Гипербола в Математике

Вычисления

Понятие гиперболы

Гипербола — это множество точек на плоскости, где модуль разности расстояний от двух точек (они же «фокусы») есть величина постоянная и меньшая, чем расстояние между фокусами.

Каноническое уравнение для гиперболы в алгебре выглядит так:

каноническое уравнение

, где a и b — положительные действительные числа.

Кстати, канонические средства приняты за образец.

В отличие от эллипса здесь не выполняется условие a > b, а значит, a может быть меньше b, а если a = b, то гипербола будет равносторонней.

Мы помним, что гипербола в математике выглядит так: y = 1/x, что существенно отличается от канонической записи.

Вспомните свойства математической гиперболы:

  • Две симметричные ветви.
  • Две асимптоты. Асимптота – это прямая, обладающая тем свойством, что расстояние от точки на кривой до этой прямой стремится к нулю по мере удаления точки по ветви в бесконечность. Их значение помогает найти конкретное уравнение для асимптот гиперболы.

Если гипербола задана каноническим уравнением, асимптоты можно найти следующим образом:

каноническое уравнение

Пример 1. Построить гиперболу, которая задается уравнением 5(x^2) — 4(y^2) = 20.

Как мы решаем:

  1. Приведем это уравнение к каноническому виду (x^2)/(a^2) — (y^2)/(b^2) = 1.Чтобы получить «единицу» в правой части, мы делим обе части исходного уравнения на 20:

    решение уравнения рис1

  2. Сокращаем обе дроби мысленно или используем трехэтажную дробь:
    решение уравнения рис2
  3. Выберем маршруты в знаменателях:
    решение уравнения рис3
  4. Прозрачный. Вы можете нарисовать гиперболу.

Можно было сделать проще и дроби левой части 5(x^2)/20 — 4(y^2)/20 = 1 сразу сократить и получить (x^2)/4 — (y^2) /5 = 1. Нам повезло с примером, потому что число 20 делится и на 4, и на 5. Давайте рассмотрим более сложный пример.

Пример 2. Построить гиперболу, заданную уравнением 3(x^2)/20 — 8(y^2)/20 = 1.

Как мы решаем:

решение уравнения 1
решение уравнения 2

и:

  1. Сделаем сокращение с помощью трехэтажной дроби:
  2. Воспользуемся каноническим уравнением
    каноническое уравнение
    • Найдите асимптоты гиперболы. Как это:
      Важно! Без этого шага ветви гиперболы будут «выползать» за асимптоты.
    • Найдем две вершины гиперболы, расположенные на оси x в точках A1(a; 0), A2(-a; 0).Если y = 0, каноническое уравнение становится (x ^ 2)/(a ^ 2) — (y ^ 2)/(b ^ 2) = 1 (x ^ 2)/(a ^ 2) = 1, из которого подразумевает, что x^2 = a^2 -> x = a, x = -a.

      Эта гипербола имеет вершины A1(2;0), A2(-2;0).

    • Найдем еще точек — двух-трех будет достаточно.В каноническом положении гипербола симметрична относительно начала координат и обеих координатных осей, поэтому расчеты достаточно произвести для одной координатной четверти.

      Метод тот же, что и при построении эллипса. Из полученного канонического уравнения

      решение канонического уравнения

      на осадке выражаем:

      решение уравнения 2

      Уравнение разделено на две функции:

      решение уравнения 3

      — определяет верхние дуги гиперболы (то, что мы ищем);

      решение уравнения 5

      определяет нижние дуги гиперболы.

      Затем найдите точки с абсциссой x = 3, x = 4:

      решение уравнения 6

  3. Изобразим на рисунке полученные асимптоты y = (√5/2)x, y = -(√5/2)x, вершины A1(2; 0), A2(-2; 0), далее C1, C2 и точки, симметричные точкам в других координатных четвертях. Аккуратно соединим соответствующие точки на каждой ветви гиперболы.

Может возникнуть техническая трудность с иррациональным наклоном √5/2 ≈ 1,12, но это вполне разрешимая проблема.

Настоящей осью гиперболы является отрезок A1A2.

Расстояние между углами — длина |A1A2| = 2а.

Действительной полуосью гиперболы является число a = |OA1| = |ОА2|.

Мнимая полуось гиперболы есть число b.

В нашем примере: a = 2, b = √5, |А1А2| = 4. И если такую ​​гиперболу вращать вокруг центра симметрии или перемещать, значения не изменятся.

Воображаемая полупрямая гипербола

Читайте также: Как найти высоту в треугольнике abc: формулы, примеры задач

Форма гиперболы

Давайте рассмотрим основные понятия и выясним, какие формы имеет гипербола.

Гипербола симметрична относительно точки О — середины отрезка F’F. Он также симметричен относительно линии F’F и линии Y’Y через O, перпендикулярной F’F. Точка О является центром гиперболы.

Прямая F’F пересекает гиперболу в двух точках: А (а; 0) и А’ (-а; 0). Эти точки являются вершинами гиперболы. Отрезок А’А = 2а является действительной осью гиперболы.

Несмотря на то, что прямая Y’Y не пересекает гиперболу, на ней принято откладывать отрезки B’O = OB = b. Такой отрезок B’B = 2b (тоже прямую Y’Y) можно назвать мнимой осью гиперболы.

Так как AB^2 = OA^2 + OB^2 = a^2 + b^2, то из равенства следует: AB=c, то есть расстояние от вершины гиперболы до конца мнимой оси равно равно полуфокусному расстоянию.

половина фокусного расстояния

Воображаемая ось 2b может быть больше, меньше или равна реальной оси 2а. Если действительная и мнимая оси равны (a = b) — это равносторонняя гипербола.

Отношение F’F/A’A между фокусным расстоянием и действительной осью называется эксцентриситетом гиперболы и обозначается, например, Эксцентриситет равносторонней гиперболы равен √2.

Гипербола полностью лежит вне полосы, ограниченной прямыми PQ и RS, параллельными Y’Y и отстоящими от Y’Y на расстояние ОА = А’О = а. Справа и слева от этой полосы гипербола продолжается до бесконечность.

гипербола продолжается до бесконечности

Для тех, кто хочет связать жизнь с точными науками, Skysmart предлагает курсы профильной математики.

Описание гиперболы

Основные характеристики:

  1. Две симметричные ветви о происхождении. Так что функция странная.
  2. Две асимптоты.
  3. Диапазон принимает все числа, кроме нуля.
  4. Диапазон принимает все числа, кроме нуля.
  5. У него нет максимальных и минимальных значений.

Основные формулы

Как мы уже выяснили, сама функция задается уравнением:

у=к/х

Но и для построения необходимо знать, как расположены асимптоты.

В стандартном случае это оси абсцисс и ординат. Но асимптоты можно сдвинуть. Тогда функция будет задана уравнением вида:

y=k/(xa)+b, где:

  • x=a — вертикальная асимптота графика (при a≠0) вместо оси y. Если a предшествует минус, сдвиг происходит вправо. Если а предшествует «плюс», то сдвиг происходит влево;
  • y=b — горизонтальная асимптота графика (при b≠0) вместо оси x. Если b предшествует минус, смещение уменьшается. Если перед b стоит «плюс», то смещение вверх.

Асимптоты и фокусы гиперболы

Асимптоты гиперболы

Фокус находится на оси X (с этого мы и начали). Расстояние до центра гиперболы (он же центр симметрии C) называется фокальной точкой и обозначается буквой «с». Его формула:

202

Умозрительно очевидно, что часть конуса состоит из двух кривых. Их называют ветвями гиперболы. Несомненно также, что ветви ограничены воображаемой поверхностью. Фокус всегда находится внутри ветвей.

Помучавшись с производными и пределами, получаем формулы асимптот (прямые, расстояние, которое от кривой стремится к нулю на бесконечном расстоянии от «0»):

203

Расстояние от фокуса до асимптоты называется прицельным параметром и обозначается буквой «б».

Фокальное свойство гиперболы

Точки F1 и F2 называются фокусами гиперболы, расстояние между ними 2c = F1F2 — фокусное расстояние, середина O отрезка F1F2 — центр гиперболы, число 2a — длина действительной оси гиперболы гипербола (соответственно а — действительная полуось гиперболы).

Отрезки F1M и F2M, соединяющие произвольную точку M гиперболы с ее фокусами, называются радиусами фокуса точки M. Отрезок, соединяющий две точки гиперболы, называется хордой гиперболы.

Отношение e = a/c, где c = √(a^2 + b^2), называется эксцентриситетом гиперболы. Из определения (2a < 2c) следует, что e > 1.

Геометрическое определение гиперболы, выражающее ее фокальное свойство, аналогично ее аналитическому определению — прямой, которое задается каноническим уравнением гиперболы:

рисунок

Рассмотрим, как это выглядит в прямоугольной системе координат:

  • пусть центр O гиперболы будет началом системы координат;
  • прямая, проходящая через фокусы (ось фокуса), принимается за ось абсцисс (положительное направление на ней из точки F1 в точку F2);
  • прямая, перпендикулярная оси абсцисс и проходящая через центр гиперболы, принимается за ось ординат (направление оси ординат выбрано так, чтобы прямоугольная система координат Оху была прямой).

график и формула гиперболы

Воспользуемся геометрическим определением и напишем уравнение гиперболы, которое будет выражать свойство фокальности. В выбранной системе координат определяем координаты фокусов F1(-c, 0) и F2(c, 0). Для произвольной точки M(x, y), принадлежащей параболе, имеем:

уравнение

Запишем это уравнение в координатной форме:

уравнение в координатной форме

Избавимся от иррациональности и перейдем к каноническому уравнению гиперболы:

избавиться от иррациональности

, т е выбранная система координат является канонической.

Если подумать в обратном направлении, можно убедиться, что все точки, координаты которых удовлетворяют уравнению (x^2)/(a^2) — (y^2)/(b^2) = 1, и только те, которые принадлежат геометрическому месту точек, называемых гиперболой. Вот почему аналитическое определение гиперболы эквивалентно ее геометрическому определению.

Эксцентриситет гиперболы

Эксцентриситет рассчитывается как значение:

206

Или, в другой нотации:

207

Это параметр, характеризующий отклонение конического сечения от окружности:

  • кривые с одинаковым эксцентриситетом равны;
  • наклон асимптоты.

Директориальное свойство гиперболы

Директриса гиперболы – это две прямые, параллельные оси.

ординаты канонической системы координат на том же расстоянии (a^2)/c от нее. Если a = 0, гипербола вырождается в пару пересекающихся прямых, а направляющие совпадают.

Каталожное свойство гиперболы:

Гиперболу с эксцентриситетом e = 1 можно определить как геометрическое место точек на плоскости, для каждой из которых отношение расстояния до данной точки F (фокуса) к расстоянию до заданной прямой d (направляющей) равно не пройти данную точку постоянна и равна эксцентриситету e.

Здесь F и d — один из фокусов гиперболы и одно из ее направлений, расположенных по одну сторону от оси у канонической системы координат.

каноническая система координат

Действительно, для фокуса F2 и проводника d2 выполняется условие

состояние

можно записать в координатной форме следующим образом:

координатная форма

Избавившись от иррациональности и подставив e = a/c, c^2 — a^2 = b^2, мы приходим к каноническому уравнению гиперболы. Аналогичные рассуждения можно провести для фокуса F1 и проводника d1:

избавиться от иррациональности

Равнобочная (равносторонняя) гипербола

Такая кривая задается a = b, Если мы повернем систему координат, функция может быть приведена к виду:

208
209

Эксцентриситет этой конструкции будет квадратным корнем из 2.

Другими словами, мы получаем график обратной пропорциональности:

210

Или «любимый» школьниками.

211
212

Поскольку речь идет о школьном курсе, добавим информацию:

  • линии x = 0, y = 0 — асимптоты;
  • область определения — все действительные числа, кроме 0;
  • диапазон значений — все, кроме 0;
  • функция странная, потому что меняет знак при изменении знака аргумента;
  • уменьшается для положительных и отрицательных x.

Касательная и нормаль

В каждой точке гладкой кривой можно построить касательную и нормаль (перпендикуляр). Гипербола не исключение. Касательная — прямая, совпадающая с кривой только в одной точке (в пределах изгиба того же порядка).

Уравнение касательной в точке с координатами (x0y0) имеет вид:

214

В другой форме:

215

Слишком часто:

216

Сопряженные гиперболы

Записанное таким образом уравнение даст сопряженную фигуру:

217

То есть с теми же асимптотами, но расположенными иначе, с поворотом на 90°.

Пример на рисунке.

218

Построение гиперболы

Чтобы запомнить алгоритм построения гиперболы, рассмотрите рисунок и комментарии к нему.

Построим главный прямоугольник гиперболы и проведем диагонали. Если продолжить диагонали прямоугольника за границы, то получим асимптоты гиперболы.

В силу симметрии достаточно построить гиперболу в первом квадранте, где находится график функции:

график функции

Важно учесть, что эта функция возрастает на интервале , при x = a, y = 0, и график приближается к асимптоте y = (b/a) * x снизу. Нарисуйте график:

нарисовать график

Кроме того, график, построенный в первой четверти, оказывается симметричным относительно бычьей оси, и мы получаем правую ветвь гиперболы. Теперь покажем правую ветвь гиперболы относительно оси Oy.

По определению эксцентриситет гиперболы гиперболический эксцентриситет

Зафиксируем реальную ось 2а и начнем изменять фокусное расстояние 2с.

Поскольку b^2 = c^2 — a^2, значение b изменится.

  1. Пусть с -> а.В этом случае ε -> 1, b -> 0 и мнимые вершины B1, B2 стремятся к началу координат, асимптоты приближаются к оси ox. Главный прямоугольник гиперболы выражается границей на отрезке A1A2, а сама гипербола выражается двумя лучами на оси абсцисс: (-∞; -a и </a>a; ∞).
  2. Пусть с -> ∞.В этом случае ε -> ∞, b -> ∞ и мнимые вершины B1B2 стремятся к бесконечности, асимптоты приближаются к оси Oy. Главный прямоугольник гиперболы вытянут вдоль оси у, а ветви гиперболы приближаются к прямым х = +-а и в пределе сливаются с ними. Гипербола выражается двумя прямыми х = +-а, параллельными оси Оу.

В этом случае ε -> ∞, b -> ∞ и мнимые вершины B1B2 стремятся к бесконечности, асимптоты приближаются к оси Oy. Главный прямоугольник гиперболы вытянут вдоль оси у, а ветви гиперболы приближаются к прямым х = +-а и в пределе сливаются с ними. Гипербола выражается двумя прямыми х = +-а, параллельными оси Оу.

Равносторонняя гипербола — это гипербола, эксцентриситет которой равен √2. Его еще называют равносторонним.

Из определения следует, что в равносторонней гиперболе a = b ее каноническое уравнение выглядит так: x^2 — y^2 = a^2

Фактически, ε = c/a = √2, откуда c^2 = 2a^2 и b^2 = c^2 — a^2 = a^2. А так как a и b положительные числа, мы получаем a = b.

Пример 1

Функция y = 4/x задана. Давайте построим это.

Решение

Поскольку k > 0, гипербола будет находиться в I и III координатных квадрантах.

Чтобы построить график, необходимо сначала создать таблицу соответствия между значениями x и y. То есть мы берем конкретное значение x, заменяем его формулой функции и получаем y.

икс у Расчет у
0,5 8 4 / 0,5 = 8
1 4 4/1 = 4
2 2 4/2 = 2
4 1 4/4 = 1
8 0,5 4/8 = 0,5

Теперь отмечаем найденные точки на координатной плоскости и соединяем их плавной линией, которая будет обращена к осям координат. В результате получается ветвь гиперболы, расположенная в первой четверти.

Для построения ответвления в третьем квартале вместо x подставляем в формулу -xi. Вот как мы вычисляем значения y.

икс у Расчет у
-0,5 -8 4 / -0,5 = -8
-1 -4 4 / -1 = -4
-2 -2 4 / -2 = -4
-4 -1 4/-4 = -1
-8 -0,5 4/-8 = -0,5

Соединив полученные точки, получим следующий результат. На этом построение гиперболы завершено.

Пример 2

Приведенный выше пример был одним из самых простых (без изменения асимптот). Усложним задачу и построим гиперболу, заданную функцией ниже:

Пример обратно пропорциональной функции

Решение

Поскольку k < 0, график будет помещен во вторую и четвертую четверти.

Теперь определим асимптоты, в нашем случае это x = 3 и y = 4 (об их сдвигах см информацию выше).

Создадим таблицу соответствия между значениями x и y.

х II кв. у II кв. х IV кв. у IV кв.
-1 4,5 3,5 0
1 5 4 2
2 6 5 3
2,5 8 7 3,5

Остается только нанести рассчитанные точки на координатную плоскость и соединить их плавными линиями.

Геометрический смысл коэффициентов в уравнении гиперболы

Найдем точки пересечения гиперболы (рис. 3.42, а) с осью абсцисс (угловые точки гиперболы). Подставляя в уравнение, находим абсциссы точек пересечения: . Следовательно, вершины имеют координаты. Длина отрезка, соединяющего вершины, равна . Этот отрезок называется вещественной осью гиперболы, а число — вещественной полуосью гиперболы. Заменяем, получаем. Длина отрезка оси у, соединяющего точки, равна . Этот отрезок называется мнимой осью гиперболы, а число — мнимой полуосью гиперболы. Гипербола пересекает прямую, содержащую действительную ось, и не пересекает прямую, содержащую мнимую ось.

Примечания 3.10.

  •  Прямые ограничивают на координатной плоскости главный прямоугольник, вне которого расположена гипербола (рис. 3.42, а).
  •  Прямые, содержащие диагонали главного прямоугольника, называются асимптотами гиперболы (рис. 3.42, а).

Для равносторонней гиперболы, описываемой уравнением (т.е для), главный прямоугольник представляет собой квадрат, диагонали которого перпендикулярны. Поэтому асимптоты равносторонней гиперболы также перпендикулярны, и их можно принять за координатные оси прямоугольной системы координат (рис. 3.42, б). В этой системе координат гиперболическое уравнение имеет вид (гипербола совпадает с графиком элементарной функции, выражающей обратно пропорциональную зависимость).

Действительно, повернем каноническую систему координат на угол (рис. 3.42, б). В этом случае координаты точки в старой и новой системах координат связаны подобием

Подставляя эти выражения в уравнение равносторонней гиперболы и вводя аналогичные члены, получаем

  •  Оси координат (канонической системы координат) являются осями симметрии гиперболы (называемыми главными осями гиперболы), а ее центр — центром симметрии.

В самом деле, если точка принадлежит гиперболе, то точки и , симметричные этой точке относительно осей координат, также принадлежат этой же гиперболе.

Ось симметрии, на которой расположены фокусы гиперболы, является фокальной осью.

  •  Из уравнения гиперболы в полярных координатах (см рис. 3.41, б) выясняется геометрический смысл фокального параметра — это половина длины хорды гиперболы, проходящей через фокус перпендикулярно фокальной ось (кл).
  •  Эксцентриситет характеризует форму гиперболы. Чем больше, тем шире ветви гиперболы, и чем ближе к единице, тем уже ветви гиперболы (рис. 3.43, а).

Угол между асимптотами гиперболы, содержащей ее ветвь, определяется отношением сторон основного прямоугольника: . Учитывая, что и , получаем

Чем больше, тем больше угол. Для равносторонней гиперболы имеем и . Для угол тупой, а для угол острый (рис. 3.43, а).

  •  Две гиперболы, заданные в одной системе координат уравнениями, называются сопряженными друг другу. Такие же асимптоты имеют сопряженные гиперболы (рис. 3.43, б). Уравнение сопряженной гиперболы сводится к каноническому переименованием координатных осей (3.38).
  •  Уравнение определяет гиперболу с центром в точке, оси которой параллельны осям координат (рис. 3.43, в). Это уравнение сводится к каноническому с помощью параллельного переноса (3.36). Уравнение определяет сопряженную гиперболу с центром в точке .

Параметрическое уравнение гиперболы

Параметрическое уравнение гиперболы в канонической системе координат имеет вид

где – гиперболический косинус, а – гиперболический синус.

Подставляя координатные выражения в уравнение (3.50), мы фактически приходим к основному гиперболическому тождеству .

Пример 3.21. Нарисуйте гиперболу в канонической системе координат. Найдите полуоси, фокусное расстояние, эксцентриситет, параметр фокуса, уравнения асимптот и директрисы.

Решение. Сравнивая данное уравнение с каноническим, определяем полуоси: — действительная полуось, — мнимая полуось гиперболы. Строим основной прямоугольник со сторонами, центрированными в начале координат (рис. 3.44). Мы рисуем асимптоты, продолжая диагонали основного прямоугольника. Построим гиперболу с учетом ее симметрии относительно осей координат. При необходимости определяем координаты некоторых точек гиперболы. Например, подставив гиперболу в уравнение, получим

Следовательно, точки с координатами и принадлежат гиперболе. Расчет фокусного расстояния

Использование

Коническое сечение

Где используется знание гиперболы:

  • создавать эллиптические и другие координаты;
  • в солнечных часах (сечение светового конуса);
  • для анализа движения пространственных объектов.
Оцените статью
Блог о Microsoft Word