- Цилиндр, конус, шар
- Теорема Пифагора
- Нахождение радиуса сферы/шара
- Найти площадь поверхности:
- Сфера, вписанная в цилиндр
- Площадь боковой поверхности цилиндра через радиус основания и высоту
- Через диаметр
- Основные утверждения
- Площадь полной поверхности цилиндра через радиус основания и высоту
- Отношение объемов шара и цилиндра, описанного около сферы, ограничивающей этот шар
- Касательная прямая к сфере. Касательная плоскость к сфере
- Решение
- Примеры задач
- Вписанный в шар цилиндр
Цилиндр, конус, шар
Цилиндр — это тело, ограниченное цилиндрической поверхностью и двумя окружностями с границами $M$ и $M_1$. Цилиндрическая поверхность называется боковой поверхностью цилиндра, а окружности – основанием цилиндра.
Образующие цилиндрической поверхности называются образующими цилиндра, на рисунке образующая $L$.
Цилиндр называется прямым, если образующие перпендикулярны основаниям. Осевое сечение цилиндра представляет собой прямоугольник, одна сторона которого равна диаметру основания, а другая равна высоте цилиндра.
Основные понятия и свойства цилиндра:
- Основания цилиндра равны и лежат в параллельных плоскостях.
- Все образующие цилиндра параллельны и равны.
- Радиус цилиндра равен радиусу основания ($R$).
- Высота цилиндра — это расстояние между плоскостями оснований (у прямого цилиндра высота равна образующей).
- Осью цилиндра является отрезок, соединяющий центры оснований ($ОО_1$).
- Если радиус или диаметр цилиндра увеличить в n раз, то объем цилиндра увеличится в $n^2$ раз.
- Если высоту цилиндра увеличить в m раз, то объем цилиндра увеличится во столько же раз.
- Если призма вписана в цилиндр, то ее основанием будут равные многоугольники, вписанные в основание цилиндра, а боковые ребра будут образующими цилиндра.
- Если цилиндр вписан в призму, основаниями являются равные многоугольники, описанные около основания цилиндра. Плоскости граней призмы касаются боковой поверхности цилиндра.
- Если сфера вписана в цилиндр, то радиус сферы равен радиусу цилиндра и равен половине высоты цилиндра.
R_{сферы}=R_{цилиндры}={h_{цилиндры}}/{2}
Площадь поверхности и объем цилиндра.
Площадь боковой поверхности цилиндра равна произведению длины окружности основания на высоту.
S_{Боковая линия}=2πR ч
Площадь поверхности цилиндра равна сумме двух поверхностей основания и боковой поверхности.
S_{общая.поверхность}=2πR^2+2πR h=2πR(R+h)
Объем цилиндра равен произведению площади основания на высоту.
V=πR^2h
Объем части цилиндра, лежащей на дне сектора: V={πR^2·n°·h}/{360}, где n° — градусная мера центрального угла, отсекает заданный сектор.
Пример:
Цилиндр описан рядом со сферой. Объем цилиндра 30. Найдите объем шара.
Решение:
Если сфера вписана в цилиндр, то радиус цилиндра равен радиусу сферы, а высота цилиндра в два раза больше радиуса сферы.
R_{цилиндр}=R_{шар}; h_{цилиндр}=2R_{сфера}
Напишем формулы объема цилиндра и шара.
V_{цилиндр}=πR_{цилиндр}^2 h_{цилиндр}=πR_{шар}^2 2R_{шар}=2πR_{шар}^3
V_{шариков}={4π R_{шариков}^3}/{3}
Затем надо сравнить, во сколько раз объем цилиндра больше объема шара, для этого делим объемы друг на друга.
{V_{цилиндров}}/{V_{шариков}}={2πR_{шариков}^3 3}/{4π R_{шариков}^3}={3}/{2}=1,5
Объем цилиндра в 1,5 больше объема шара, поэтому, чтобы найти объем шара, объем цилиндра надо разделить на 1,5.
V_{шариков}=30:1.5=20
Ответ: 20
Конус (круговой конус) — тело, состоящее из окружности, точки, не лежащей в плоскости этой окружности, и всех отрезков, соединяющих данную точку с точками окружности.
Отрезки, соединяющие вершину конуса с точками окружности основания, называются образующими и обозначаются (l).
l=SA
Высота конуса – это перпендикуляр, проведенный из вершины к плоскости основания. Ось прямого конуса и его высота равны.
SO — высота и ось конуса.
Свойства конуса:
- Все образующие конуса равны.
- Осевая часть конуса представляет собой равнобедренный треугольник, основание которого равно двум радиусам, а стороны равны образующим конуса.
- Если боковая поверхность конуса — полуокружность, то осевое сечение — равносторонний треугольник, угол при вершине 60°
- Если радиус или диаметр конуса увеличить в n раз, то объем увеличится в n^2 раз.
- Если высоту конуса увеличить в m раз, то объем конуса увеличится во столько же раз.
Площадь поверхности и объем конуса.
Площадь боковой поверхности конуса равна произведению половины длины окружности основания на образующую.
S_{сторона.поворот}=πR l
Площадь поверхности конуса равна сумме площади основания и площади боковой поверхности.
S_{общ.набор}=πR^2+πR l=πR(R+l)
Объем конуса равен одной трети произведения площади основания на высоту.
V={πR^2 t}/{3}
Объем части конуса, лежащей в основании сектора: V={πR^2·n°·h}/{360·3}, где n° — степенная мера центральной угол, который пересекает данный сектор.
Сфера — это поверхность, состоящая из всех точек пространства, находящихся на заданном расстоянии (R) от данной точки (центра сферы O).
Тело, ограниченное сферой, называется сферой.
Осевой частью сферы называется окружность, радиус которой равен радиусу сферы. Осевое сечение представляет собой наибольшую окружность шара.
Площадь поверхности шара: S_{pp}=4π R^2=π d^2, где R — радиус шара, d — диаметр шара
Объем шара: V={4π R^3}/{3}={π d^3}/{6}, где R — радиус шара, d — диаметр мяч мяч.
Если радиус или диаметр сферы увеличить в n раз, площадь поверхности увеличится в n^2 раза, а объем — в n^3 раза.
Читайте также: Действия над матрицами
Теорема Пифагора
В прямоугольном треугольнике сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы.
AC^2+BC^2=AB^2
Соотношение между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике:
В прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом C:
Для острого угла B: AC — противолежащий катет; ВС — соседняя ветвь.
Для острого угла A: BC — противолежащий катет; AC — соседняя нога.
- Синус (sin) острого угла прямоугольного треугольника равен отношению противолежащего катета к гипотенузе.
- Косинусом (cos) острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе.
- Тангенс (tg) острого угла прямоугольного треугольника равен отношению противолежащего катета к прилежащему.
Значения тригонометрических функций некоторых углов:
$α$ | $30$ | $45$ | $60$ |
$сина$ | ${1}/{2}$ | ${√2}/{2}$ | ${√3}/{2}$ |
$cosα$ | ${√3}/{2}$ | ${√2}/{2}$ | ${1}/{2}$ |
$тга$ | ${√3}/{3}$ | $1$ | $√3$ |
$ctga$ | $√3$ | $1$ | ${√3}/{3}$ |
Признаки подобия между треугольниками:
- Если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники равны.
- Если две стороны треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы между ними равны, то такие треугольники подобны.
- Если три стороны треугольника пропорциональны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны. Периметры подобных треугольников и их линейные величины (медианы, биссектрисы, высоты) связаны друг с другом как коэффициент подобия k. Отношение площадей двух подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.
Практика: решить задание 8 и возможности подготовки к ЕГЭ по математике (профиль)
Нахождение радиуса сферы/шара
Возле любого цилиндра можно описать шар (или, другими словами, вписать цилиндр в шар), но только один.
- Центром такой сферы будет центр цилиндра, в нашем случае это точка О.
- О1 и О2 — центры основания цилиндра.
- O1O2 – высота цилиндра (h).
- OO1 = OO2 = h/2.
Видно, что радиус описанной сферы (OE), половина высоты цилиндра (OO1) и радиус основания (O1E) образуют прямоугольный треугольник OO1E.
Используя теорему Пифагора, мы можем найти гипотенузу этого треугольника, которая также является радиусом сферы, описанной вокруг данного цилиндра:
Зная радиус сферы, можно вычислить площадь (S) поверхности и объем (V) сферы, ограниченной сферой:
- S = 4 ⋅ π ⋅ R2
- S = 4/3 ⋅ π ⋅ R3
Примечание: π округляется до 3,14.
Найти площадь поверхности:
цилиндрический шар Поверхность цилиндра: блок 2
Формула поверхности сферы:
Sш = 4 π R 2 , где R — радиус шара, π — число пи
Формула площади поверхности цилиндра:
Sc = 2 π R 2 + 2 π R. 2 R = 6 π R 2 , где R – радиус цилиндра, π – число пи
Сфера, вписанная в цилиндр
Определение 2. Сферой, вписанной в цилиндр, называется сфера, которая касается плоскостей обоих оснований цилиндра, причем каждая образующая цилиндра касается сферы (рис. 3).
Рис.3
Определение 3. Если сфера вписана в цилиндр, то говорят, что цилиндр вписан около сферы.
Рисунок 3 показывает, что следующие два утверждения верны.
Утверждение 1. Вокруг любой сферы можно описать цилиндр.
Предложение 2. Шар можно вписать в цилиндр тогда и только тогда, когда высота цилиндра равна диаметру основания.
Комментарий. В случае, когда сферу можно вписать в цилиндр, радиус вписанной сферы равен радиусу основания цилиндра.
Площадь боковой поверхности цилиндра через радиус основания и высоту
{S=2pi справа}
Формула нахождения площади боковой поверхности цилиндра через высоту и радиус основания:
{S = 2pi rh}, где π — число Пи (3,14159…), r — радиус основания цилиндра, h — высота цилиндра.
Через диаметр
Как известно, диаметр сферы равен двум ее радиусам: d = 2R. Следовательно, вы можете рассчитать площадь фигуры поверхности, используя формулу такого типа:
S = 4π(d/2)2
Основные утверждения
- Площадь поверхности сферы в четыре раза больше площади ее большого круга.
- Площадь поверхности сферического сегмента равна площади круга радиусом в один сегмент, проведенного от вершины сегмента к окружности, служащей основанием.
- Цилиндр, описанный вокруг сферы, имеет объем, равный трем секундам объема сферы, и площадь поверхности, равную трем половинам поверхности сферы.
Площадь полной поверхности цилиндра через радиус основания и высоту
{S = 2pi r (h+r)}
Формула нахождения полной поверхности цилиндра через высоту и радиус основания:
{S = 2pi r (h+r)}, где π — число Пи (3,14159…), r — радиус основания цилиндра, h — высота цилиндра.
Отношение объемов шара и цилиндра, описанного около сферы, ограничивающей этот шар
Задача. Найти отношение объемов сферы и цилиндра, описанного вокруг сферы, ограничивающей эту сферу.
Решение. Если R — радиус шара, вычислите объем шара по формуле
Цилиндр, описанный около сферы, имеет радиус основания R и высоту, равную 2R. Итак, объем цилиндра
Касательная прямая к сфере. Касательная плоскость к сфере
Определение 1. Прямая называется касательной к сфере (прямой, касающейся сферы), если эта прямая имеет со сферой единственную общую точку. Точка пересечения касательной и сферы называется точкой касания (рис. 1).
Рисунок 1
Прямая касается сферы тогда и только тогда, когда эта линия проходит через точку касания и перпендикулярна радиусу сферы, проведенной к точке касания.
Совокупность всех прямых, которые касаются сферы в некоторой точке, образуют касательную плоскость к сфере в этой точке (рис. 2).
Рис.2
Плоскость касается сферы тогда и только тогда, когда плоскость и сфера имеют общую точку, и только одну.
Плоскость касается сферы тогда и только тогда, когда плоскость и сфера имеют общую точку, и плоскость перпендикулярна радиусу сферы, проведенной к этой точке.
Точка пересечения сферы и касательной к ней плоскости называется точкой касания.
Решение
Из рисунка, приведенного в условии, видно, что с одной стороны диаметр сферы равен диаметру окружности основания цилиндра, а с другой стороны — высоте цилиндра. Пусть радиус сферы равен R, тогда диаметр равен 2R, значит, высота цилиндра H равна 2R. Найдите общую площадь поверхности цилиндра: Полная pov cyl.= 2Sprim cyl.+Side pov cyl.= 2pi R^2 + 2pi RH.
2pi R^2 + 2pi RH = 2pi R^2 + 2pi Rcdot 2R = 6pi R^2. По условию 24 = 6pi R^2. Следовательно, pi R^2 = 4. Поскольку Sp ball = 4pi R^2, искомая площадь равна 4cdot 4 = 16.
Примеры задач
упражнение 1
Вычислите площадь поверхности шара, если его радиус равен 7 см.
Решение:
Воспользуемся первой формулой (через радиус):
S = 4 ⋅ 3,14 ⋅ (7 см)2 = 615,44 см2.
Задача 2
Площадь поверхности сферы 200,96 см2. Найдите диаметр.
Решение:
Выводим значение диаметра из соответствующей формулы для расчета площади:
Вписанный в шар цилиндр
Рассмотрим комбинацию тел: шар и вписанный в шар цилиндр.
Цилиндр вписан в сферу, если окружности его оснований лежат на поверхности сферы. В этом случае также говорят, что сфера описана около цилиндра. Центр сферы лежит в центре оси цилиндра.
Как и при решении задач для сферы, вписанной в цилиндр, чаще всего рассматривают часть совокупности тел плоскостью, проходящей через ось цилиндра. Эта часть представляет собой вписанный в окружность прямоугольник, стороны которого равны высоте конуса и диаметру основания. Центр круга находится на пересечении диагоналей прямоугольника.
Рассмотрим пример такого осевого сечения. Здесь точка O — центр сферы, описанной вокруг цилиндра, BD — диаметр сферы, OD=R — радиус сферы, AB=H — образующая и высота цилиндра, AD — диаметр шарового цилиндра, FD=r — радиус цилиндра.
(как вписанные, так и центральные углы опираются на одну и ту же дугу AD).
Треугольник AOD равнобедренный (AO=OD=R), в нем OF=H/2 высота, медиана и биссектриса.
Треугольник OFD – прямоугольный треугольник. По теореме Пифагора получаем соотношение, связывающее радиус сферы с радиусом и высотой цилиндра, вписанного в сферу:
То же соотношение можно получить из прямоугольного треугольника ABD: по теореме Пифагора