Формулы сокращенного умножения: четыре степени

Формулы сокращенного умножения

Вместо букв a, b это может быть любое число, переменная или даже целочисленное выражение. Чтобы быстро решать задачи, лучше выучить наизусть основные 7 формул сокращенного умножения (ФСУ). Да, алгебра такая, надо быть готовым многое запоминать.

Ниже представлена ​​удобная таблица, которую можно распечатать и использовать как закладку для быстрого запоминания формул.

Читайте также: Как найти периметр треугольника формула нахождения

Как читать формулы сокращенного умножения

Научитесь произносить формулы сокращенного выражения:

1. Разность между квадратами двух выражений равна произведению их разности на их сумму.
2. Квадрат суммы двух выражений равен квадрату первого плюс удвоенное произведение первого и второго плюс квадрат второго.
3. Квадрат разности двух выражений равен квадрату первого минус удвоенное произведение первого и второго плюс квадрат второго.
4. Сумма кубов двух выражений равна произведению суммы первого и второго на неполный квадрат их разности.
5. Разность кубов двух выражений равна произведению разности первого и второго выражений на неполный квадрат их суммы.
6. Куб суммы двух выражений равен кубу первого плюс утроенное произведение квадрата первого на второе плюс утроенное произведение первого на квадрат второго плюс куб второй.
7. Куб разности двух выражений равен кубу первого минус утроенное произведение квадрата первого и второго плюс утроенное произведение первого на квадрат второго минус куб второго.

учеба на курсах математики – это путь к хорошим оценкам в школе и высоким баллам на экзаменах.

Доказательство формул сокращенного умножения

Помните, что разность квадратов двух чисел a и b равна произведению их разности на их сумму: a2 — b2 = (a — b) * (a + b).

Другими словами, произведение суммы а и b на их разность равно разности их квадратов: (а — b) * (а + b) = а2 — b2.

Важно знать, что разность квадратов не равна квадрату разности: a2 — b2 ≠ (a — b)2.

Докажем, что a2 — b2 = (a — b) * (a + b).

Идти:

1. Искусственным методом сложим и вычтем одно и то же a * b.+ а * б — а * б = 0

   а2 — Ь2 = а2 — Ь2 + аб — аб

1. Сгруппируйте по-разному: a2 — b2 + a * b — a * b = a2 — a * b + a * b — b2
2. Продолжим группировку: a2 — a * b — b2 + a * b = (a2 — a * b) + (a * b — b2)
3. Вынесем общие множители за скобки:(a2 — a * b) + (a * b — b2) = a * (a — b) + b * (a — b)

1. Вынесем за скобки (a — b) a * (a — b) + b * (a — b) = (a — b) * (a + b)
2. Результат доказательства: a2 — b2 = (a — b) * (a + b)
3. Чтобы доказать в обратном направлении: (a — b) * (a + b) = a2 — b2, нужно раскрыть скобки: (a — b) * (a + b) = a * a + a * b — б * а — б * б = а2 — б2.

Аналогичным методом можно доказать остальные ФСО.

Степень суммы

Группа формул «Вместе мощность» составляет табл. 1. Эти формулы можно получить, выполняя расчеты в следующем порядке:

(х + у)2 = (х + у)(х + у) , (х + у)3 = (х + у)2(х + у) , (х + у)4 = (х + у)3(х + у)

и так далее

Группа формул «Степень суммы» может быть получена также с помощью треугольника Паскаля и бинома Ньютона, которым посвящены специальные разделы нашего справочника.

Таблица 1. Степень суммы

Название формулы	Формула
Квадрат (вторая степень) количество	(х + у)2 = х2 + 2ху + у2
Куб (третья степень) суммы	(х + у)3 = х3 + 3х2у + 3ху2 + у3
Четвертая степень суммы	(х + у)4 = х4 + 4х3у + 6х2у2 + 4ху3 + у4
Пятая степень суммы	(х + у)5 = х5 + 5х4у + 10х3у2 + 10х2у3 + 5ху4 + у5
Шестая степень суммы	(x + y)6 = x6 + 6x5y + 15x4y2 + 20x3y3 + 15x2y4 + 6xy5 + y6
…	…

Квадратные (возведенные в квадрат) суммы (х + у)2 = х2 + 2ху + у2

Куб (третья степень) суммы (х + у)3 = =x3 + 3x2y + 3xy2 + y3

Четвертая степень суммы (х + у)4 = х4 + 4х3у + + 6х2у2 + 4ху3 + у4

Пятая степень суммы (х + у)5 = х5 + 5х4у + +10x3y2 + +10x2y3 + + 5xy4 + y5

Шестая степень суммы (х + у)6 = х6 + 6х5у + +15x4y2 + +20x3y3 + + 15x2y4 + 6xy5 + у6

…

Общая формула расчета суммы

(х + у) п

с произвольным натуральным значением n обсуждается в разделе «Бином Ньютона» нашего руководства.

Степень разности

Если в формулах из таблицы 1 заменить у на — у, то получим группу формул «Степень разности» (таблица 2.):

Таблица 2. Степень различия

Название формулы	Формула
Квадрат (вторая степень) различия	(х – у)2 = х2 – 2ху + у2
Куб (третья степень) разница	(х — у)3 = х3 — 3х2у + 3ху2 — у3
Четвертая разница мощности	(х — у)4 = х4 — 4х3у + 6х2у2 — 4ху3 + у4
Разница пятой степени	(х — у)5 = х5 — 5х4у + 10х3у2 — 10х2у3 + 5ху4 — у5
Разница в шестой степени	(x — y)6 = x6 — 6x5y + 15x4y2 — 20x3y3 + 15x2y4 — 6xy5 + y6
…	…

Квадратичная (квадратная) разница (х – у)2 = х2 – 2ху + у2

Куб (третья степень) разница (х – у)3 = =x3 — 3x2y + 3xy2 — y3

Четвертая разница мощности (х — у)4 = х4 — 4х3у + + 6x2y2 – 4xy3 + y4

Разница пятой степени (х — у)5 = х5 — 5х4у + + 10x3y2 – — 10x2y3 + + 5xy4–y5

Разница в шестой степени (х — у)6 = х6 — 6х5у + + 15x4y2 – – 20х3у3 + + 15x2y4 – 6xy5 + у6

…

Квадрат многочлена

Следующая формула используется довольно часто и называется «Квадрат многочлена»:

На словах эту формулу можно выразить так: — «Квадрат многочлена равен сумме квадратов всех его членов плюс сумма всех возможных двойных произведений его членов».

Куб трехчлена

Следующая формула называется «трехчленным кубом»:

(х + у + г)3 =
=x3 + y3 + z3 + 3x2y +
+3x2z+3xy2 +
+3xz2 +
+ 3y2z + 3yz2 + 6xyz .

Дополнительные формулы сокращенного умножения

В таблицу основных ФСО следует добавить еще несколько важных тождеств, которые будут полезны при решении задач.

Бином Ньютона

Формула разложения в отдельные члены целой неотрицательной степени суммы двух переменных. Записывается следующим образом:

Пример вычисления биномиальных коэффициентов, находящихся в строке номер девять треугольника Паскаля:

БСС квадрата и куба суммы и разности являются частными случаями биномиальной формулы Ньютона для n = 2 и n = 3.

Формула возведения в квадрат суммы трех, четырех и более слагаемых

Полезно, если в сумме больше двух членов, которые нужно возвести в степень.

(a1+a2+…+an)2 = a12 + a22 + … + an-12 + an2 + 2 * a1 * a2 + 2 * a1 * a3 + 2 * a1 * a4 + … +

+ 2 * a1 * an-1 + 2 * a1 * an + 2 * a2 * a3 + 2 * a2 * a4 +… + 2 * a2 * an-1 + 2 * a2 * an +…+

+2*ан-1*ан

Читается оно так: квадрат суммы n слагаемых равен сумме квадратов всех этих слагаемых и удвоенному произведению всех возможных пар этих слагаемых.

Формула разности n-ых степеней двух слагаемых

an − bn = (a − b) * (an-1 + an-2 * b + an-3 * b2 +… + a * bn-2 + bn-1).

Для четных чисел вы можете написать это так:

a2*m − b2*m = (a2 − b2) *(a2*m−2 + a2*m−4 * b2 + a2*m−6 * b4 + … + b2*m−2).

Для нечетных показателей:

a2*m+1 − b2* m+1 = (a − b) * (a2*m + a2*m−1 * b + a2*m−2 * b2 + … + b2*m).

Частными случаями являются формулы для разности квадратов и кубов при n = 2 и n = 3. Для разности кубов b также можно заменить на −b.

Решение задач

Давайте потренируемся и рассмотрим примеры с дробями.

Задание 1

Что делать: вычислить квадрат произведения (55 + 10)2.

Как решить: используем формулу суммы квадратов: (55+10)2=552+2*55*10+102=3025+1100+100=4225.

Задание 2

Что делать: упростить выражение 64*с3 — 8.

Как решаем: используем разность кубов: 64*s3 — 8 = (4*s) 3 — 23 = (4*s — 2) ((4*s) 2 + 4*s * 2 + 22) = (4*с — 2) (16*с2+8*с+4).

Задание 3

Что делать: раскроем скобки (7*у — х)*(7*у+х).

Как мы решаем:

1. Умножьте: (7 * у — х) * (7 * у + х) = 7 * у * 7 * у + 7 * у * х — х * 7 * у — х * х = 49 * у2 + 7 * у * х — 7 * у * х — х2 = 49 * у2 — х2.
2. Воспользуемся приведенной формулой умножения: (7 * у — х) * (7 * у + х) = (7 * у)2 — х2 = 49 * у2 — х2.

Не стоит бояться многочленов, просто выполняйте каждую операцию по порядку. С формулами быстрее и удобнее решать задачи — сохраняйте шпаргалку, запоминайте и радуйте учителей 🙂

Где можно применять ФСУ на примерах

Целью использования формул сокращенного умножения является быстрое и лаконичное умножение и возведение выражений в степень. Однако это далеко не все возможности ФСО. Они широко используются при сокращении выражений, сокращении дробей, когда нужно разложить многочлены на множители. Приведем примеры.

Пример задания 1. ФСО

Упростим выражение 9y-(1+3y)2.

Используем формулу суммы квадратов по правилу и получаем следующий вид:

9у-(1+3у)2=9у-(1+6у+9у2)=9у-1-6у-9у2=3у-1-9у2

Пример 2. ФСО

Сократим дробь 8×3-z64x2-z4.

Заметим, что в выражении в числителе стоит разность кубов, а в знаменателе — разность квадратов.

8×3-z64x2-z4=2x-z(4×2+2xz+z4)2x-z2x+z.

Уменьшаем и получаем:

8×3-z64x2-z4=(4×2+2xz+z4)2x+z

Также ФСУ помогают быстро вычислять значения выражений. Самое главное — уметь замечать, где должна использоваться формула. Покажем это на примере.

Возведем в квадрат число 79. Вместо громоздких вычислений запишем:

79=80-1;792=80-12=6400-160+1=6241.

Создается впечатление, что сложный расчет производился быстро только с помощью метода математических формул умножения, приведенных в сокращенном виде, и таблицы умножения.

Еще одним важным моментом является выбор квадрата бинома. Выражение 4×2+4x-3 можно преобразовать в 2×2+2 2 x 1+12-4=2x+12-4. Такие преобразования широко используются в интегрировании.