы.

Матрицы A и B эквивалентны, если B получается элементарными преобразованиями A (или наоборот). Для обозначения эквивалентности используется специальный символ — «~», т.е. A~B.

Приведение матрицы к простейшему виду

Приведенные выше свойства элементарных преобразований можно переформулировать следующим образом:

1. Для любой матрицы существует набор таких элементарных матриц вида (1.2), (1.4), (1.6), что матрица будет иметь ступенчатый или даже упрощенный вид. В частности, если матрица квадратная, то матрица будет верхней треугольной.

2. Для любой матрицы существует набор элементарных матриц вида (1.1)–(1.6) такой, что матрица будет иметь простейший вид.

Поскольку произведение элементарных матриц является элементарной матрицей, последнее свойство можно сформулировать следующим образом.

Теорема 1.2 о приведении матрицы к простейшему виду. Для любой матрицы величин существуют такие элементарные матрицы и соответственно m-го и n-го порядков, что матрица имеет простейший вид (см рис. 1.6):

(1.7)

где . Матрицы и будем называть матрицами элементарных преобразований.

Алгоритм приведения матрицы к простейшему виду

Для приведения матрицы к простейшему виду (1.7) и нахождения элементарных преобразующих матриц необходимо выполнить следующие действия.

1. Присвоить матрице (размерам) справа и снизу единичные матрицы и соответственно составить блочную матрицу:

(1.8)

Элементы в нижнем правом блоке этой матрицы можно опустить, так как они не участвуют в дальнейших преобразованиях, или считать их равными нулю.

2. С помощью элементарных преобразований, выполняемых над строками и столбцами блочной матрицы, привести верхний левый блок блока к простейшему виду (1.7). В этом случае блочная матрица преобразуется в вид

(1.9)

где – матрица простейшего вида, и – искомые матрицы преобразования, связанные с матрицей равенством (1.7).

Фактически элементарные преобразования (указанные на шаге 2 алгоритма) относятся к первым строкам и первым столбцам блочной матрицы (1.8). Эти преобразования соответствуют умножению матрицы (1.8) слева на матрицу и справа на матрицу , где символом обозначены нулевые матрицы соответствующих величин. Выполняя умножение блочной матрицы, мы получаем

Эта матрица совпадает с (1.9), если . Иными словами, если в результате выполнения элемента 2 алгоритма левый верхний блок матрицы (1.8) привести к простейшему виду, то в остальных блоках матрицы (1.9) получим необходимые матрицы преобразования и .

Пример 1.38. Приведите матрицу к простейшему виду. Найти элементарные матрицы преобразования, удовлетворяющие равенству (1.7).

Решение

Сопоставим матрице справа и снизу единичные матрицы соответствующих размеров

Возьмем в качестве ведущего элемента. Добавьте первую строку ко второй строке:

Прибавляем первое ко второму столбцу, а первое умноженное на (-2) к третьему):

Теперь возьмем в качестве ведущего элемента. К третьей строке добавляем вторую, умноженную на (-1):

Прибавляем второе к третьему столбцу, а второе, умноженное на (-1) к четвертому столбцу):

В результате преобразований вместо исходной матрицы получается матрица

простейшего вида (1.7), а вместо единичных матриц элементарные матрицы преобразования

Проверим равенство, вычислив произведение

который должен отображаться.

Примечания 1.12

1.  Элементарные матрицы преобразований и существуют неоднозначно, так как зависят от выбранной последовательности преобразований.
2.  Если вам нужно найти одну из матриц элементарного преобразования, например, достаточно применить к матрице вышеописанный алгоритм. Выполняя элементарные преобразования над строками матрицы и ее первыми столбцами, входящими в левый блок, получаем матрицу , где – матрица простейшего вида, – искомая матрица. Если необходимо найти одну матрицу, выполняем матричные преобразования .
3.  С учетом свойства 1 элементарных преобразований теорему 1.1 можно сформулировать следующим образом: для любой матрицы размерностей существует элементарная матрица m-го порядка такая, что матрица имеет упрощенный вид (см рис. 1.5).

Для нахождения матрицы необходимо составить блочную матрицу и затем с помощью элементарных преобразований, выполняемых только над строками матрицы, привести левый блок к упрощенному виду. При этом блочная матрица преобразуется в вид , где , — упрощенная матрица (см рис. 1.5), а — искомая элементарная матрица.

1.  Диагональная матрица элементарна.

Пример 1.39. Найдите матрицу элементарного преобразования, приводящую матрицу к упрощенному виду (см рис. 1.5).

Решение

Присвоим матрице справа единичную матрицу порядка 3.

Элементарными преобразованиями строк в блочной матрице приведем левый блок к упрощенному виду. Для этого добавьте первую строку ко второй строке. Затем прибавляем к третьей строке второе, умноженное на (-1), и прибавляем второе к первой строке. В результате преобразований получаем:

Левый блок матрицы имеет упрощенный вид, а правый блок и есть искомая матрица. Проверим равенство, вычислив произведение

Матрица действительно имеет упрощенную форму.

Элементарными преобразованиями строк называют:

• перестановка любых двух строк матрицы;
• умножение на ненулевую константу любой строки матрицы;
• чтобы добавить еще одну строку в матрицу, умноженную на ненулевое число.

Аналогично определяются элементарные преобразования столбцов.

Определение. Матрицы A и B называются эквивалентными матрицами, если матрица A переводится из матрицы B в матрицу B с помощью элементарных преобразований по строкам и обозначается A ~ B.

Примеры на элементарные преобразования матрицы

Пример 1. С помощью элементарных преобразований строк преобразовать матрицу A в верхнетреугольную матрицу, где

А =		4	2	0
1	3	2
-1	3	10

Решение:

поменять местами первую и вторую строчки

	4	2	0		~		1	3	2		~
1	3	2	4	2	0
-1	3	10	-1	3	10

ко второй строке прибавить к первой, умноженной на -4; добавить первую строку к третьей строке

~		1	3	2		~		1	3	2		~
4 + (-4) 1	2 + (-4) 3	0 + (-4) 2	0	-10	-8
-1+1	3+3	10+2	0	6	12

делим вторую строку на -2, третью строку делим на 6

~		1	3	2		~		1	3	2		~
0	-10/(-2)	-8/(-2)	0	5	4
0	6/6	12/6	0	1	2

поменять местами вторую и третью строки

~		1	3	2		~
0	1	2
0	5	4

добавить 2 ряд к 3 ряду, умножить на -5

~		1	3	2		~		1	3	2
0	1	2	0	1	2
0	5 + (-5) 1	4 + (-5) 2	0	0	-6

Примеры эквивалентных преобразований матрицы

Давайте воспользуемся приведенным ниже примером матрицы, чтобы показать все типы элементарных преобразований.

•  Замените вторую и третью строки.

•  Умножьте первую строку на число 3.

•  Вычесть третью строку дважды из второй.

Аффинные преобразования

Аффинное преобразование — это математическая операция, которая отображает одно координатное пространство в другое. Другими словами, он отображает один набор точек в другой набор точек. Аффинные преобразования имеют некоторые особенности, которые делают их полезными в компьютерной графике.

• Аффинные преобразования сохраняют коллинеарность. Если три или более точек попадают на линию, они все равно образуют линию после преобразования. Прямые линии остаются прямыми.
• Композиция двух аффинных преобразований является аффинным преобразованием.

Аффинные преобразования для объемных пространств имеют следующий вид.

Используя определение умножения матриц, данное ранее, можно показать, что произведение двух аффинных преобразований является другим аффинным преобразованием. Чтобы преобразовать 2D-точку с помощью аффинного преобразования, точка представляется в виде матрицы 1×3.

П = | ху 1 |

Первые два элемента содержат координаты x и y точки. 1 помещается в третий элемент, чтобы расчет работал правильно. Чтобы применить преобразование, умножьте две матрицы следующим образом.

П’ = П × М

Это распространяется на следующий.

где

x’ = ax + cy + e y’ = bx + dy + f

Чтобы получить преобразованную точку, создайте первые два элемента матрицы P’.

p = (x’, y’) = (ax + cy + e, bx + dy + f)

Примечание

Матрица 1 × n называется вектором-строкой. Direct2D и Direct3D используют строковые векторы для представления точек в двухмерном или трехмерном пространстве. Эквивалентный результат можно получить, используя вектор-столбец (n × 1) и транспонируя матрицу преобразования. В большинстве графических текстов используется векторная форма столбца. В этом разделе представлена ​​строковая векторная форма для совместимости с Direct2D и Direct3D.

Следующие разделы являются производными от основных преобразований.

Преобразование перевода

Матрица трансляционного преобразования имеет следующий вид.

подключение точки P к этой формуле дает следующее:

P’ = (*x* + *dx*, *y* + *dy*)

что соответствует точке (x, y), преобразованной с помощью dx по оси x и dy по оси y.

Преобразование масштабирования

Матрица преобразования масштабирования имеет следующий вид.

подключение точки P к этой формуле дает следующее:

P’ = (*x* * * *dx*, *y* • *dy*)

что соответствует точке (x, y) в масштабе dx и dy.

Поворот вокруг источника

Матрица вращения точки вокруг источника имеет следующий вид.

Преобразованная точка имеет следующий вид:

P’ = (*x*cos III — ysin III, *x*sin III + *y*cos III)

Доказательство. Чтобы показать, что P’ представляет поворот, рассмотрим следующую диаграмму.

Исходные данные:

Р = (х, у)

Отправная точка трансформации.

Φ

Угол, образованный линией (0,0) к P.

Θ

Угол поворота (x,y) вокруг источника.

Р’ = (х’, у’)

Преобразованная точка.

Р

Длина линии (0,0) до P. Также радиус окружности вращения.

Примечание

На этой диаграмме используется стандартная система координат, используемая в геометрии, где положительная ось Y указывает вверх. Direct2D использует систему координат Windows, где положительная ось Y направлена ​​вниз.

Угол между осью X и линией (0,0) P равен 2 + 4. Содержит следующие учетные данные:

x = R cosC y = R sinC x’ = R cos(2 + Y) y’ = R sin(Ø+ Ø)

Теперь решение для x’ и yi представляет собой форму Y. Согласно формулам сложения тригонометрии:

x’ = R(cosCcos CTRL — sinØsinØ) = RcosØcos CTRL — RsinØsinØ y’ = R(sinØcos CTRL + cosSinT) = RsinØcos CTRL + Rcos CTRLsinT

Подставляя, получаем:

x’ = xcos CTRL — ysin CTRL y’ = xsin CTRL + ycosX

соответствует преобразованной точке P, показанной ранее.

Поворот вокруг произвольной точки

Для вращения вокруг точки (x,y), отличной от начала координат, используется следующая матрица.

Вы можете наследовать этот массив, взяв точку (x, y) в качестве источника.

Пусть (x1, y1) — точка, которая заставляет точку (x0, y0) вращаться вокруг точки (x, y0). Мы можем наследовать x1 вот так.

x1 = (x0 — x)cos CTRL — (y0 — y)sinX + x1 = x0cos CTRL — y0sin CTRL + [(1 — cosC) + ysin CTRL ]

Теперь снова подключите это уравнение к матрице преобразования, используя формулу x1 = ax0 + cy0 + e из предыдущих версий. Используйте ту же процедуру, чтобы получить y1.

Преобразование неравномерного распределения

Преобразование неравномерного распределения определяется четырьмя параметрами:

• FX: Величина перекоса по оси X, измеренная как угол от оси Y.
• 2. Величина неравномерного распределения по оси Y, измеренная как угол от оси X.
• (px, py): координаты x и y точки, вокруг которой выполняется неравномерное распределение.

Косое преобразование использует следующую матрицу.

Конвертированная точка:

P’ = (*x* + *y*tanØ — *py*tanØ, *y* + *x*tanØ) — *py*tanØ

или эквивалент:

P’ = (*x* + (*y* – *py*)tanØ, *y* + (*x* – *px*)tanØ)

Чтобы увидеть, как работает это преобразование, взгляните на каждый компонент в отдельности. Параметр FX перемещает каждую точку в направлении x на величину, равную tanX. Следующая диаграмма показывает взаимосвязь между 2 и осью X.

Вот то же самое неравное распределение, примененное к прямоугольнику:

Вариант 2 имеет тот же эффект, но по оси Y:

На следующей диаграмме показана пульсация по оси Y, примененная к прямоугольнику.

Наконец, параметры px и py смещают центральную точку неравномерного распределения по осям x и y.