Извлечение корня из комплексного числа

Числа. Извлечение корней из комплексных чисел. Квадратное уравнение с комплексными корнями.

Давайте посмотрим на этот пример:

Если мы говорим о действительных числах, то вы знаете, что корень из отрицательного числа извлечь нельзя. Но в комплексных числах это возможно. Точнее, 2 корня:

Проверим, что эти корни и права являются решением уравнения:

КЭД

Часто используют сокращенную запись, корни пишут на одной строке в таком виде:
.

Такие корни являются сопряженными комплексными корнями.

Теперь вы знаете, как извлечь квадратный корень из отрицательного числа. Вот еще несколько примеров:

В каждом случае мы получаем 2 сопряженных комплексных корня.

Давайте решим квадратное уравнение .

Первым шагом является определение дискриминанта уравнения:

В нашем случае дискриминант оказался отрицательным, а в случае действительных чисел уравнение решений не имеет, но у нас есть вариант с комплексными числами, поэтому можно продолжить решение:

Как известно из формул дискриминанта, мы образуем 2 корня:
являются сопряженными комплексными корнями

Итак, уравнение
есть 2 сопряженных сложных корня:

Теперь вы можете решить любое квадратное уравнение!

Для любого уравнения с полиномом n-й степени
имеется ровно n корней, некоторые из которых могут быть комплексными.

Читайте также: Почему месяцы так называются?

1. Определение комплексного корня

Определение. $n$-й корень комплексного числа $z$, где $ni mathbb{N}$, $n gt 1$, — это такое комплексное число $omega $, что

{{омега}^{п}}=г

в. $n$-я степень $omega$ равна $z$.

Таких корней множества комплексных чисел всегда будет ровно $n$. Все они обозначаются обычным корневым знаком:

omega=sqrtn{z[}]

Пример. Вычислите $sqrt[3]{-1}$ на множестве комплексных чисел.

Ясно, что единица, к которой мы привыкли, представляет собой такой беспорядок, потому что ${{left(-1 right)}^{3}}=-1$. Но есть еще два корня:

[ begin {align} {{ left ( frac {1} {2} + i cdot frac { sqrt {3}} {2} right)} ^ {3}} & = {{ влево(1cdotleft(cosfrac{pi}{3}+icdotsinfrac{pi}{3}right)right)}^{3}}= & = 1 cdot left ( cos pi + i sin pi right) = — 1 {{ left ( frac {1} {2} -i cdot frac { sqrt {3} {2} right)}^{3}} &={{left(1cdot left(cosleft(-frac{pi}}{3} right)+icdot sin left(-frac{pi }{3} right) right) right)}^{3}}= & =1cdot left(cos left(-pi right) +isinleft(-piright) right)=-1 end{align}]

Всего три корня. Как и ожидалось.

Теорема. Для любого комплексного числа $zne 0$ существует ровно $n$ комплексных чисел, каждое из которых является $n$-м корнем из $z.$

Все эти корни вычисляются по следующей формуле.

2. Формула корней

Теорема. Запишем комплексное число в тригонометрической форме:

[г=влево| z right|cdot left(cos varphi +isin varphi right)]

Тогда все корни степени $n$ из этого числа можно найти по формуле:

[beg]in{align} sqrtn{z} & =sqrtn{left| z right|}cdot left(cos frac{varphi +2pi k}{n}+isin frac{varphi +2pi k}{n} right) k & in left{ 0,1,2,…,n-1 right} end{align}

Фактически эта теорема является обратной формуле де Муавра:

[{{z}^{n}}={{left| z right|}^{n}}cdot left(cos nvarphi +isin n varphi right)]

Почему степень всегда одна, а корней несколько — об этом в конце урока. Теперь самое главное для нас — это алгоритм извлечения корня комплексного числа. Он состоит из четырех шагов:

1. Преобразование комплексных чисел в тригонометрическую форму;
2. Запишите общую формулу корня степени $n$;
3. Подставляем в эту формулу $k=0$, затем $k=1$ и так далее до $k=n-1$.
4. Получаем $n$ комплексных корней. Вместе они будут ответом.

Ответом всегда будет набор из $n$ чисел. Потому что невозможно однозначно извлечь корень из комплексного числа $zne 0$.

Пример. Вычислите $sqrt[3]{-8i}$.

Представим число $-8i$ в тригонометрической форме:

[begin{align} -8i &=0+left(-8 right)cdot i= & =8cdot left(0+left(-1 right)cdot i right)= & =8cdot left(cosleft(-frac{pi}{2}right)+isinleft(-frac{pi}{2}right) справа) конец{выравнивание}]

Запишем формулу корня в общем виде:

[b]egin{align} sqrt[3]{-8i} & =sqrt[3]{8cdot left(cos left(-frac{pi}{2} right)+i sin left (- frac { pi} {2} right) right)} = & = sqrt [3] {8} cdot left ( cos frac {- frac { пи {2}+2pi k}{3}+isin frac{-frac{pi}{2}+2pi k}{3} right)= & =2 cdot left(cosleft(-frac{pi}{6}+frac{2pi k}{3} right)+isinleft(-frac{pi}{6 }+frac{2pi k}{3} right) right) end{align}

Замените $k=0$:

sqrt[3]{-8i}=2cdotleft(cosleft(-frac{pi}{6}right)+isinleft(-frac{pi} {6} right) right)=sqrt{3}-i

Замените $k=1$:

sqrt[3]{-8i}=2cdotleft(cosfrac{pi}{2}+isinfrac{pi}{2}right)=2i[]

И, наконец, $k=2$:

sqrt[3]{-8i}=2cdot left(cos frac{7pi }{6}+isin frac{7pi }{6} right)=- кврт{3}-i[]

Ответ должен содержать все три числа: $2i$; $sqrt{3}-i$; $-sqrt{3}-i$.

Еще раз: подставляя разные $k$, мы получим разные корни. Таких корней будет ровно $n$. А если мы вынесем $k$ за пределы диапазона $left{ 0,1,…,n-1 right}$, то корни начнут повторяться, и ничего нового мы не получим.

3. Геометрическая интерпретация

Если отметить на комплексной плоскости все значения корня $n$-й степени комплексного числа $zne 0$, то все они лягут на окружность с центром в начале координат и радиусом $R = sqrtn{ слева | гвправо|}$. Более того, эти точки образуют правильный $n$-угольник.

Отметьте на комплексной плоскости все числа вида $sqrt[3]{i}$.

Представим число $z=i$ в тригонометрической форме:

[begin{align} z & =1cdot left(0+icdot 1 right)= & =1cdot left(cos frac{pi} {2}+i sin frac{pi }{2} right) end{align}]

Формула сложных корней:

sqrt[3]{z}=1cdotleft(cosleft(frac{pi}{6}+frac{2pi k}{3}right)+isin left(frac{pi} {6}+frac{2pi k}{3} right) righ[t)]

Это три точки ${{z}_{1}}$, ${{z}_{2}}$ и ${{z}_{3}}$ на окружности радиусом $R=1$:

У нас есть правильный треугольник. Его первая вершина лежит на пересечении окружности радиуса 1 и исходного луча, образованного поворотом оси $OX$ на угол ${pi }/{6};$.

Рассмотрим более сложный пример:

Отметьте на комплексной плоскости все числа вида $sqrt[4]{1+i}$.

Сразу запишем формулу корней с выбором первого луча:

[ sqr]t[4]{z}=sqrt[8]{2}cdot left(cos left(frac{pi }{16}+frac{pi k}{2} вправо)+isinleft(frac{pi}}{16}+frac{pi k}{2}right)ri[ght)]

Отметим эти точки на комплексной плоскости. Радиус окружности $R=sqrt[8]{2}$, начальный радиус ${pi }/{16};$:

И опять все понятно: четыре точки — правильный квадрат, т.е квадрат. При начальном прогибе балки ${pi }/{16};$.

Ну и еще пример — опять без промежуточных купюр. Просто постановка задачи, формула корней и окончательный рисунок:

Отметьте на комплексной плоскости все числа вида $sqrt[6]{-64}$.

Формула корней с выбором первого луча:

<p[>[sqrt[6]{z}=2cdotleft(cosleft(frac{pi}{6}+frac{pi k}{3}right)+isin влево ( frac { pi} {6} + frac { pi k} {3} right) rig[ht)]

</p[>

Получился правильный шестиугольник со стороной 2 и начальным радиусом ${pi }/{6};$.

Таким образом, мы получаем «графический» алгоритм извлечения $n$-го корня комплексного числа $zne 0$:

1. Преобразование чисел в тригонометрическую форму;
2. Найдите корневой модуль: $sqrtn{left| z right|}$ — это будет радиус окружности;
3. Построить исходный пучок с отклонением $varphi ={arg left(z right)}/{n};$;
4. Построить все остальные лучи с шагом ${2pi }/{n};$;
5. Получаем точки пересечения лучей с окружностью — это и есть искомые корни.

Такой алгоритм прекрасно работает, когда в качестве аргумента начального числа и отклонения начального луча $varphi$ используются стандартные «столовые» углы, такие как ${pi }/{6};$. На практике чаще всего так и бывает. Так что пользуйтесь.:)

4. Почему корней всегда ровно n

С геометрической точки зрения все очевидно: если последовательно зачеркнуть вершины правильного $n$-угольника, ровно через $n$ шагов будут зачеркнуты все вершины. А для дальнейшего пересечения необходимо выбрать вершину среди уже пройденных.

Однако рассмотрим проблему с точки зрения алгебры. Еще раз запишем формулу корня $n$-й степени:

[b]egin{align} sqrtn{z} & =sqrtn{left| z right|}cdot left(cos frac{varphi +2pi k}{n}+isin frac{varphi +2pi k}{n} right) k & in left{ 0;1;2;…;n-1 right} [end{align}]

Подставляем последовательно указанные значения параметра $k$ в эту формулу$:

[] begin{align} {{omega}_{0}} & =sqrtn{left| z right|}cdot left(cosfrac{varphi}{n}+isinfrac{varphi}{n}right) {{omega}_{1}} & =sqrtn{left| z right|}cdot left(cos frac{varphi +2pi }{n}+isin frac{varphi +2pi}{n} right) & .. {{omega}_{n-1}} & =sqrtn{left| z right|}cdot left(cosfrac{varphi+2picdotleft(n-1right)}{n}+isinfrac{varphi+2pi cdot left(n-1 right)}{n} right) end{alig[n}]

очевидно, последняя строка была получена при $k=n-1$. Теперь заменим $k=n$:

[] begin{align} {{omega}_{n}} & =sqrtn{left| z right|}cdot left(cos frac{varphi +2pi n}{n}+isin frac{varphi +2pi n}{n} right)= &=sqrtn{left| z right|}cdot left(cosleft(frac{varphi}{n}+2piright)+isinleft(frac{varphi}{n}+2 пи справа) справа)= & =sqrtn{left| z right|}cdot left(cosfrac{varphi}{n}+isinfrac{varphi}{n}right)={{omega}_{0}} конец{выравнивание}[]

Так как синус и косинус являются периодическими функциями с периодом $2pi$, то ${{omega}_{n}}={{omega}_{0}}$ и тогда корни будут повторяться. Как мы говорили в самом начале урока.

Как извлечь корень из произвольного комплексного числа?

Рассмотрим уравнение zn = w или запишем в другой форме:

. Здесь n может принимать любое натуральное значение больше 1.

Специально для n = 2 мы получаем квадратный корень

.

Для типа уравнения

имеется ровно n корней z0,z1,z2, …zn-1, которые можно вычислить по формуле:
,

где
— модуль комплексного числа w,

φ — аргумент,

а параметр k принимает значения:

.

Найдем корни уравнения:

Перепишем уравнение так:

В этом примере
,
, поэтому уравнение будет иметь 2 корня: z0 и z1. Опишем общую формулу:

Затем найдите модуль и аргумент комплексного числа

Число w находится в 1 четверти, поэтому:

Помните, что при определении тригонометрической формы комплексного числа лучше сделать чертеж.

Опишем общую формулу немного подробнее:
.ах не надо так красить. Здесь мы это сделали, чтобы было понятно, где она образовалась.

Подставляем в формулу значение k= 0 и получаем первый корень
.

Подставляем в формулу значение k= 1 и получаем второй корень:
.

Отвечать:,

При необходимости полученные нами корни можно перевести обратно в алгебраическую форму.

Часто вычисляемые корни необходимо представлять геометрически:

Как сделать рисунок?

Для начала на калькуляторе вычисляем чему равен модуль корня
и нарисуйте круг с этим радиусом с помощью циркуля. Все корни будут размещены на этом круге.

Далее берем аргумент первого корня
и вычислить угол в градусах:
.

Транспортиром отмеряем 45° и ставим точку z0 на чертеже.

Приводим аргумент ко второму корню
и также преобразовать его в градусы:
. Транспортиром отмеряем 165° и ставим точку z1 на чертеже.

По тому же алгоритму устанавливаем точку z2.

Видно, что корни расположены геометрически правильно с интервалом
между радиус-векторами. Чертеж нужно делать транспортиром.

Квадратный корень

Как известно, извлечь корень из отрицательного действительного числа невозможно. Но в случае комплексных чисел эту операцию можно выполнить. Давай выясним.

Допустим, у нас есть число z = -9. Есть два корня √-9:

z1 = √-9 = -3i
z1 = √-9 = 3i

Проверим результаты, полученные при решении уравнения z2 = -9, не забывая при этом, что i2 = -1:

(-3i)2 = (-3)2 ⋅ i2 = 9 ⋅ (-1) = -9
(3i)2 = 32 ⋅ i2 = 9 ⋅ (-1) = -9

Таким образом, мы доказали, что комплексно-сопряженные числа -3i и 3i являются корнями √-9.

Корень отрицательного числа обычно записывают так:
√-1 = ± я
√-4 = ±2i
√-9 = ±3i
√-16 = ±4i и так далее

Корень в степени n

Предположим, мы получили уравнения вида z = n√w. Он имеет n корней (z0, z1, z2,…, zn-1), которые можно рассчитать по следующей формуле:

|ш| – модуль комплексного числа w;
ф — аргумент;
k — параметр, принимающий значения: k = {0, 1, 2,…, n-1}.

Квадратные уравнения с комплексными корнями

извлечение корня из отрицательного числа меняет привычное представление о решении квадратных уравнений. Если дискриминант (D) меньше нуля, действительных корней быть не может, но их можно представить в виде комплексных чисел.

Пример
Решим уравнение х2 — 8х + 20 = 0.

Решение
а=1, б=-8, с=20
Д = b2 — 4ас = 64 — 80 = -16

D < 0, но мы все еще можем взять корень отрицательного дискриминанта:
√D = √-16 = ±4i

Теперь мы можем вычислить корни:
x1,2 = (-b ± √D)/2a = (8 ± 4i)/2 = 4 ± 2i.

Следовательно, уравнение x2 – 8x + 20 = 0 имеет два комплексно-сопряженных корня:
х1 = 4 + 2i
х2 = 4 – 2i