Формулы сокращенного умножения

Формулы сокращенного умножения

Вместо букв a, b это может быть любое число, переменная или даже целочисленное выражение. Чтобы быстро решать задачи, лучше выучить наизусть основные 7 формул сокращенного умножения (ФСУ). Да, алгебра такая, надо быть готовым многое запоминать.

Ниже представлена ​​удобная таблица, которую можно распечатать и использовать как закладку для быстрого запоминания формул.

Читайте также: Формулы разности одноименных тригонометрических функций

Как читать формулы сокращенного умножения

Научитесь произносить формулы сокращенного выражения:

1. Разность между квадратами двух выражений равна произведению их разности на их сумму.
2. Квадрат суммы двух выражений равен квадрату первого плюс удвоенное произведение первого и второго плюс квадрат второго.
3. Квадрат разности двух выражений равен квадрату первого минус удвоенное произведение первого и второго плюс квадрат второго.
4. Сумма кубов двух выражений равна произведению суммы первого и второго на неполный квадрат их разности.
5. Разность кубов двух выражений равна произведению разности первого и второго выражений на неполный квадрат их суммы.
6. Куб суммы двух выражений равен кубу первого плюс утроенное произведение квадрата первого на второе плюс утроенное произведение первого на квадрат второго плюс куб второй.
7. Куб разности двух выражений равен кубу первого минус утроенное произведение квадрата первого и второго плюс утроенное произведение первого на квадрат второго минус куб второго.

Доказательство формул сокращенного умножения

Помните, что разность квадратов двух чисел a и b равна произведению их разности на их сумму: a2 — b2 = (a — b) * (a + b).

Другими словами, произведение суммы а и b на их разность равно разности их квадратов: (а — b) * (а + b) = а2 — b2.

Важно знать, что разность квадратов не равна квадрату разности: a2 — b2 ≠ (a — b)2.

Докажем, что a2 — b2 = (a — b) * (a + b).

Идти:

1. Искусственным методом сложим и вычтем одно и то же a * b.+ а * б — а * б = 0

   а2 — Ь2 = а2 — Ь2 + аб — аб

1. Сгруппируйте по-разному: a2 — b2 + a * b — a * b = a2 — a * b + a * b — b2
2. Продолжим группировку: a2 — a * b — b2 + a * b = (a2 — a * b) + (a * b — b2)
3. Вынесем общие множители за скобки:(a2 — a * b) + (a * b — b2) = a * (a — b) + b * (a — b)

1. Вынесем за скобки (a — b) a * (a — b) + b * (a — b) = (a — b) * (a + b)
2. Результат доказательства: a2 — b2 = (a — b) * (a + b)
3. Чтобы доказать в обратном направлении: (a — b) * (a + b) = a2 — b2, нужно раскрыть скобки: (a — b) * (a + b) = a * a + a * b — б * а — б * б = а2 — б2.

Аналогичным методом можно доказать остальные ФСО.

Дополнительные формулы сокращенного умножения

В таблицу основных ФСО следует добавить еще несколько важных тождеств, которые будут полезны при решении задач.

Бином Ньютона

Формула разложения в отдельные члены целой неотрицательной степени суммы двух переменных. Записывается следующим образом:

Пример вычисления биномиальных коэффициентов, находящихся в строке номер девять треугольника Паскаля:

БСС квадрата и куба суммы и разности являются частными случаями биномиальной формулы Ньютона для n = 2 и n = 3.

Формула возведения в квадрат суммы трех, четырех и более слагаемых

Полезно, если в сумме больше двух членов, которые нужно возвести в степень.

(a1+a2+…+an)2 = a12 + a22 + … + an-12 + an2 + 2 * a1 * a2 + 2 * a1 * a3 + 2 * a1 * a4 + … +

+ 2 * a1 * an-1 + 2 * a1 * an + 2 * a2 * a3 + 2 * a2 * a4 +… + 2 * a2 * an-1 + 2 * a2 * an +…+

+2*ан-1*ан

Читается оно так: квадрат суммы n слагаемых равен сумме квадратов всех этих слагаемых и удвоенному произведению всех возможных пар этих слагаемых.

Формула разности n-ых степеней двух слагаемых

an − bn = (a − b) * (an-1 + an-2 * b + an-3 * b2 +… + a * bn-2 + bn-1).

Для четных чисел вы можете написать это так:

a2*m − b2*m = (a2 − b2) *(a2*m−2 + a2*m−4 * b2 + a2*m−6 * b4 + … + b2*m−2).

Для нечетных показателей:

a2*m+1 − b2* m+1 = (a − b) * (a2*m + a2*m−1 * b + a2*m−2 * b2 + … + b2*m).

Частными случаями являются формулы для разности квадратов и кубов при n = 2 и n = 3. Для разности кубов b также можно заменить на −b.

Решение задач

Давайте потренируемся и рассмотрим примеры с дробями.

Задание 1

Что делать: вычислить квадрат произведения (55 + 10)2.

Как решить: используем формулу суммы квадратов: (55+10)2=552+2*55*10+102=3025+1100+100=4225.

Задание 2

Что делать: упростить выражение 64*с3 — 8.

Как решаем: используем разность кубов: 64*s3 — 8 = (4*s) 3 — 23 = (4*s — 2) ((4*s) 2 + 4*s * 2 + 22) = (4*с — 2) (16*с2+8*с+4).

Задание 3

Что делать: раскроем скобки (7*у — х)*(7*у+х).

Как мы решаем:

1. Умножьте: (7 * у — х) * (7 * у + х) = 7 * у * 7 * у + 7 * у * х — х * 7 * у — х * х = 49 * у2 + 7 * у * х — 7 * у * х — х2 = 49 * у2 — х2.
2. Воспользуемся приведенной формулой умножения: (7 * у — х) * (7 * у + х) = (7 * у)2 — х2 = 49 * у2 — х2.

Не стоит бояться многочленов, просто выполняйте каждую операцию по порядку. С формулами быстрее и удобнее решать задачи — сохраняйте шпаргалку, запоминайте и радуйте учителей 🙂

Формула разности квадратов

Разность между квадратами чисел/выражений a и b равна произведению их суммы на разность.

а2 – Ь2 = (а – Ь)(а + Ь)

Формулу можно представить справа налево:

(а – б)(а + б) = а2 – б2

Примечание: a2 – b2 ≠ (a – b)2

Доказательство формулы

Арифметическое

Давайте проверим формулу с обратной стороны, то есть умножим (ab) и (a+b).

При раскрытии скобок с учетом правил арифметики получаем исходную формулу:
(ab)(a+b) = a2 + ab – ba – b2 = a2 – b2.

Геометрическое

Начертите квадрат со стороной а, площадь которого равна а2. Он содержит меньший квадрат со стороной b и площадью b2.

Задача — найти площадь синей фигуры (a2 — b2).

Если мы продолжим некоторые линии со сторон меньшего квадрата до краев большего, то получим:

• квадрат с площадью b2;
• прямоугольник со сторонами а и (ab);
• прямоугольник со сторонами b и (ab).

Нам нужна только сумма площадей прямоугольников, которая рассчитывается следующим образом:

S = a ⋅ (a – b) + b ⋅ (a – b) = a2 – ab + ba – b2 = a2 – b2

Примеры задач

упражнение 1
Раскройте скобки: (8х — 3у)(8х + 3у).

Решение
Воспользуемся формулой сокращенного умножения:
(8x — 3y)(8x + 3y) = 64×2 — 9y2

Задача 2
Фактор выражения: 25×2 — y2.

Решение
Используем формулу в обратном порядке:
25×2 — y2 = (5x — y)(5x + y)

Обследование
(5x — у)(5x + у) = 25×2 + 5xy — 5xy — y2 = 25×2 — y2

Пример 1

Фактор выражения:

.

Решение: это выражение можно разложить по формуле «разность квадратов»:

.

Пример 2

Решите неравенство

Решение:

В левой части неравенства можно использовать формулу разности квадратов (мысленно заменить выражение
переменная , А
переменная ):

Отвечать:

Пример 3

Упрощать:

Решение: .

Отвечать:

Пример 4

Умножить .

Решение: .

Отвечать:

Пример 5

Решите уравнение: .

Решение:

или

или 

и

Поскольку исходное уравнение имеет шестую степень, ответ будет иметь шесть корней.

Отвечать:
и