Формулы разности одноименных тригонометрических функций

Зачем нужны тригонометрические формулы?

Как видите, существует множество тригонометрических формул. Здесь показаны не все. Но, к счастью для вас, вам не нужно учить всю эту таблицу. Достаточно знать только основы: №№ 1-6, 9. Остальные крайне редко встречаются на ЕГЭ по профильной математике, а если и попадутся, то скорее всего будут приведены в справочном материале.

А вот для участия в олимпиадах или если вы хотите через вступительные экзамены попасть в сильный математический вуз, вам может понадобиться вся таблица. По крайней мере, вы обязательно должны иметь представление о существовании таких формул, чтобы вывести их в случае необходимости. Да, большинство из них легко удалить.

Тригонометрические формулы нужны для связи всех тригонометрических функций между собой. Если вы знаете одну из функций, например синус, по этим формулам вы без труда найдете оставшиеся три тригонометрические функции (косинус, тангенс и котангенс). Кроме того, тождества позволяют упростить выражение под тригонометрической функцией: например, выразить синус двойного угла через комбинацию тригонометрических функций одинарного угла, что очень полезно при решении тригонометрических уравнений и неравенств.

Обсудим и решим примеры для всех формул из таблицы.

Основное тригонометрическое тождество

$$mathbf{sin(alpha)^2+cos(alpha)^2=1;}$

Эту формулу можно считать самой важной и наиболее используемой в тригонометрии. Он получен с использованием определения синуса и косинуса через прямоугольный треугольник и теоремы Пифагора. Не буду еще раз описывать вывод, с ним вы можете ознакомиться в самой первой главе по тригонометрии.

Используя основное тригонометрическое тождество, очень удобно искать значение синуса, если известен косинус, и наоборот. Возьмем пример:

Пример 1
Найдите (3sqrt{2}*sin(alpha)=?), если (cos(alpha)=frac{1}{3}) и (alphain(0 ; гидроразрыва { pi} {2}) ). (ИСПОЛЬЗОВАТЬ)

Чтобы найти значение выражения (3sqrt{2}*sin(alpha)), необходимо сначала найти значение синуса.

Формула, связывающая синус и косинус, является основным тригонометрическим тождеством: $$sin(alpha)^2+cos(alpha)^2=1;$$ Просто подставьте в нее известное значение косинуса $$sin (alpha)^2+left(frac{1}{3}right)^2=1;$$ $$sin(alpha)^2+frac{1}{9}=1; $$ $$sin(alpha)^2=1-frac{1}{9};$$ $$sin(alpha)^2=frac{8}{9};$$ $$ sin(alpha)=pmsqrt{frac{8}{9}}=pmfrac{2sqrt{2}}{3};$$ Обратите внимание на знак (pm) , нас устраивает и отрицательное значение синуса, так как при подстановке и возведении в квадрат знак минус исчезает.

В задании указано, что это пример из ЕГЭ первой части, а значит, ответ должен быть только один. Какое значение синуса выбрать: положительное или отрицательное?

В этом нам поможет дополнительное условие (alphain(0;frac{pi}{2})), которое соответствует первому квадранту тригонометрической окружности. Поскольку (alpha) находится в первом квадранте, синус должен быть положительным. Выбираем положительное значение синуса: $$sin(alpha)=frac{2sqrt{2}}{3};$$ И подставляем найденное значение в искомое выражение: $$3sqrt{2 } *sin(alpha)=3sqrt{2}*frac{2sqrt{2}}{3}=4.$

Ответ: (4.)

Точно так же, согласно основному тригонометрическому тождеству, можно найти значение косинуса, если синус известен.

Основное тригонометрическое тождество является ключом к решению более половины всех тригонометрических уравнений.

Читайте также: Прямоугольная трапеция

Основные соотношения обратных тригонометрических функций.

Здесь важно учитывать интервалы, для которых формулы справедливы.

Формулы, связывающие обратные тригонометрические функции.

Введем любое из значений обратных тригонометрических функций как Arcsin x, Arccos x, Arctan x, Arccot ​​и сохраним обозначения: arcsin x, arcos x, arctan x, arccot ​​x для их главных значений , то отношение между ними следующих соотношений:

где k — любое целое число. При k = 0 у нас есть главные значения.

Основные формулы сложения в тригонометрии

Существует восемь основных формул: синус суммы и синус разности двух углов, косинусы суммы и разности, тангенс и котангенс суммы и разности соответственно. Ниже приведены их стандартные формулировки и расчеты.

1.  Синус суммы двух углов можно получить следующим образом:

— вычисляем произведение синуса первого угла на косинус второго;

— умножить косинус первого угла на синус первого;

— добавить полученные значения.

Графически запись формулы выглядит так: sin (α+β)=sin α cos β+cos α sin β

1.  Синус разности вычисляется практически так же, только полученные произведения нужно не складывать, а вычитать друг из друга. Таким образом вычисляем произведения синуса первого угла на косинус второго и косинуса первого угла на синус второго и находим их разность. Формула записывается так: sin(α-β)=sin α cos β+sin α sin β
2.  Косинус суммы. Для этого находим произведения косинуса первого угла на косинус второго и синуса первого угла на синус второго, и находим их разность: cos (α+β)=cos α cos β- грех α грех β
3.  Разность косинусов: вычисляем произведения синусов и косинусов заданных углов, как и раньше, и складываем их. Формула: cos (α-β)=cos α cos β+sin α sin β
4.  Тангенс суммы. Эта формула выражается в виде дроби, где числитель представляет собой сумму касательных к желаемым углам, а знаменатель представляет собой единицу, из которой вычитается произведение касательных к желаемым углам. Все понятно из графического обозначения: tg (α+β)=tg α+tg β1-tg α tg β
5.  Тангенс разности. Вычисляем значения разности и произведения тангенсов этих углов и обрабатываем их аналогичным образом. В знаменатель прибавляем единицу, а не наоборот: tg (α-β)=tg α-tg β1+tg α tg β
6.  Котангенс суммы. Для расчетов по этой формуле нам понадобится произведение и сумма котангенсов этих углов, с которыми мы работаем следующим образом: ctg (α+β)=-1+ctg α ctg βctg α+ctg β
7.  Котангенс разности. Формула аналогична предыдущей, но в числителе и знаменателе — минус, а не плюс ctg (α-β)=-1-ctg α ctg βctg α-ctg β.

Вы, наверное, заметили, что эти формулы попарно подобны. Используя знаки ±(плюс-минус) и ∓(минус-плюс), мы можем сгруппировать их для удобства записи:

sin (α±β)=sin α cos β±cos α sin βcos (α±β)=cos α cos β∓sin α sin βtg (α±β)=tg α±tg β1∓tg α tg βctg (α± βctg (α±β) β)=-1±ctg α ctg βctg α±ctg β

Соответственно, у нас есть формула учета суммы и разности каждого значения, только в одном случае мы учитываем верхний знак, в другом — нижний.

Определение 2

Мы можем взять любые углы α и β, и для них будут работать формулы сложения косинуса и синуса. Если мы сможем правильно определить значения тангенсов и котангенсов этих углов, то и для них будут справедливы формулы сложения тангенса и котангенса.

Сумма и разность тригонометрических функций

Разность и сумму тригонометрических функций можно представить в виде произведения. Факторизация разностей синуса и косинуса очень удобно использовать для решения тригонометрических уравнений и упрощения выражений.

Сумма и разность тригонометрических функций

sinα+sinβ=2sinα+β2 cosα-β2sinα-sinβ=2sinα-β2 cosα+β2cosα+cosβ=2cosα+β2 cosα-β2cosα-cosβ=-2sinα+β2 sinα-β2, β=2-cosαβα

Синус разности двух углов

sinα-β=sinα cosβ-cosα sinβ

Косинус суммы двух углов

cosα+β=cosα cosβ-sinα sinβ

Косинус разности двух углов

cosα-β=cosα cosβ+sinα sinβ

Тангенс суммы двух углов

tgα+β=tgα+tgβ1–tgα tgβ

Тангенс разности двух углов

tgα-β=tga-tgβ1+tgα tgβ

Котангенс суммы двух углов

ctgα+β=ctgα ctgβ-1ctgβ+ctgα

Котангенс разности двух углов

ctgα-β=ctgα ctgβ+1ctgβ-ctgα

Прямые и производные функции: синус (sin), косинус (cos), тангенс (tg) и котангенс (ctg).