Формулы приведения. Список
Формулы приведения позволяют свести основные тригонометрические функции углов произвольной величины к функциям углов от 0 до 90 градусов (от 0 до π2 радиан). Оперировать углами от 0 до 90 градусов гораздо удобнее, чем работать со сколь угодно большими значениями, поэтому формулы приведения широко используются для решения задач тригонометрии.
Прежде чем мы запишем сами формулы, уточним некоторые важные для понимания моменты.
- Аргументами тригонометрических функций в формулах приведения являются углы вида ±α+2π·z, π2±α+2π·z, 3π2±α+2π·z. Здесь z — любое целое число, α — произвольный угол поворота.
- Не обязательно учить все формулы приведения, количество которых весьма внушительно. Это мнемоническое правило, которое позволяет легко вывести нужную формулу. Мнемоническое правило будет рассмотрено позже.
Теперь перейдем непосредственно к формулам приведения.
Формулы приведения позволяют перейти от работы с произвольными и сколь угодно большими углами к работе с углами от 0 до 90 градусов. Запишем все формулы в виде таблицы.
Литые формулы
sinα+2πz=sinα, cosα+2πz=cosαtgα+2πz=tgα, ctgα+2πz=ctgαsin-α+2πz=-sinα, cos-α+2πz=cosαtg-α+2πz=-tgα, ctgα+ -ctgαsinπ2 +α +2πz=cosα, cosπ2+α+2πz=-sinαtgπ2+α+2πz=-ctgα, ctgπ2+α+2πz=-tgαsinπ2-α+2πz=cosα=tπ2-α, cosπ2-α 2πz=ctgα, ctgπ2 -α +2πz=tgαsinπ+α+2πz=-sinα, cosπ+α+2πz=-cosαtgπ+α+2πz=tgα, ctgπ+α+2πz=ctgαsinπz-α α+2πz=-cosαtgπ-α+2πz=- tgα, ctgπ-α+2πz=-ctgαsin3π2+α+2πz=-cosα, cos3π2+α+2πz=sinαtg3πα2+α+2πz,=cc =-tgαsin3π2-α+2πz=-cosα, cos3π2-α+2πz=- sinαtg3π2- α+2πz=ctgα, ctg3π2-α+2πz=tgα
В этом случае формулы записываются в радианах. Однако вы также можете написать их со степенями. Достаточно перевести радианы в градусы, заменив π на 180 градусов.
Примеры использования формул приведения
Мы покажем, как использовать формулы приведения и как эти формулы используются для решения практических примеров.
Угол под знаком тригонометрической функции можно представить не одним, а многими способами. Например, аргумент тригонометрической функции может быть представлен как ±α+2πz, π2±α+2πz, π±α+2πz, 3π2±α+2πz. Давайте продемонстрируем это.
Возьмем угол α=16π3. Этот угол можно записать как:
α=16π3=π+π3+2π 2α=16π3=-2π3+2π 3α=16π3=3π2-π6+2π
В зависимости от представления угла используется соответствующая формула приведения.
Возьмем тот же угол α=16π3 и вычислим его тангенс
Пример 1: Использование формул приведения
α=16π3, тг α=?
Представим угол α=16π3 как α=π+π3+2π 2
Такое представление угла будет соответствовать формуле приведения
tg(π+α+2πz)=tgα
Немного
загар 16π3=tgπ+π3+2π 2=tgπ3
С помощью таблицы вводим значение тангенса
tgπ3=3
Теперь мы используем другое представление угла α=16π3.
Пример 2: Использование формул приведения
α=16π3, тангенс α=?α=-2π3+2π 3tg16π3=tg-2π3+2π 3=-tg2π3=-(-3)=3
Наконец, для третьего представления угла мы пишем
Пример 3: Использование формул приведения
α=16π3=3π2-π6+2πtg3π2-α+2πz=ctg αtg α=tg (3π2-π6+2π)=ctgπ6=3
Теперь приведем пример использования более сложных формул приведения
Пример 4: Использование формул приведения
Представим его 197° через синус и косинус острого угла.
Для того чтобы воспользоваться формулами приведения, необходимо угол α=197° представить в одном из видов
±α+360°z, 90°±α+360°z, 180°±α+360°z, 270°±α+360°z. По условию задачи угол должен быть острым. Следовательно, у нас есть два способа его представления:
197°=180°+17°197°=270°-73°
Мы получаем
sin197°=sin(180°+17°)sin197°=sin(270°-73°)
Теперь давайте посмотрим на формулы приведения для синуса и выберем подходящие
sin(π+α+2πz)=-sinαsin(3π2-α+2πz)=-cosαsin 197°=sin(180°+17°+360° z)=-sin17°sin 197°=sin(270°- 73 °+360° z)=-cos73°
Мнемоническое правило
Формул заброса много, и, к счастью, запоминать их не нужно. Существуют закономерности, по которым можно вывести формулы приведения для различных углов и тригонометрических функций. Эти шаблоны называются мнемоническими правилами. Мнемоника – это искусство запоминания. Мнемоническое правило состоит из трех частей, или содержит три этапа.
Мнемоническое правило
1. Аргумент исходной функции представляется в одном из видов
±α+2πzπ2±α+2πzπ±α+2πz3π2±α+2πz
Угол α должен быть в пределах от 0 до 90 градусов.
2. Определяется знак исходной тригонометрической функции. Функция, записанная в правой части формулы, будет иметь тот же знак.
3. Для углов ±α+2πz и π±α+2πz название исходной функции остается без изменений, а для углов π2±α+2πz и 3π2±α+2πz соответственно изменяется на «со- функция». Синус к косинусу. Тангенс к котангенсу.
Для использования мнемонического правила для формул приведения необходимо уметь определять знаки тригонометрических функций по четвертям единичной окружности. Давайте рассмотрим примеры использования мнемонического правила.
Пример 1: Использование мнемонического правила
Запишем формулы приведения для cosπ2-α+2πz и tgπ-α+2πz. α — угол для первой четверти.
1. Поскольку α по условию является логарифмом первой четверти, пропускаем первый абзац правила.
2. Определить знаки функций cosπ2-α+2πz и tgπ-α+2πz. Угол π2-α+2πz также является углом первой четверти, а угол π-α+2πz находится во второй четверти. В первой четверти функция косинуса положительна, а тангенс во второй четверти имеет знак минус. Запишем, как будут выглядеть искомые формулы на этом этапе.
cosπ2-α+2πz=+tgπ-α+2πz=-
3. Согласно третьему пункту, для угла π2-α+2π меняется название функции Конфуция, а для угла π-α+2πz остается прежним. Давай напишем:
cosπ2-α+2πz=+sin αtgπ-α+2πz=-tan α
Теперь давайте посмотрим на приведенные выше формулы и убедимся, что мнемоническое правило работает.
Рассмотрим пример с конкретным углом α=777°. Приводим синус альфа к тригонометрической функции острого угла.
Пример 2: Использование мнемонического правила
1. Представим угол α=777° в желаемом виде
777°=57°+360° 2777°=90°-33°+360° 2
2. Начальный угол — угол первой четверти. Следовательно, синус угла имеет положительный знак. В результате имеем:
3 sin 777°=sin(57°+360° 2)=sin 57°sin 777°=sin(90°-33°+360° 2)=cos 33°
Теперь рассмотрим пример, показывающий, насколько важно правильно определить знак тригонометрической функции и правильно представить угол при использовании мнемонического правила. Давайте повторим это снова.
Важно!
Угол α должен быть острым!
Вычислим тангенс угла 5π3. Из таблицы значений важнейших тригонометрических функций можно сразу взять значение tg 5π3=-3, но мы воспользуемся мнемоническим правилом.
Пример 3: Использование мнемонического правила
тг 5π3=?
Представим угол α=5π3 в нужном виде и воспользуемся правилом
загар 5π3=tg3π2+π6=-ctgπ6=-3tg 5π3=tg2π-π3=-tgπ3=-3
Если мы представим угол альфа как 5π3=π+2π3, результат использования мнемонического правила будет неправильным.
загар 5π3=tgπ+2π3=-tg2π3=-(-3)=3
Неверный результат связан с тем, что угол 2π3 не является острым.
Читайте также: Мощность в физике — обозначение, формулы и примеры
Лошадиное правило
Второй пункт в приведенном выше мнемоническом правиле также называется правилом лошади для формул редукции. Интересно, почему лошади?
Итак, у нас есть функции с аргументами `frac {pi}2 pm alpha`, `pi pm alpha`, `frac {3pi}2 pm alpha`, `2pi pm alpha`, точки `frac {pi}2`, `pi`, `frac {3pi}2`, `2pi` являются ключевыми точками, они расположены на осях координат. `pi` и `2pi` по горизонтальной оси x и `frac {pi}2` и `frac {3pi}2` по вертикальной оси y.
Задаем себе вопрос: «Изменяется ли функция на кофункцию?». Чтобы ответить на этот вопрос, нужно двигать головой по оси, на которой находится ключевая точка.
То есть на аргументы с ключевыми точками, расположенными на горизонтальной оси, мы отвечаем «нет», покачивая головой в стороны. А для вершин с ключевыми точками, расположенными на вертикальной оси, отвечаем «да», кивая головой сверху вниз, как лошадь
Рекомендуем посмотреть видеоурок, где автор подробно объясняет, как запоминать формулы приведения, не зазубривая их.
Формулы приведения. Доказательство
Доказательство формул приведения основано на свойствах периодичности и симметричности тригонометрических функций, а также на свойстве сдвигов на углы π2 и 3π2. Доказательство справедливости всех формул приведения можно провести без учета слагаемого 2πz, так как оно указывает на изменение угла на целое число целых оборотов и лишь отражает свойство периодичности.
Первые 16 формул следуют непосредственно из свойств основных тригонометрических функций: синуса, косинуса, тангенса и котангенса.
Приведем доказательство формул приведения для синуса и косинуса
sinπ2+α=cos α и cosπ2+α=-sin α
Рассмотрим единичную окружность, начальная точка которой после поворота на угол α перешла в точку A1x, y, а после поворота на угол π2+α — в точку A2. Из обеих точек проводим перпендикуляры к оси x.
Два прямоугольных треугольника OA1H1 и OA2H2 равны по гипотенузе и прилежащим к ней углам. Из расположения точек на окружности и подобия треугольников можно сделать вывод, что точка А2 имеет координаты А2-у, х. Используя определения синуса и косинуса, запишем:
sinα=y, cosα=x, sinπ2+α=x, cosπ2+α=y
Отсюда
sinπ2+α=cosα, cosπ2+α=-sinα
Учитывая фундаментальные тождества тригонометрии и только что доказанное, мы можем написать
tgπ2+α=sinπ2+αcosπ2+α=cos α-sin α=-ctg αctgπ2+α=cosπ2+αsinπ2+α=-sin αcosα=-tg α
Для доказательства формул приведения с аргументом π2-α его нужно представить в виде π2+(-α). Например:
cosπ2-α=cosπ2+(-α)=-sin(-α)=sinα
Доказательство использует свойства тригонометрических функций с противоположными по знаку аргументами.
Все остальные формулы приведения можно доказать на основе написанных выше.
