Основные понятия
Прежде чем сформулировать и доказать теорему Фалеса, напомним некоторые важные определения геометрии:
- квадрат;
- параллелограмм;
- трапеция.
У квадрата четыре угла.
Параллелограмм – это квадрат, противоположные стороны которого попарно параллельны друг другу. В параллелограмме противоположные стороны и противоположные углы равны.
Трапеция – это квадрат, у которого две противоположные стороны параллельны друг другу, а две другие противоположные стороны не параллельны друг другу.
Для понимания приведем примеры задач с параллелограммом и трапецией.
Пример 1
Задача. Найдите углы параллелограмма ABCD, если angle A=73^{circ}.
Решение. Давайте создадим этот рисунок:
Рисунок 1. Параллелограмм. Author24 — онлайн-биржа студенческих работ
На рисунке проведена прямая, параллельная AB, из вершины B. Угол, образованный вершиной B, проведенной прямой, и стороной BC, равен 73^{circ}, лежащей поперек угла A. По определению прямого угла (прямой угол равен 180^{circ}) получаем простые вычисления:
угол B=180-73=107^{circ}. Так как в параллелограмме противоположные углы равны, то angle C=angle A=73^{circ}, angle D=angle B=107^{circ}.
Отвечать. 73 ^ { circ}, 73 ^ { circ}, 107 ^ { circ}, 107 ^ { circ}.
В приведенном выше примере с помощью свойства четырехугольников удалось решить, что сумма углов выпуклого четырехугольника равна $360^{circle}$. Для этого нужно было бы дополнительно доказать, что параллелограмм является выпуклым четырехугольником. Этот простой вопрос предоставляется читателю для размышления на досуге.
Пример 2
Задача. Найдите угол B и угол D в трапеции ABCD, если угол A = 47^{circle}, angle C = 108^{circle}.
Решение. Сделаем рисунок:
Рисунок 2. Трапеция. Author24 — онлайн-биржа студенческих работ
На рисунке проведена прямая, параллельная AB, из вершины B. Угол, образованный вершиной B, проведенной прямой и стороной BC, равен 47^{circ}, лежащему поперек угла A. По определению прямого угла получаем простые вычисления: angle B=180-47=133^{circ}.
На рисунке также проведена линия, параллельная CD, из вершины D. Угол, образованный вершиной D, проведенной прямой и стороной CD, равен 108^{circ}, лежащей выше угла C. По определению прямого угла получаем простые вычисления: angle B=180-108=72^{circ}.
Отвечать. 133 ^ { circ}, 72 ^ { circ}.
Как и в случае с параллелограммом, эту задачу можно проверить, сложив вместе все углы данной трапеции. Их сумма должна быть равна 360^{circ}. Видно, что сумма всех углов этой трапеции на самом деле равна 360.
Освоив ключевые понятия, мы можем перейти к теореме Фалеса и ее доказательству.
Историческая справка
Теорема Фалеса (а также теоремы Чевы и Менелая) в основном используется, когда в задании даны отношения между отрезками. Очень часто для этого требуется дополнительный сегмент.
Аргентинская музыкальная группа представила песню, посвященную теореме. Видеоклип на эту песню представляет собой доказательство теоремы о прямом пропорциональном интервале.
Теорема Фалеса до сих пор используется в морской навигации как правило, согласно которому столкновение между кораблями, движущимися с постоянной скоростью, неизбежно, если корабли продолжают двигаться навстречу друг другу.
За пределами русскоязычной литературы теорему Фалеса иногда называют еще одной теоремой планиметрии, а именно утверждением, что вписанный угол, основанный на диаметре окружности, является прямым. Открытие этой теоремы фактически приписывается Фалесу, как доказано Проклом.
Формулировка теоремы
Если на одной из двух прямых отмерить равные отрезки, а через их концы провести параллельные линии, то они, пересекая другую прямую, отрежут на ней равные друг другу отрезки.
- А1А2 = А2А3 …
- В1В2 = В2В3 …
Примечание: Взаимное пересечение секущих не имеет значения, т.е теорема распространяется как на пересекающиеся прямые, так и на параллельные. Размещение сегментов на секущих также не имеет значения.
Обобщенная формулировка
Теорема Фалеса является частным случаем теоремы о пропорциональных отрезках*: параллельные прямые пересекают пропорциональные отрезки по секущим.
Соответственно, для нашего рисунка выше справедливо следующее равенство:
* потому что равные отрезки, включенные, пропорциональны с коэффициентом пропорциональности, равным единице.
Обратная теорема Фалеса
1. Для пересекающихся секущих
Если прямые пересекают две другие прямые (параллельные или нет) и останавливают на них равные или пропорциональные отрезки, начиная сверху, то эти прямые параллельны.
Из обратной теоремы следует:
Обязательное условие: равные отрезки должны начинаться сверху.
2. Для параллельных секущих
Отрезки на обеих секущих должны быть равны друг другу. Только в этом случае применима теорема.
- а || б
- А1А2 = В1В2 = А2А3 = В2В3 …
Доказательство Теоремы Фалеса
Приведем доказательство теоремы Фалеса на примере задачи.
Задание 1
Дано: угол COD
A1B1 параллелен A2B2, A2B2 параллелен A3B3.
А1, А2, А3 относятся к прямым ОК.
B1, B2, B3 относятся к линии OD.
А1А2 равно А2А3.
Требуется доказать, что B1B2 равно B2B3.
Доказательство:
- Сначала мы должны провести линию EF через точку B3. Таким образом, линия EF будет равна A1A3.
- Теперь нам нужно рассмотреть получившийся четырехугольник A1FB2A2. Получается, что линия A1F равна A2B2 по условиям задачи. Согласно нашей конструкции, A1A2 равно FB2. Таким образом, A1FB2A2 — параллелограмм.
- По свойству сторон параллелограмма (противоположные) A1A2 равен FB2.
- По той же схеме можно доказать, что A2B2EA3 тоже параллелограмм, и стороны A2A3 будут равны B2E.
- По условию A1A2 равно A2A3, значит, FB2 будет равно B2E.
- Внимательно рассмотрите получившиеся треугольники B2B1F, B2B3E. Получается, что FB2 будет равен B2E (доказано ранее), угол B1B2F будет равен углу B3B2E (вертикальные углы), угол B2FB1 будет равен B2EB3 (внутренние углы).
- Таким образом получается, что треугольники B2B1F, B2B3E подобны (по стороне и двум прилежащим углам).
- По подобию треугольников выводится и подобие сторон. То есть B1B2 равно B2B3.
- КЭД
Заметка 3
Параллелограмм – это квадрат, у которого все стороны параллельны, то есть лежат на нескольких параллельных прямых.
Читайте также: 10 самых больших животных
Следствие из Теоремы Фалеса
Следствием этой теоремы является теорема о средней линии треугольника.
Теорема 3
Средняя линия треугольника параллельна одной из сторон треугольника и также равна половине этой стороны.
Другим следствием теоремы Фалеса можно считать теорему о пропорциональных отрезках.
Теорема 4
Прямые, параллельные друг другу и пересекающие стороны угла, отсчитывают от сторон угла равные отрезки.
Из теоремы Фалеса также следуют следующие правила:
- Медиана, проведенная к гипотенузе, будет равна половине гипотенузы.
- Центром окружности, описывающей треугольник, является середина гипотенузы, а радиус окружности равен половине длины гипотенузы вписанного в окружность треугольника.
Пример задачи
Дан отрезок АВ на плоскости. Разделите его на 3 равные части.
Решение
Из точки А проведите прямую а и отметьте на ней три последовательных равных отрезка: АС, CD и DE.
Соединяем крайнюю точку Е на линии а с точкой В на отрезке. После этого через оставшиеся точки С и D параллельно ВЕ проводим две прямые, пересекающие отрезок АВ.
Образовавшиеся таким образом точки пересечения на отрезке АВ делят его на три равные части (по теореме Фалеса).
Примеры решения задач
Задача 2
Даны две прямые AD и AN с вершиной A. Проведите параллельные прямые BK, CM, DN. Известно, что АВ = ВС = CD = 6 см, ВК параллелен СМ, СМ параллелен DN и АК = 8 см. Вам нужно найти длину MN.
Решение: по теореме Фалеса ВК параллелен СМ, СМ параллелен DN, а также АВ = ВС = CD, отсюда следует, что отрезок АК = КМ = MN. Таким образом, МН = АК = 8 см.
Ответ: МН = 8 см.
Задача 3
Представим, что прямая KM параллельна DC и пересекает угол COD так, что О, С, М лежат на одной прямой, а О, D, К тоже лежат на одной прямой. Учитывая, что ДС=4, ОД=2, ОК=14. Нужно найти длину км.
Решение:
DC параллелен KM. По теореме о пересечении двух параллельных прямых третьей прямой получается, что ОКОД=КМДК. КМ=ОКОД×ДК=142×4=28
Ответ: км = 28.
