Формула геометрической и арифметической прогрессии

Арифметическая прогрессия .

Арифметическая прогрессия – это ряд чисел, в котором все члены получаются из предыдущего прибавлением к нему 1 и того же числа d, которое называется разностью арифметической прогрессии.

Или другими словами: арифметическая прогрессия — это числовая последовательность, имеющая вид:

,

дэ последовательность чисел (членов прогрессии), в которой числа из второго получаются из предыдущего прибавлением к нему постоянного числа 
(разница в шаге или прогрессии):

Любой (n-й) член прогрессии можно рассчитать по общей формуле:

Арифметическая прогрессия — это монотонная последовательность. На 
увеличивается, и 
— уменьшается. Если 
, то последовательность стационарна. Это следует из соотношения 
для членов арифметической прогрессии.

Свойства арифметической прогрессии.

•  Общий член арифметической прогрессии.

Член арифметической прогрессии с числом 
можно найти по формуле:

,

где 
— 1 член прогрессии, 
разница в прогрессии.

•  Характеристическое свойство арифметической прогрессии.

Правопреемство 
это арифметическая прогрессия 
для элементов этой прогрессии выполняется следующее условие:

.

•  Сумма единиц
  членов арифметической прогрессии.

Сумма 1 
члены арифметической прогрессии 
можно найти по формулам:

,

где 
— 1 член прогрессии,

— член с номером 
,

— количество суммированных терминов.

,

где 
— 1 член прогрессии,

— разница в прогрессии,

— количество суммированных терминов.

•  Сходимость арифметической прогрессии.

Арифметическая прогрессия 
расходится в 
и сходится в 
. В котором:

•  Связь между арифметической и геометрической прогрессиями.

Есть
— арифметическая прогрессия с разницей 
, где число 
. Затем последовательность, которая выглядит как
это геометрическая прогрессия со знаменателем 

Читайте также: Шаровой слой
.

Примеры арифметических прогрессий.

•  Натуральная последовательность 1, 2, 3, 4, 5, . является арифметической прогрессией, в которой 1 член
  , а разница 
  .

1, -1, -3, -5, -7 — первые пять членов арифметической прогрессии, где 
и 
.

•  Если каждый элемент некоторой последовательности имеет такое же значение, как и остальные элементы этой системы и равен определенному числу
  , то это арифметическая прогрессия там 
  и 
  . Особенный, 
  это арифметическая прогрессия с разницей 
  .
•  Сумма единиц
  натуральные числа выражаются формулой:

.

Арифметическая прогрессия, формулы.

Формула N-го члена:

Формулы для суммы первых n слагаемых:

Геометрическая прогрессия.

Геометрическая прогрессия – это последовательность чисел 
(члены прогрессии), где каждое число, начиная со второго, получается из предыдущего путем умножения его на определенное число 
(знаменатель прогрессии), где 
, 
: 
.

Или другими словами: геометрическая прогрессия – это числовая последовательность, каждое из чисел равно предыдущему, умноженному на некоторое постоянное число q для этой прогрессии, которое называется знаменателем геометрической прогрессии.

Каждый член геометрической прогрессии можно рассчитать по формуле:

Когда 
и 
, поэтому прогрессия увеличивается, когда 
, поэтому продвижение замедляется, и когда 
— обозначается.

Геометрическая прогрессия получила свое название благодаря своей характерной особенности:

все члены равны среднему геометрическому соседей.

Общий вид геометрической прогрессии

b1, b1q, b2q, …, bn-1q

• q — знаменатель прогрессии; это постоянный множитель.
• б ≠ 0, д ≠ 0

Участники прогрессии:

• б1
• b2 = b1q
• b3=b2q=b1q2
• и так далее

Цифры 1,2,3. являются их порядковыми номерами, т.е местом, которое они занимают в последовательности.

Типы прогрессии:

• возрастающие: b1 > 0 и q1 > 0;
• убывающая: 0 < q < 1;
• чередование: q < 0;
• стационарный: q = 1.

Свойства геометрической прогрессии.

•  Логарифмы членов геометрической прогрессии (если они определены) образуют арифметическую прогрессию:

•  Произведение 1 n членов геометрической прогрессии вычисляется по формуле:

,

•  Произведение элементов геометрической прогрессии, начиная с k-го элемента и заканчивая n-м элементом, вычисляют по формуле:

•  Сумма n 1 членов геометрической прогрессии:

•  Если
  , Это 
  на 
  , И
  на 
  .

Примеры геометрических прогрессий.

1.  Последовательность площадей квадратов, в которой каждый последующий квадрат получается соединением середин сторон предыдущего – геометрическая прогрессия со знаменателем ½, не имеющая предела. Площади образующихся на каждом шаге треугольников также образуют бесконечную геометрическую прогрессию со знаменателем ½, сумма которых равна площади исходного квадрата.
2.  Порядок числа зерен на клетках в задаче о зернышках на шахматной доске.
3.  2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, 2048, 4096, 8192 — прогрессия со знаменателем в 2 из 13 членов.
4. ,50; −25; 12,5; -6,25; 3,125;… — бесконечная убывающая прогрессия со знаменателем -½.
5. .
   — геометрическая прогрессия со знаменателем, равным единице (и арифметическая прогрессия с шагом 0).

И как вывод:

Свойства и формулы геометрической прогрессии

1.  Нахождение n-го члена (bn)

• бн=бн-1q
• bn=b1qn-1

1.  Знаменатели прогрессии

1.  Характерное свойство

Последовательность чисел b1, b2, b3. является геометрической прогрессией, если для любого из членов верно следующее выражение:

При условии: 1 < i < n

Это свойство также может быть представлено следующим образом:

1.  Сумма первых членов прогрессии

Вы можете найти сумму первых n членов геометрической прогрессии, используя приведенную ниже формулу (если q ≠ 1):

Если q = 1, то Sn = nb1

1.  Произведение первых членов прогрессии

6. Произведение членов прогрессии от k к n

1.  Сумма всех членов убывающей прогрессии

Предполагая: |q| < 1, а значит, bn → 0 при n → + ∞.

Сумма n первых членов геометрической прогрессии

Сумма первых n членов геометрической прогрессии для q≠1:

Формула 5

Sn=b1 (1-qn)1-q

Формула 6

Sn=b1-qbn1-q

где Sn — сумма первых n членов прогрессии,

b1 — первый член геометрической прогрессии,

bn — n-й член геометрической прогрессии,

q — знаменатель,

n — количество первых членов прогрессии.

Сумма первых n членов геометрической прогрессии при q=1:

Формула 7

Sn=nb1

Произведение членов геометрической прогрессии

Произведение первых n членов геометрической прогрессии:

Формула 8

Pn=(b1bn)n2

где Pn — произведение,

b1 — первый член геометрической прогрессии,

bn — последний из n членов геометрической прогрессии,

n — количество первых членов прогрессии.

Произведение членов геометрической прогрессии от bm до bn:

Формула 9

Пм,н=ПнПм-1

где Pm,n — произведение членов геометрической прогрессии от bm до bn,

Pn — произведение первых n членов геометрической прогрессии,

Pm-1 — произведение m-1 первых членов геометрической прогрессии.

Знаменатель геометрической прогрессии

д =	миллиард
бн — 1

Cумма бесконечной геометрической прогрессии

Если |q| < 1, то при n → ∞

С =	б1
1-к

(а ± б)2