Формулы сокращенного умножения: таблица, примеры использования

Вычисления

Темы-предшественники ФСУ

Для того чтобы ученик понял, откуда взялась тема «Формулы сокращенного умножения», ее нужно представить как следствие умножения многочленов. Убедитесь, что у ученика нет проблем с биномиальным умножением.

Пример задания для проверки навыков
(6д + 3)(2 + 8д)
(2x + 7)(3 — 5x)
(3а2 – б3)(а3 – 4б2)

Поставленная математическая речь является преимуществом при изучении ФСО. Попрактикуйтесь с учеником в правильном произношении выражений.

Примеры обучения
а+б*в
сумма чисел a и произведение чисел b и c
d2-f: е
разница между квадратом d и частным f и e
(а*б+с2)2
квадрат суммы произведения чисел a и b на квадрат c

Начало изучения темы ФСУ

Попросите ребенка выполнить однотипные вычисления (примеры). Так вы сформируете основу для понимания новой темы. Попросите учащегося открыть скобки в примерах и найти закономерность.

Подготовка к формуле суммы квадратов
(2+с)(2+с)
(6а + 4)(6а + 4)
(а2 + б)(а2 + б)

Ученик поймет: вместо того, чтобы каждый раз открывать скобки, можно использовать формулы.

Формулы сокращенного умножения. Таблица

Впервые тема БСС оценивается в рамках предмета «Алгебра» по 7 уровням. Ниже приведены 7 основных формул, которые вам необходимо изучить и запомнить.

Формулы сокращенного умножения

  1. формула суммы квадратов: a+b2=a2+2ab+b2
  2. формула квадратичной разности: a-b2=a2-2ab+b2
  3. формула куба суммы: a+b3=a3+3a2b+3ab2+b3
  4. формула куба разности: a-b3=a3-3a2b+3ab2-b3
  5. формула разности квадратов: a2-b2=a-ba+b
  6. формула суммы костей: a3+b3=a+ba2-ab+b2
  7. формула разности кубов: a3-b3=a-ba2+ab+b2

Английскими буквами a, b, ci во всех формулах сокращенного умножения (в выражениях) может быть любое число, переменная или выражение. Для удобства использования семь основных формул или уравнений лучше выучить наизусть. Чтобы вам было легче учиться, мы сведем их к сокращенной таблице умножения и приведем ниже, обведя квадратиком. Это будет ваш своеобразный онлайн-гид, важный и нужный.

Формулы сокращенного умножения. Стол

Первые четыре формулы сокращенного умножения на математическом языке позволяют вычислить, соответственно, квадрат суммы или куб суммы, или разность двух выражений.

Пятая формула коэффициента умножения вычисляет разницу между квадратами выражений путем умножения их суммы и разности.

Шестая и седьмая формулы сокращенного смарта. — соответственно умножение суммы и разности выражений на неполный квадрат разности и неполный квадрат суммы.

Формулу сокращенного умножения иногда также называют тождествами сокращенного умножения. В этом нет ничего удивительного, поскольку всякое сходство есть тождество.

Для решения практических примеров часто используются формулы сокращенного умножения с перестановкой левой и правой частей. Это особенно удобно при разложении полинома на множители.

Формулы сокращенного умножения. Стол

Существуют также формулы сокращенного умножения под корнем.

Читайте также: Комплексные числа: тригонометрическая форма Z

Дополнительные формулы сокращенного умножения

Мы не будем ограничиваться курсом алгебры и математики 7-го класса и добавим в нашу таблицу БСС еще несколько формул.

Во-первых, рассмотрим биномиальную формулу Ньютона.

a+bn=Cn0 an+Cn1 an-1 b+Cn2 an-2 b2+..+Cnn-1 a bn-1+Cnn bn

Здесь Cnk — биномиальные коэффициенты, находящиеся в строке номер девять треугольника Паскаля. Биномиальные коэффициенты рассчитываются по формуле:

Cnk=n!k! (nk)!=n(n-1)(n-2)..(n-(k-1))k!

Другими словами, БСС для квадрата и куба разности и суммы является частным случаем биномиальной формулы Ньютона для n=2 и n=3 соответственно.

Но что, если в сумме, которую нужно возвести в степень, больше двух членов? Полезной будет формула квадрата суммы трех, четырех и более слагаемых.

a1+a2+..+an2=a12+a22+..+an2+2a1a2+2a1a3+..+2a1an+2a2a3+2a2a4+..+2a2an+2an-1an

Как читается эта формула? Квадрат суммы n слагаемых равен сумме квадратов всех слагаемых и удвоенному произведению всех возможных пар этих слагаемых.

Еще одна формула, которая может пригодиться, — это формула для разности n-х степеней двух членов.

ан-бн=а-бан-1+ан-2б+ан-3б2+..+а2бн-2+бн-1

Эта формула обычно делится на две формулы – для четных и нечетных чисел соответственно.

Для четных показателей 2m:

a2m-b2m=a2-b2a2m-2+a2m-4b2+a2m-6b4+..+b2m-2

Для нечетных показателей 2m+1:

a2m+1-b2m+1=a2-b2a2m+a2m-1b+a2m-2b2+..+b2m

Формулы разности квадратов и разности кубов, как вы уже догадались, являются частными случаями этой формулы для n=2 и n=3 соответственно. Для разности кубов b также заменяется на -b.

Бином Ньютона

Формула разложения в отдельные члены целой неотрицательной степени суммы двух переменных. Записывается следующим образом:
напишите формулу разложения на отдельные члены целой неотрицательной степени суммы двух переменных

Пример вычисления биномиальных коэффициентов, находящихся в строке номер девять треугольника Паскаля:
Пример расчета биномиальных коэффициентов

БСС квадрата и куба суммы и разности являются частными случаями биномиальной формулы Ньютона для n = 2 и n = 3.

Формула возведения в квадрат суммы трех, четырех и более слагаемых

Полезно, если в сумме больше двух членов, которые нужно возвести в степень.

(a1+a2+…+an)2 = a12 + a22 + … + an-12 + an2 + 2 * a1 * a2 + 2 * a1 * a3 + 2 * a1 * a4 + … +

+ 2 * a1 * an-1 + 2 * a1 * an + 2 * a2 * a3 + 2 * a2 * a4 +… + 2 * a2 * an-1 + 2 * a2 * an +…+

+2*ан-1*ан

Читается оно так: квадрат суммы n слагаемых равен сумме квадратов всех этих слагаемых и удвоенному произведению всех возможных пар этих слагаемых.

Формула разности n-ых степеней двух слагаемых

an − bn = (a − b) * (an-1 + an-2 * b + an-3 * b2 +… + a * bn-2 + bn-1).

Для четных чисел вы можете написать это так:

a2*m − b2*m = (a2 − b2) *(a2*m−2 + a2*m−4 * b2 + a2*m−6 * b4 + … + b2*m−2).

Для нечетных показателей:

a2*m+1 − b2* m+1 = (a − b) * (a2*m + a2*m−1 * b + a2*m−2 * b2 + … + b2*m).

Частными случаями являются формулы для разности квадратов и кубов при n = 2 и n = 3. Для разности кубов b также можно заменить на −b.

Как читать формулы сокращенного умножения?

Приведем соответствующие формулировки для каждой формулы, но сначала разберемся с принципом чтения формул. Удобнее всего это сделать на примере формулы сокращенного умножения. Возьмем самую первую формулу квадрата суммы двух чисел.

а+б2=а2+2аб+б2.

Говорят: квадрат суммы двух выражений а и b равен сумме квадрата первого выражения, удвоенному произведению выражений и квадрату второго выражения.

Все остальные формулы читаются аналогично. Для квадрата разности a-b2=a2-2ab+b2 запишем:

квадрат разности двух выражений a и b равен сумме квадратов этих выражений минус удвоенное произведение первого и второго выражений.

Давайте прочитаем формулу a+b3=a3+3a2b+3ab2+b3. Куб суммы двух выражений а и b равен сумме кубов этих выражений, троекратному произведению квадрата первого выражения на второе и троекратному произведению квадрата второго выражения и первое выражение.

Продолжаем читать формулу разности кубов a-b3=a3-3a2b+3ab2-b3. Куб разности двух выражений a и b равен кубу первого выражения минус умноженный на три квадрат первого выражения и второго, плюс умноженный на три квадрат второго выражения и первого выражения, минус куб второго выражения.

Пятая формула a2-b2=a-ba+b (разность квадратов) звучит так: разность квадратов двух выражений равна произведению разности на сумму двух выражений.

Для удобства такие выражения, как a2+ab+b2 и a2-ab+b2, называются неполным квадратом их суммы и неполным квадратом их разности соответственно.

С учетом этого формулы суммы и разности игральных костей должны выглядеть следующим образом:

Сумма кубов двух выражений равна произведению суммы этих выражений на неполный квадрат их разности.

Разность кубов двух выражений равна произведению разности этих выражений на неполный квадрат их суммы.

Связь с геометрией

Дети радуются, когда сухие буквы и цифры находят осмысленное объяснение. Дайте геометрические доказательства формул. Это покажет связь между алгеброй и геометрией и укрепит понимание справедливости FSO.

Геометрическое доказательство квадрата суммы

Геометрическое доказательство квадратичной разности

Доказательство ФСУ

доказать БСС довольно просто. Опираясь на свойства умножения, выполним умножение частей формул в скобках.

Например, рассмотрим формулу квадрата разности.

а-б2=а2-2аб+б2.

Чтобы возвести выражение во вторую степень, нужно умножить это выражение само на себя.

а-б2=а-ба-б.

Раскроем скобки:

a-ba-b=a2-ab-ba+b2=a2-2ab+b2.

Формула доказана. Аналогично доказываются остальные ФСО.

Варианты формул

Рассмотрите с учащимися ситуации, аналогичные классическому квадрату суммы и квадрату разности.

Варианты формулы
(−а + b)2 = a2 − 2ab + b2 = (a − b)2 = (b − a)2
(−а − b)2 = a2 + 2ab + b2 = (a + b)2

Не давайте эти формулы запоминать. Цель состоит в том, чтобы увидеть сходство с классическими формулами и потренировать навыки расчета на нестандартизированных примерах.

Где можно применять ФСУ на примерах

Целью использования формул сокращенного умножения является быстрое и лаконичное умножение и возведение выражений в степень. Однако это далеко не все возможности ФСО. Они широко используются при сокращении выражений, сокращении дробей, когда нужно разложить многочлены на множители. Приведем примеры.

Пример задания 1. ФСО

Упростим выражение 9y-(1+3y)2.

Используем формулу суммы квадратов по правилу и получаем следующий вид:

9у-(1+3у)2=9у-(1+6у+9у2)=9у-1-6у-9у2=3у-1-9у2

Пример 2. ФСО

Сократим дробь 8×3-z64x2-z4.

Заметим, что в выражении в числителе стоит разность кубов, а в знаменателе — разность квадратов.

8×3-z64x2-z4=2x-z(4×2+2xz+z4)2x-z2x+z.

Уменьшаем и получаем:

8×3-z64x2-z4=(4×2+2xz+z4)2x+z

Также ФСУ помогают быстро вычислять значения выражений. Самое главное — уметь замечать, где должна использоваться формула. Покажем это на примере.

Возведем в квадрат число 79. Вместо громоздких вычислений запишем:

79=80-1;792=80-12=6400-160+1=6241.

Создается впечатление, что сложный расчет производился быстро только с помощью метода математических формул умножения, приведенных в сокращенном виде, и таблицы умножения.

Еще одним важным моментом является выбор квадрата бинома. Выражение 4×2+4x-3 можно преобразовать в 2×2+2 2 x 1+12-4=2x+12-4. Такие преобразования широко используются в интегрировании.

Решение задач

Давайте потренируемся и рассмотрим примеры с дробями.

Задание 1

Что делать: вычислить квадрат произведения (55 + 10)2.

Как решить: используем формулу суммы квадратов: (55+10)2=552+2*55*10+102=3025+1100+100=4225.

Задание 2

Что делать: упростить выражение 64*с3 — 8.

Как решаем: используем разность кубов: 64*s3 — 8 = (4*s) 3 — 23 = (4*s — 2) ((4*s) 2 + 4*s * 2 + 22) = (4*с — 2) (16*с2+8*с+4).

Задание 3

Что делать: раскроем скобки (7*у — х)*(7*у+х).

Как мы решаем:

  1. Умножьте: (7 * у — х) * (7 * у + х) = 7 * у * 7 * у + 7 * у * х — х * 7 * у — х * х = 49 * у2 + 7 * у * х — 7 * у * х — х2 = 49 * у2 — х2.
  2. Воспользуемся приведенной формулой умножения: (7 * у — х) * (7 * у + х) = (7 * у)2 — х2 = 49 * у2 — х2.

Не стоит бояться многочленов, просто выполняйте каждую операцию по порядку. С формулами быстрее и удобнее решать задачи — сохраняйте шпаргалку, запоминайте и радуйте учителей 🙂

Оцените статью
Блог о Microsoft Word