Исследование СЛАУ: определения, условия, методы, виды, свойства

Определение системы линейных уравнений

Система линейных алгебраических уравнений (или сокращенно «СЛАУ») — это система, которая в общем случае выглядит так:

• m — количество уравнений;
• n — количество переменных.
• x1, x2,…, xn неизвестны;
• a11, a12,…, amn – коэффициенты при неизвестных;
• b1, b2,…, bm — свободные члены.

Индексы коэффициентов (aij) формируются следующим образом:

• i — номер линейного уравнения;
• j — номер переменной, к которой относится коэффициент.

Решением СЛАУ являются такие числа c1, c2,…,cn, при замене ими x1,x2,…,xn все уравнения системы станут тождествами.

Виды СЛАУ

1. Однородная — все свободные члены системы равны нулю (b1 = b2 =… = bm = 0).
   
2. Неоднородный — если вышеуказанное условие не выполняется.
3. Квадрат — количество уравнений равно количеству неизвестных, т.е m = n.
   
4. Недоопределенный — количество неизвестных больше, чем количество уравнений.
   
5. Переопределено — уравнений больше, чем переменных.
   

В зависимости от количества решений СЛАУ может быть:

1. Правильно — имеет хотя бы одно решение. Также, если она единственная, система называется детерминированной, если существует несколько решений, она называется неопределенной.
   
   Приведенная выше СЛАУ является общей, поскольку существует по крайней мере одно решение: x = 2, y = 3.
2. Несовместная — система не имеет решений.
   
   Правые части уравнений одинаковы, а левые — нет. Таким образом, решений нет.

Способы решения систем уравнения:

• Графический метод
• Метод замены
• Дополнительный метод ➕

Ниже мы разберем каждый метод более подробно.

1. Графический метод решения

Графический метод решения Графический метод решения

Для решения системы графически нам понадобится:

• Выразите переменную y из каждого уравнения;
• Стройте таблицы значений для каждого уравнения (см изображение ниже);

Построить таблицу значений для каждого уравнения Построить таблицу значений для каждого уравнения

• Построить графики по баллам, полученным в таблице;
• Найдите пересечение графиков — это и будет решением

Таким образом, решением этого уравнения будет точка (3;2), то есть x=3, y=2.

2. Способ подстановки

Метод замещения говорит сам за себя — мы берем что-то и заменяем на другое. Ниже представлен алгоритм действий

Алгоритм решения замены Алгоритм решения замены

Давайте рассмотрим конкретный пример.

Пример решения системы уравнений методом подстановки Пример решения системы уравнений методом подстановки

То есть мы выразили y из первого уравнения, заменили его вторым и нашли значение x. Затем мы нашли значение y. Это просто!‍♀️

Читайте также: Решение квадратных неравенств методом интервалов

3. Способ сложения

Напоминание для тех, кто забыл:

• коэффициенты — это числа перед x и y;
• x и y являются переменными.

Алгоритм метода сложения Алгоритм метода сложения

Получается, что наша задача — избавиться от одной из переменных, чтобы решить обыкновенное уравнение с еще одной переменной.

Звучит не очень сложно. Давайте посмотрим на пример!

Пример решения системы уравнений сложением Пример решения системы уравнений сложением

В примере мы умножили первое уравнение на -2, чтобы при х вместо 5 коэффициент стал -10.

А затем мы сложили первое и второе уравнения: -10x + 10x = 0. Так мы избавились от x, кроме того, решение очень похоже на предыдущий способ.

Матричная форма записи системы

СЛАУ можно представить в матричном виде:

АХ=В

• А — матрица, образованная коэффициентами при неизвестных:
  
• X — столбец переменных:
  
• B — столбец со свободными членами:
  

Пример
Представим систему уравнений ниже в матричной форме:

Используя приведенные выше формы, мы собираем основную матрицу коэффициентов, столбцов неизвестных и свободных членов.

Полный обзор данной системы уравнений в матричной форме:

Расширенная матрица СЛАУ

Если в матрицу системы А справа добавить столбец свободных членов В и разделить данные вертикальной чертой, то получится расширенная матрица СЛАУ.

Для приведенного выше примера это выглядит так:

– обозначение расширенной матрицы.

Общие сведения (определения, условия, методы, виды)

Системы линейных алгебраических уравнений с n неизвестными могут иметь:

• единоличное решение;
• бесконечное множество решений (неопределенная СЛАУ);
• нет решения (несовместимая СЛАУ).

Пример 1

Система x+y+z=12x+2y+2z=3 не имеет решений, поэтому она несовместна.

Система x+y=12x+7y=-3 имеет единственное решение x=2;y=1.

Система x+y=12x+2y=23x+3y=3 имеет бесконечное множество решений x=ty=1-t при -∞<>

Комментарий

Перед решением системы уравнений необходимо исследовать систему, т.е ответить на следующие вопросы:

• Совместима ли система?
• Если система совместима, сколько у нее решений — одно или несколько?
• Как найти все решения?

Если система мала по размеру m=n, то на поставленные вопросы можно ответить с помощью метода Крамера:

• если главный определитель системы, то система совместна и имеет единственное решение, которое вычисляется методом Крамера;
• если и является одним из вспомогательных определителей, то система несовместна, т е не имеет решений;
• если оба равны всем и одному из коэффициентов СЛАУ, то система недоопределена и имеет бесконечное множество решений.

Ранг матрицы и его свойства

Есть случаи, которые выделяются из представленных вариантов решения СЛАУ, например линейные уравнения с большим количеством уравнений и неизвестных.

Определение 1

Для такого решения существует матричное ранжирование, представляющее собой алгоритм действий в случае решения матричной системы, когда

В математике различают следующие подходы к определению ранга матрицы:

• используя понятие линейной зависимости/независимости строк/столбцов в матрице. Ранг равен максимальному количеству независимых строк (столбцов) в матрице
• используя понятие матричного минора как высшего порядка ненулевого минора. Минором матрицы порядка k называется определитель k-го порядка, составленный из элементов, находящихся на пересечении скрещенных k строк и k столбцов матрицы;
• с помощью метода Гаусса. После завершения прямого хода ранг матрицы равен количеству ненулевых строк.

Обозначение ранга матрицы: r(A),rg(A),rA.

Свойства матричной сортировки:

1. квадратная невырожденная матрица имеет ненулевой ранг;
2. если вы транспонируете массив, ранг массива не меняется;
3. если поменять местами 2 параллельные строки или 2 параллельных столбца, ранг матрицы не изменится;
4. при удалении нулевого столбца или строки ранг матрицы не меняется;
5. ранг матрицы не меняется, если удалить строку или столбец, являющиеся линейной комбинацией других строк;
6. при умножении всех элементов строки/столбца на ненулевое число ранг матрицы не меняется;
7. ранг матрицы не больше наименьшей из ее размерностей: r(А)≤min(m;n) ;
8. когда все элементы матрицы равны нулю, то только тогда r(A)=0 .

Пример 2

А1=111222333,В1=100000

г(Ал)=1,г(Вл)=1

Пример 3

А2=123405670000; B2=11312143125054136

г(А2)=2; г(В2)=2

Пример 4

А3=111123149

г(А3)=3

Ранг матрицы A1 вычисляется на основе свойства определителя, содержащего строки пропорциональных элементов, так как любой меньший, чем второй или третий порядок матрицы A1 равен нулю.
Ранжирование матриц B1, A2 вычисляется путем вычеркивания нулевых строк, так как в матрице A2 минор отличен от нуля на пересечении первых двух строк и первых двух столбцов.
Матрица A3 неособая, потому что ее ранг равен 3. (Вы можете проверить, что условие ∆=A3 не равно нулю).

Теперь вычислим ранг матрицы B2 с помощью элементарных преобразований:

• умножьте элементы 1-й строки на (-2) и прибавьте к ним соответствующие элементы 2-й строки;
• умножить элементы первой строки на (-1) и прибавить к соответствующим элементам третьей строки;
• умножьте элементы в строке 1 на (-5) и добавьте соответствующие элементы в строке 4:

В2=11312143125054136(-2)(-1)(-5)+++⇒11310-1-21012-10-1-21⇒

мы добавляем 3-ю строку ко 2-й и 4-й строке:

⇒11310000012-10000⇒1131012-1

Таким образом, количество ненулевых строк равно 2 или минору 2-го порядка в левом углу матрицы:

М(2)=1101=10не равно нулю⇒r(B2)=2

ч.и т.д.

Теорема Кронеккера-Капелли (о разрешимости СЛАУ)

Определение 4

Теорема Кронекера–Капелли — теорема, доказывающая, что для непротиворечивости СЛАУ необходимым и достаточным условием является равенство ранга r матрицы и ранга расширенной матрицы.
Для совместной СЛАУ справедливой считается следующая теорема.

Теорема о числе решений системы

Пусть ранг матрицы, составленной из коэффициентов СЛАУ, равен рангу расширенной матрицы. В этом случае, если r=n (где n — количество неизвестных в системе), то система имеет единственное решение, если r,>
Если система определена, то для ее решения подходят методы Крамера, Гаусса и матрицы.
Если система не определена, то некоторым (nr) неизвестным (свободным) можно присвоить произвольные значения, а r-неизвестным (основным) определить через свободные однозначно.

При этом основными становятся те, у которых определитель, который складывается из коэффициентов при них и отличен от нуля, становятся основными. Выражения для основных переменных, полученные через свободные, объявляются решением системы.

Пример 5

Исследуйте и решите матрицу:

х-2х-х+2х=12х-х+4х+4х=5+4х-2х+х=54х+х+4х+9х=2

Составим расширенную матрицу системы и приведем ее к ступенчатому виду методом Гаусса.
Определяем ранг, а ранг основной матрицы определяется замыканием столбца правильными частями.

1-2-1212-144504-21541492(-2)(-4)++⇒1-2-1210360304-2150981-2÷(3)⇒

⇒1-2-121012010-2-2150881-2(-4)(-9)++1-2-1210120100-101100-101-11(-1)+⇒

⇒0-2-1210120100-10110000-12⇒r(A)=31(Ap)=41r(A) в отличие от r(Ap).

Ответ: Система несовместима.

Пример 6

Рассмотрим систему линейных уравнений и найдем ранг матрицы:

n=4,m=3:x1-3×2+4×3-x4=13×1+7×2-10×3+5×4=52×1+2x-3x32x4=3

A=1-34-137-10522-32(-3)(-2)++⇒1-34-1016-22808-11412+⇒

⇒1-34-1016-2280000⇒r(А)=2

Составим расширенную матрицу системы и найдем ранг:

Ар=1-34-137-10522-32153(-3)(-2)++⇒1-34-1016-22808-11412112+⇒

⇒1-34-1016-2280000120⇒r(Ар)=2

r(A)=r(Ap)=2 — совместная система, r=2=4⇒>

Решаем систему методом Гаусса: преобразования расширенной матрицы системы приводят к системе уравнений вида:

x1-3×2+4×3-x4=116×2-22×3+8×4=2;∆=1-3016=16 не равно нулю.

Основными переменными являются x1 и x2. Свободные переменные неизвестны x3 и x4. Запишем систему уравнений в виде:

х1-3х2=1-4х3+х48х2=1+11х3-4х4

В обратном направлении находим:

х=118х-12х+18.

Из 1 уравнения:

х1=3х2-4х3+х4+1=338х3-32х4+38-4х3+х4+1=18х3-12х4+118

Ответ: Система неопределима.

Линейное уравнение с двумя переменными

Уравнение вида ax + by + c = 0 называется линейным уравнением с двумя переменными x и y, где a, b, c — числа.

Решением этого уравнения является любая пара чисел (x; y), которая соответствует этому уравнению и делает его истинным числовым равенством.

Следует помнить теорему: если в линейном уравнении есть хотя бы один ненулевой коэффициент переменной, график будет представлять собой прямую линию.

Вот алгоритм построения ax + by + c = 0, где a ≠ 0, b ≠ 0:

1. Присвойте переменной конкретное значение x = x₁ и найдите значение y = y₁, когда ax₁ + by + c = 0.
2. Присвойте x другое значение x = x₂ и найдите соответствующее значение y = y₂ с помощью ax₂ + at + c = 0.
3. Построить точки на координатной плоскости xy: (x₁; y₁); (х2; у2₂).
4. Проведите прямую через эти две точки и вуаля — график готов.

Система двух линейных уравнений с двумя переменными

Для ax + by + c = 0 можно брать произвольные значения x сколько угодно раз и находить значения y. В этом случае может быть бесконечное количество решений.

Система линейных уравнений (ЛУ) с двумя переменными образуется, когда х и у связаны не одним, а двумя уравнениями. Такая система может иметь одно решение или вообще не иметь решения. Это выглядит так:

Из первого линейного уравнения a₁x + b₁y + c₁ = 0 можно получить линейную функцию при условии, что b₁ ≠ 0: y = k₁x + m₁. График представляет собой прямую линию.

Из второй ЛЛ a₂x + b₂y + c₂ = 0 можно получить линейную функцию, если b₂ ≠ 0: y = k₂x + m₂. График снова будет прямой линией.

Вы можете написать систему по-другому:

Множеством решений первого ЛП является множество точек, лежащих на некоторой прямой, аналогично для второго ЛП. Если эти прямые пересекаются, система имеет единственное решение. Это возможно при условии, что k₁ ≠ k₂.

Две прямые могут быть параллельны, а это значит, что они никогда не пересекутся и система не будет иметь решений. Это возможно при следующих условиях: k1 = k₂ и m₁ ≠ m₂.

Две прямые могут совпасть, и тогда каждая точка будет решением, а система будет иметь бесконечное число решений. Это возможно при следующих условиях: k1 = k2 и m1 = m2₂.

Метод подстановки

Проанализируем решение систем уравнений методом подстановки. Вот алгоритм с переменными x и y:

1. Выразите одну переменную через другую из более простого уравнения системы.
2. Подставим полученное вместо этой переменной в другое уравнение системы.
3. Решить полученное уравнение, найти одну из переменных.
4. По очереди подставляем каждый из найденных корней в уравнение, полученное на первом шаге, и находим второе неизвестное значение.
5. Запишите ответ. Ответ обычно записывается в виде пар значений (x; y).

Пример 1

1. Решите систему уравнений:

   х — у = 4
   х + 2у = 10

2. Выразите x из первого уравнения:

   х — у = 4
   х = 4 + у

3. Подставляем полученное выражение во второе уравнение вместо x:

   х + 2у = 10
   4 + у + 2у = 10

4. Решим второе уравнение относительно переменной y:

   4 + у + 2у = 10
   4 + 3г = 10
   3г = 10 — 4
   3г = 6
   у=6:3
   у=2

5. Подставляем полученное значение в первое уравнение вместо y и решаем уравнение:

   х — у = 4
   х — 2 = 4
   х = 4 + 2
   х=6

Ответ: (6; 2).

Пример 2

1. Решите систему линейных уравнений:

   х + 5у = ​​7
   3х = 4 + 2у

2. Сначала выразим переменную x из первого уравнения:

   х + 5у = ​​7
   х = 7 — 5у

3. Подставим выражение 7 − 5y вместо переменной xi во второе уравнение:

   3х = 4 + 2у
   3 (7 − 5 лет) = 4 + 2 года

4. Решим второе линейное уравнение в системе:

   3 (7 − 5 лет) = 4 + 2 года
   21 — 15 лет = 4 + 2 года
   21 — 15 лет — 2 года = 4
   21 — 17 лет = 4
   17 лет = 21 — 4
   17 лет = 17
   у=17:17
   у=1

5. Подставляем значение yi в первое уравнение и находим значение x:

   х + 5у = ​​7
   х + 5 = 7
   х = 7 — 5
   х=2

Ответ: (2; 1).

Пример 3

1. Решите систему линейных уравнений:

   х — 2у = 3
   5х + у = 4

2. Из первого уравнения выразим x:

   х — 2у = 3
   х = 3 + 2у

3. Подставляем 3 + 2y во второе уравнение системы и решаем его:

   5х + у = 4
   5 (3 + 2у) + у = 4
   15 + 10 лет + у = 4
   15 + 11 лет = 4
   11 лет = 4 — 15
   11 лет = -11
   у = -11 : 11
   у = -1

4. Подставляем полученное значение в первое уравнение и решаем:

   х — 2у = 3
   х — 2 (-1) = 3
   х + 2 = 3
   х = 3 — 2
   х=1

Ответ: (1; −1).

Метод сложения

Теперь решим систему уравнений методом сложения. Алгоритм с переменными x и y:

1. При необходимости умножаем уравнения системы почленно, а множители подбираем так, чтобы коэффициенты при одной из переменных становились противоположными числами.
2. Складываем почленно левую и правую части уравнений системы.
3. Решаем полученное уравнение с одной переменной.
4. Найдите соответствующие значения другой переменной.
5. Введем ответ в виде пары значений (x; y).

Пример.

Умножаем первое уравнение системы на -2, оставляя второе без изменений. Система примет вид:

Складывая уравнения, получаем

Следовательно, y = -3, что означает x = 2

Ответ: (2;-3).

Система линейных уравнений с тремя переменными

Системы ЛУ с тремя переменными решаются так же, как и с двумя. Они содержат три неизвестных с коэффициентами и свободный член. Похоже на то:

• топор + by + cz = d

В этом случае может быть бесконечное количество решений. Присвоив двум переменным разные значения, можно найти третье значение. Ответ обычно записывают в виде тройки значений (x; y; z).

Если x, y, z связаны тремя уравнениями, то образуется система из трех ЛЕ с тремя переменными. Для решения такой системы можно использовать метод подстановки и метод сложения.

Решение задач

Разберем примеры решения систем уравнений.

Задание 1. Как привести уравнение к стандартному виду ах + by + c = 0?

5х — 8у = 4х — 9у + 3

Как мы решаем:

1. 5х — 8у = 4х — 9у + 3
2. 5х — 8у — 4х + 9у = 3
3. х + у = 3

Задание 2. Как решать систему уравнений способом подстановки

Как мы решаем:

1. Выразите y из первого уравнения:
   
2. Подставляем полученное выражение во второе уравнение:
   
3. Найдите соответствующие значения для:
   

Ответ: (2; −1), (−1; 2).

Задание 3. Как решать систему уравнений методом сложения

Как мы решаем:

1. решение систем линейных уравнений начинается с внимательного рассмотрения задачи. Обратите внимание, что мы можем исключить y. Для этого умножьте первое уравнение на минус два и прибавьте ко второму:
   

1. Решим полученное квадратное уравнение любым способом. Нахождение корней:
   

1. Найдите y, подставив найденное значение в уравнение:
   

1. Ответ: (1;1), (1;-1).

Задание 4. Решить систему уравнений

Как мы решаем:

Решите второе уравнение и найдите x = 2, x = 5. Подставьте значение переменной xi в первое уравнение и найдите соответствующее значение y.

Ответ: (2; 4); (5; 13).

Задание 5. Как решить систему уравнений с двумя неизвестными

Как мы решаем:

При y=-2 первое уравнение решений не имеет, при y=2 получается:

Ответ: (-4; 2); (4; 2).