Формула геометрической и арифметической прогрессии

Вычисления

Арифметическая прогрессия .

Арифметическая прогрессия – это ряд чисел, в котором все члены получаются из предыдущего прибавлением к нему 1 и того же числа d, которое называется разностью арифметической прогрессии.

Или другими словами: арифметическая прогрессия — это числовая последовательность, имеющая вид:

Прогрессия Арифметика Геометрические формулы
,

дэ последовательность чисел (членов прогрессии), в которой числа из второго получаются из предыдущего прибавлением к нему постоянного числа Прогрессия Арифметика Геометрические формулы
(разница в шаге или прогрессии):

Прогрессия Арифметика Геометрические формулы

Любой (n-й) член прогрессии можно рассчитать по общей формуле:

Прогрессия Арифметика Геометрические формулы

Арифметическая прогрессия — это монотонная последовательность. На Прогрессии (арифметические, геометрические), формулы.
увеличивается, и Прогрессии (арифметические, геометрические), формулы.
— уменьшается. Если Прогрессии (арифметические, геометрические), формулы.
, то последовательность стационарна. Это следует из соотношения Прогрессии (арифметические, геометрические), формулы.
для членов арифметической прогрессии.

Свойства арифметической прогрессии.

  •  Общий член арифметической прогрессии.

Член арифметической прогрессии с числом Описание: н
можно найти по формуле:

Прогрессия Арифметика Геометрические формулы
,

где Прогрессии (арифметические, геометрические), формулы.
— 1 член прогрессии, Прогрессии (арифметические, геометрические), формулы.
разница в прогрессии.

  •  Характеристическое свойство арифметической прогрессии.

Правопреемство  Прогрессии (арифметические, геометрические), формулы.
это арифметическая прогрессия Прогрессии (арифметические, геометрические), формулы.
для элементов этой прогрессии выполняется следующее условие:

Прогрессии (арифметические, геометрические), формулы.
.

  •  Сумма единиц Прогрессии (арифметические, геометрические), формулы.
    членов арифметической прогрессии.

Сумма 1  Прогрессии (арифметические, геометрические), формулы.
члены арифметической прогрессии Прогрессии (арифметические, геометрические), формулы.
можно найти по формулам:

Прогрессии (арифметические, геометрические), формулы.
,

где Прогрессии (арифметические, геометрические), формулы.
— 1 член прогрессии,

Прогрессии (арифметические, геометрические), формулы.
— член с номером Прогрессии (арифметические, геометрические), формулы.
,

Прогрессии (арифметические, геометрические), формулы.
— количество суммированных терминов.

Прогрессии (арифметические, геометрические), формулы.
,

где Прогрессии (арифметические, геометрические), формулы.
— 1 член прогрессии,

Прогрессии (арифметические, геометрические), формулы.
— разница в прогрессии,

Прогрессии (арифметические, геометрические), формулы.
— количество суммированных терминов.

  •  Сходимость арифметической прогрессии.

Арифметическая прогрессия Прогрессии (арифметические, геометрические), формулы.
расходится в Прогрессии (арифметические, геометрические), формулы.
и сходится в Прогрессии (арифметические, геометрические), формулы.
. В котором:

Прогрессии (арифметические, геометрические), формулы.

  •  Связь между арифметической и геометрической прогрессиями.

Есть Прогрессии (арифметические, геометрические), формулы.
— арифметическая прогрессия с разницей Прогрессии (арифметические, геометрические), формулы.
, где число Прогрессии (арифметические, геометрические), формулы.
. Затем последовательность, которая выглядит как Прогрессии (арифметические, геометрические), формулы.
это геометрическая прогрессия со знаменателем Прогрессии (арифметические, геометрические), формулы.

Читайте также: Шаровой слой
.

Примеры арифметических прогрессий.

  •  Натуральная последовательность 1, 2, 3, 4, 5, . является арифметической прогрессией, в которой 1 член Прогрессии (арифметические, геометрические), формулы.
    , а разница Прогрессии (арифметические, геометрические), формулы.
    .

1, -1, -3, -5, -7 — первые пять членов арифметической прогрессии, где Прогрессии (арифметические, геометрические), формулы.
и Прогрессии (арифметические, геометрические), формулы.
.

  •  Если каждый элемент некоторой последовательности имеет такое же значение, как и остальные элементы этой системы и равен определенному числу правопреемство
    , то это арифметическая прогрессия там Прогрессии (арифметические, геометрические), формулы.
    и Прогрессии (арифметические, геометрические), формулы.
    . Особенный, Прогрессии (арифметические, геометрические), формулы.
    это арифметическая прогрессия с разницей правопреемство
    .
  •  Сумма единиц Прогрессии (арифметические, геометрические), формулы.
    натуральные числа выражаются формулой:

Прогрессии (арифметические, геометрические), формулы.
.

Арифметическая прогрессия, формулы.

Формула N-го члена:

Прогрессии (арифметические, геометрические), формулы.

Формулы для суммы первых n слагаемых:

Прогрессии (арифметические, геометрические), формулы.

Геометрическая прогрессия.

Геометрическая прогрессия – это последовательность чисел Прогрессии (арифметические, геометрические), формулы.
(члены прогрессии), где каждое число, начиная со второго, получается из предыдущего путем умножения его на определенное число Прогрессии (арифметические, геометрические), формулы.
(знаменатель прогрессии), где Прогрессии (арифметические, геометрические), формулы.
Прогрессии (арифметические, геометрические), формулы.
Прогрессии (арифметические, геометрические), формулы.
.

Или другими словами: геометрическая прогрессия – это числовая последовательность, каждое из чисел равно предыдущему, умноженному на некоторое постоянное число q для этой прогрессии, которое называется знаменателем геометрической прогрессии.

Каждый член геометрической прогрессии можно рассчитать по формуле:

Прогрессии (арифметические, геометрические), формулы.

Когда Прогрессии (арифметические, геометрические), формулы.
и Прогрессии (арифметические, геометрические), формулы.
, поэтому прогрессия увеличивается, когда Прогрессии (арифметические, геометрические), формулы.
, поэтому продвижение замедляется, и когда Прогрессии (арифметические, геометрические), формулы.
— обозначается.

Геометрическая прогрессия получила свое название благодаря своей характерной особенности:

Прогрессии (арифметические, геометрические), формулы.

все члены равны среднему геометрическому соседей.

Общий вид геометрической прогрессии

b1, b1q, b2q, …, bn-1q

  • q — знаменатель прогрессии; это постоянный множитель.
  • б ≠ 0, д ≠ 0

Участники прогрессии:

  • б1
  • b2 = b1q
  • b3=b2q=b1q2
  • и так далее

Цифры 1,2,3. являются их порядковыми номерами, т.е местом, которое они занимают в последовательности.

Типы прогрессии:

  • возрастающие: b1 > 0 и q1 > 0;
  • убывающая: 0 < q < 1;
  • чередование: q < 0;
  • стационарный: q = 1.

Свойства геометрической прогрессии.

  •  Логарифмы членов геометрической прогрессии (если они определены) образуют арифметическую прогрессию:

Прогрессии (арифметические, геометрические), формулы.

  •  Произведение 1 n членов геометрической прогрессии вычисляется по формуле:

Прогрессии (арифметические, геометрические), формулы.
,

  •  Произведение элементов геометрической прогрессии, начиная с k-го элемента и заканчивая n-м элементом, вычисляют по формуле:

Прогрессии (арифметические, геометрические), формулы.

  •  Сумма n 1 членов геометрической прогрессии:

Прогрессии (арифметические, геометрические), формулы.

  •  Если Прогрессии (арифметические, геометрические), формулы.
    , Это Прогрессии (арифметические, геометрические), формулы.
    на Прогрессии (арифметические, геометрические), формулы.
    , И Прогрессии (арифметические, геометрические), формулы.
    на Прогрессии (арифметические, геометрические), формулы.
    .

Примеры геометрических прогрессий.

  1.  Последовательность площадей квадратов, в которой каждый последующий квадрат получается соединением середин сторон предыдущего – геометрическая прогрессия со знаменателем ½, не имеющая предела. Площади образующихся на каждом шаге треугольников также образуют бесконечную геометрическую прогрессию со знаменателем ½, сумма которых равна площади исходного квадрата.
  2.  Порядок числа зерен на клетках в задаче о зернышках на шахматной доске.
  3.  2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, 2048, 4096, 8192 — прогрессия со знаменателем в 2 из 13 членов.
  4. ,50; −25; 12,5; -6,25; 3,125;… — бесконечная убывающая прогрессия со знаменателем -½.
  5. .Прогрессии (арифметические, геометрические), формулы.
    — геометрическая прогрессия со знаменателем, равным единице (и арифметическая прогрессия с шагом 0).

И как вывод:

Свойства и формулы геометрической прогрессии

  1.  Нахождение n-го члена (bn)
  • бн=бн-1q
  • bn=b1qn-1
  1.  Знаменатели прогрессии

Формула знаменателя геометрической прогрессии

  1.  Характерное свойство

Последовательность чисел b1, b2, b3. является геометрической прогрессией, если для любого из членов верно следующее выражение:

Характерное свойство геометрической прогрессии

При условии: 1 < i < n

Это свойство также может быть представлено следующим образом:

Характерное свойство геометрической прогрессии

  1.  Сумма первых членов прогрессии

Вы можете найти сумму первых n членов геометрической прогрессии, используя приведенную ниже формулу (если q ≠ 1):

Формула суммы первых членов геометрической прогрессии

Если q = 1, то Sn = nb1

  1.  Произведение первых членов прогрессии

Формула произведения первых членов геометрической прогрессии

6. Произведение членов прогрессии от k к n

Формула произведения членов геометрической прогрессии ck на n

  1.  Сумма всех членов убывающей прогрессии

Формула суммы всех членов убывающей геометрической прогрессии

Предполагая: |q| < 1, а значит, bn → 0 при n → + ∞.

Сумма n первых членов геометрической прогрессии

Сумма первых n членов геометрической прогрессии для q≠1:

Формула 5

Sn=b1 (1-qn)1-q

Формула 6

Sn=b1-qbn1-q

где Sn — сумма первых n членов прогрессии,

b1 — первый член геометрической прогрессии,

bn — n-й член геометрической прогрессии,

q — знаменатель,

n — количество первых членов прогрессии.

Сумма первых n членов геометрической прогрессии при q=1:

Формула 7

Sn=nb1

Произведение членов геометрической прогрессии

Произведение первых n членов геометрической прогрессии:

Формула 8

Pn=(b1bn)n2

где Pn — произведение,

b1 — первый член геометрической прогрессии,

bn — последний из n членов геометрической прогрессии,

n — количество первых членов прогрессии.

Произведение членов геометрической прогрессии от bm до bn:

Формула 9

Пм,н=ПнПм-1

где Pm,n — произведение членов геометрической прогрессии от bm до bn,

Pn — произведение первых n членов геометрической прогрессии,

Pm-1 — произведение m-1 первых членов геометрической прогрессии.

Знаменатель геометрической прогрессии

д = миллиард
бн — 1

Cумма бесконечной геометрической прогрессии

Если |q| < 1, то при n → ∞

С = б1
1-к

(а ± б)2

Оцените статью
Блог о Microsoft Word