Извлечение корней: определение, методы извлечения, примеры

Что такое квадратный корень

Определение арифметического квадратного корня не дает ясности, но помнить стоит:

Арифметический квадратный корень из неотрицательного числа а — это неотрицательное число, квадрат которого равен а.

Определение квадратного корня также можно представить в виде формул:

Из определения следует, что а не может быть отрицательным числом. То есть то, что находится под корнем, обязательно является положительным числом.

Чтобы понять, почему именно так и никак иначе, давайте рассмотрим пример.

Попробуем найти корень

Здесь логично предположить, что 4, но проверим: 4*4=16 — не сходится.

Если -4, то -4 * -4 = 16 (минус, умноженный на минус, всегда дает плюс).

Оказывается, ни одно число не может дать отрицательный результат при возведении в квадрат.

Числа под знаком корня должны быть положительными.

Исходя из определения, значение корня также не должно быть отрицательным.

Свойства арифметического квадратного корня

У арифметического квадратного корня есть 3 свойства — их нужно запомнить, чтобы было легче решать примеры.

• Корень произведения равен произведению корней
• извлечение корня из дроби — это извлечение корня из числителя и знаменателя
• Чтобы возвести корень в степень, поднимите значение под корнем степени

Давайте потренируемся и решим примеры для всех трех операций с корнями. Не забудьте посмотреть таблицу маршрутов. Попробуйте решить примеры самостоятельно, и посмотрите ответы для проверки.

Что такое «извлечение корня»

Во-первых, давайте введем определение «извлечение корня».

Определение 1

извлечение корня — это процесс нахождения значения корня.

Когда мы извлекаем корень n-й степени из а, мы находим число b, степень n которого равна а. Если мы нашли такое число b, мы можем сказать, что корень извлечен.

Примечание 1

Выражения «извлечь корень» и «найти значение корня» эквивалентны.

В каких случаях извлекается корень?

Определение 2

Корень n-й степени можно извлечь из числа точно в том случае, если a можно представить как n-ю степень числа b.

Пример 1

4=2×2, следовательно, из числа 4 можно точно извлечь квадратный корень, равный 2

Определение 3

Когда корень n-й степени числа a не может быть представлен как n-я степень числа b, такой корень не извлекается или извлекается только приблизительное значение корня с точностью до одного десятичного знака.

Пример 2

2≈1,4142.

Принципы нахождения значения корня и способы их извлечения

• Использование таблицы квадратов, таблицы кубов и т д
• Разложение подкоренного выражения (числа) на простые множители
• Извлечение корней из дробей
• Извлечь корень из отрицательного числа
• Кусочно найти значение корня

Необходимо понять, по каким принципам находится значение корней, и как они извлекаются.

Определение 4

Основной принцип нахождения значения корней состоит в том, чтобы полагаться на свойства корней, в том числе на равенство: bnn=b, справедливое для любого неотрицательного числа b.

Начать следует с самого простого и очевидного способа: таблицы квадратов, кубов и так далее

Когда под рукой нет таблицы, вам поможет метод разложения подкоренного числа на простые множители (метод непритязательный).

Стоит обратить внимание на извлечение корня из отрицательного числа, что возможно для корней с нечетными показателями.

Узнайте, как извлекать корни дробных чисел, включая смешанные числа, дроби и десятичные дроби.

И не спеша рассмотрим метод кусочного нахождения значения корня — самый сложный и многоэтапный.

Читайте также: Как найти высоту трапеции

Использование таблицы квадратов, кубов и так далее

Таблица квадратов включает все числа от 0 до 99 и состоит из 2-х зон: в первой зоне можно составить любое число до 99 с помощью вертикального столбца десятков и горизонтальной строки из единиц, во второй зоне находятся все квадраты числа образовались числа.

Таблица квадратов

Таблица квадратов	единицы
0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
десятки	0	0	1	4	9	16	25	36	49	64	81
1	100	121	144	169	196	225	256	289	324	361
2	400	441	484	529	576	625	676	729	784	841
3	900	961	1024	1089	1156	1225	1296	1369	1444	1521
4	1600	1681	1764 г	1849 г	1936 г	2025	2116	2209	2304	2041
5	2500	2601	2704	2809	2916	3025	3136	3249	3364	3481
6	3600	3721	3844	3969	4096	4225	4356	4489	4624	4761
7	4900	5041	5184	5329	5476	5625	5776	5929	6084	6241
8	6400	6561	6724	6889	7056	7225	7396	7569	7744	7921
9	8100	8281	8464	8649	8836	9025	9216	9409	9604	9801

Существуют также таблицы кубов, четвертых степеней и так далее, которые создаются по принципу, аналогичному таблице Менделеева.

Таблица кубов

Кубический стол		единицы
0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
десятки	0	0	1	8	27	64	125	216	343	512	729
1	1000	1 331	1728	2197	2744	3375	4096	4913	5832	6859
2	8000	9 261	10 648	12 167	13 824	15 625	17 576	19 683	21 952	24 389
3	27000	29 791	32 768	35 937	39 304	42 875	46 656	50 653	54 872	59 319
4	64000	68 921	74 088	79 507	85 184	91 125	97 336	103 823	110 592	117 649
5	125 000	132 651	140 608	148 877	157 464	166 375	175 616	185 193	195 112	205 379
6	216000	226 981	238 328	250 047	262 144	274 625	287 496	300 763	314 432	328 509
7	343 000	357 911	373 248	389 017	405 224	421 875	438 976	456 533	474 552	493 039
8	512 000	531 441	551 368	571 787	592 704	614 125	636 056	658 503	681 472	704 969
	729 000	753 571	778 688	804 357	830 584	857 375	884 736	912 673	941 192	970 299

Принцип работы таких таблиц прост, но часто их нет в наличии, что сильно усложняет процесс извлечения корня, поэтому необходимо знать как минимум несколько методов извлечения корня.

Разложение подкоренного числа на простые множители

Удобнее всего находить значение корня по таблице квадратов и кубов.

Определение 5

Метод разложения корня числа на простые множители предполагает представление числа в виде степени с необходимым показателем, позволяющим получить значение корня.

Пример 3

Возьмем квадратный корень из 144.

Разложим 144 на простые множители:

Итак: 144=2×2×2×2×3×3=(2×2)2×32=(2×2×3)2=122. Следовательно, 144=122=12.

При использовании свойств степени и корня вы также можете записать преобразование немного по-другому:

144=2×2×2×2×3×3=24×32=24×32=22×3=12

144=12 — это окончательный ответ.

Извлечение корней из дробных чисел

Помните: любое дробное число нужно записывать в виде правильной дроби.

Определение 6

По свойству корня частного справедливо следующее равенство:

pqn=pnqn. Исходя из этого сходства, необходимо использовать правило извлечения корня из дроби: корень дроби равен делению корня из числителя на корень из знаменателя.

Пример 4

Рассмотрим пример извлечения корня десятичной дроби, так как извлечь корень правильной дроби можно с помощью таблицы.

Вам нужно извлечь кубический корень из 474 552. Прежде всего представим десятичную дробь в виде правильной дроби: 474,552 = 474552/1000. Отсюда следует: 47455210003=474552310003. Затем можно переходить к процессу извлечения кубических корней в числителе и знаменателе:

474552=2×2×2×3×3×3×13×13×13=(2×3×13)3=783 и 1000=103, тогда

4745523=7833=78 и 10003=1033=10.

Завершаем вычисления: 474552310003=7810=7,8.

Извлечение корня из отрицательных чисел

Если знаменатель является нечетным числом, число под квадратным корнем может быть отрицательным. Отсюда следует: для отрицательного числа -а и нечетного показателя степени корня 2n-1 справедливо равенство:

-a2×n-1=-a2×n-1

Определение 7

Правило извлечения нечетного числа из отрицательных чисел: чтобы извлечь корень из отрицательного числа, нужно взять корень из противоположного положительного числа и поставить перед ним знак минус.

Пример 5

-122092435. Сначала преобразуйте выражение так, чтобы под квадратным корнем стояло положительное число:

-122092435=12209243-5

Затем следует заменить смешанное число на правильную дробь:

12209243-5=3125243-5

Используя правило извлечения корней обыкновенной дроби, извлекаем:

3125243-5=-312552435

Вычисляем корни в числителе и знаменателе:

-312552435=-555355=-53=-123

Резюме решения:

-122092435=12209243-5=3125243-5=-312552435=-555355=-53=-123.

Ответ: -122092435=-123.

Извлечение квадратного корня из большого числа

Вы наверняка уже познакомились и подружились с таблицей квадратов. Она твоя правая рука. С ним вы реактивно решаете примеры и, возможно, даже думаете о том, чтобы запомнить их.

Но, как видите, таблица заканчивается числом 9801. И это, согласитесь, не самое большое число, которое можно встретить в примере.

Чтобы извлечь корень из большого числа, которого нет в таблице Менделеева, нужно:

1. Определите «сотни», между которыми он стоит.
2. Определите «десятки», между которыми оно стоит.
3. Определите последнюю цифру этого числа.

Есть много способов извлечь корень из большого числа — вот один из них.

Возьмем корень .

Наша задача решить, между какими десятками находится число 2116.

102 = 100

202 = 400

302 = 900

402 = 1600

502 = 2500

Мы видим, что 2116 больше 1600, но меньше 2500.

Это означает, что число 2116 находится между 402 и 502.

41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49.

Вспомните лайфхак по расчету всего на свете, что нужно возвести в квадрат.

Ни для кого не секрет, что на последнем месте в любом числе может стоять только одна цифра от 1 до 0.

Как пользоваться таблицей

12 = 1

22 = 4

32 = 9

42 = 16 ⇒ 6

52 = 25 ⇒ 5

62 = 36 ⇒ 6

72 = 49 ⇒ 9

82 = 64 ⇒ 4

92 = 81 ⇒ 1

Мы знаем, что число 41, возведенное в квадрат, даст число, оканчивающееся на цифру 1.

Число 42 в квадрате даст число, оканчивающееся на цифру 4.

Число 43 в квадрате даст число, оканчивающееся на 9.

Такой шаблон позволяет нам «перебрать» все возможные варианты без ввода, кроме тех, которые не дают нужной нам цифры 6 в конце.

Это оставляет нам два варианта: 442 и 462.

Затем вычисляем: 44*44=1936.

46*46=2116.

Отвечать:

Если этот способ показался не совсем понятным, можно потратить еще немного времени и разложить число на множители. Если мы решим все правильно, мы получим тот же результат.

Другой пример. Извлечь корень из числа

Разложим число 11664 на множители:

11664: 4 = 2916

2916: 4 = 729

729: 3 = 243

243 : 3 = 81

11664	4
2916	4
729	3
243	3
81	81

Запишем выражение в следующем виде:

Отвечать:

извлекать квадратный корень из большого числа намного проще с помощью калькулятора. Но знать парочку таких способов «на крайний случай» точно не помешает. Например для контроля или экзамена.

Поразрядное нахождение значения корня

Бывают случаи, когда под корнем находится число, которое нельзя представить как n-ю степень определенного числа. Но необходимо знать значение корня с точностью до определенного знака.

В этом случае необходимо использовать побитовый алгоритм нахождения значения корня, с помощью которого можно получить достаточное количество значений искомого числа.

Пример 6

Как это происходит, рассмотрим на примере извлечения квадратного корня из 5.

Во-первых, вам нужно найти значение разряда единиц. Для этого начнем перебирать значения 0,1,2,…,9, при этом вычисляя 02, 12,…, 92 до нужного значения, которое больше подкоренного числа 5. Это удобно все это представить в виде таблицы:

Возможное значение корня	0	1	2	3
Это значение в градусах	0	1	4	9

Значение ряда единиц равно 2 (потому что 22<5 и 23>5). Переходим в разряд десятков — возводим в квадрат числа 2,0, 2,1, 2,2,…, 2,9, , и сравниваем полученные значения с числом 5.

Возможное значение корня	2.0	2.1	2.2	2.3
Это значение в градусах	4	4.41	4,84	5.29

Поскольку 2,22<5 и 2,32>5, значение десятых равно 2. Перейдем к нахождению значения сотых:

Возможное значение корня	2.20	2.21	2,22	2,23	2,24
Это значение в градусах	4,84	4,8841	4,8294	4,9729	5.0176

Таким образом, значение корня из пяти находится — 2,23. Узнать корневые значения можно далее:

2,236, 2,2360, 2, 23606, 2,236067,…

Вот мы и изучили несколько самых распространенных способов нахождения значения корня, которые можно использовать в любой ситуации.

Как выносить из под корня число

Часто бывает необходимо вынести из знака корня множитель (число) для выполнения всех арифметических действий, например уменьшить дробь или вынести общий множитель и далее преобразовать выражение.

Давайте рассмотрим основные арифметические правила и определения, необходимые для понимания того, как извлечь корень из числа.

Необходимые операции и определения

факторизация выражения — это преобразование этого числа в произведение нескольких факторов без изменения значения исходного выражения.

Это довольно распространенная операция, необходимая для удаления множителя ниже знака корня.

Для факторизации используются следующие методы:

• Вынесение за скобки общего множителя;
• Группировка множителей;
• Применение формул сокращенного умножения;
• Комбинация вышеперечисленных методов.

При подстановке общего множителя сначала определите множитель, который можно вынести, затем разделите все выражение на этот множитель и результат частного запишите рядом с множителем в виде произведения, например:

$6x^2 – 8xy +4x = 2x cdot 3x — 2x cdot 4y + 2x cdot 2 = 2x cdot (3x — 4y + 2)$.

Для извлечения множителя также используются формулы сокращенного умножения, например:

$(х + у)^2 = х^2 +2ху + у^2$.

Оба метода, показанные выше, можно комбинировать.

Правила вынесения множителя из под знака корня

Определение 2

удаление множителя из знака корня в $n$-ю степень представляет собой упрощение выражения путем записи множителя, входящего в состав корня, перед знаком корня. Например, $sqrt6{192} = sqrt6{64 cdot 3} = 2 sqrt6{3}$.

Для выведения множителей из-под знака корня необходимо показатель выносимого множителя разделить на показатель корня и поставить этот множитель перед корнем с показателем степени, который получится в результате этого деления:

$ sqrt [n] {x ^ my} = y ^ { frac {m} {n}} cdot sqrt [n] {x}$

В частном случае, если приходится иметь дело с квадратным корнем, степень выносимого множителя надо делить на два, а сам множитель писать перед знаком корня:

$sqrt{x^my} = y^{frac{m}{2}} cdot sqrt{x}$

Если вам приходится иметь дело с факторизованной дробью, вы можете извлечь корень из числителя и знаменателя отдельно, например:

$ sqrt [3] { frac {64x} {343}} = frac { sqrt [3] {64x}} { sqrt [3] {343}} = frac {4} {7} sqrt [3]{х}$

Общий порядок извлечения множителя из-под корня следующий:

1. Во-первых, радикальное значение факторизуется непосредственно под знаком корня, а показатели степени отделяются от этих множителей.
2. Затем показатель степени множителя делится на показатель степени корня, а сам вынесенный множитель записывается слева от корня.

Пример 1

Извлеките множитель под квадратным корнем в следующем выражении:

$sqrt{72x}; sqrt[7]{128x^{14}y^3}; sqrt{(a+b)^2 7x^3};sqrt{frac{x}{750}}$.

1. $sqrt{72x} = sqrt{36 cdot 2x}= sqrt{36} sqrt{2x} = 6sqrt{2x}$.
2. $sqrt[7]{128x^{14}y^3} = sqrt[7]{128} sqrt[7]{x^{14}}sqrt[7]{y^3}=2x кврт[7]{у^3}$.
3. $sqrt{(a+b)^2 7x^3}= sqrt{(a+b)^2} sqrt{7}sqrt{x cdot x^2} = x (a+b) кв{7x}$.
4. $ sqrt { frac {x} {750}} = sqrt { frac {1} {25 cdot 10 cdot3}} sqrt {x} = frac {1} {5} sqrt {30x}$.