Как найти длину (модуль) вектора: формула, пример задачи

Что такое векторы и какими они бывают

Как обычно, начнем с самого главного: определения.

Вектор — это направленный отрезок прямой, т е отрезок, на котором указано, какая из граничных точек является началом, а какие — концом.

Вектор, например, обозначается знаком → . Как вы заметили, вектор может быть выражен одной латинской буквой, а может быть комбинацией двух букв, которые мы будем называть начальной и конечной точками вектора.

Нулевой вектор — это вектор, начало которого совпадает с концом. Обозначается следующим образом: .

Как вы уже знаете, векторы бывают коллинеарными и неколлинеарными, сонаправленными и противоположно направленными. Теперь давайте подумаем, что объединяет все виды векторов без исключения. Правильно, длина есть у всех! О том, что это такое, мы поговорим далее.

Читайте также: Длина дуги калькулятор и формулы

Определение длины вектора

Длина (или модуль) вектора AB — неотрицательное число, равное расстоянию между началом и концом. Другими словами, это длина соответствующего отрезка АВ.

Для рассматриваемого вектора длина обозначается как |AB|, т.е к сторонам добавляются вертикальные линии.

Примечания:

• Длина нулевого вектора 0 соответственно равна нулю.
• Длина единичного вектора e равна единице.

Длина вектора — основные формулы

Длину вектора a→ будем обозначать через a→. Это обозначение похоже на модуль числа, поэтому длину вектора также называют модулем вектора.

Чтобы найти длину вектора на плоскости по его координатам, необходимо рассмотреть прямоугольную декартову систему координат Oxy. Пусть в нем задан любой вектор a→ с координатами ax. Введем формулу для нахождения длины (модуля) вектора a→ через координаты ax и ay.

Отложите вектор OA→=a→ от начала координат. Определим соответствующие проекции точки A на координатные оси как Ax и Ay. Теперь рассмотрим прямоугольник OAxAAy с диагональю OA.

Из теоремы Пифагора следует равенство OA2=OAx2+OAy2, откуда OA=OAx2+OAy2. Из уже известного определения координат вектора в прямоугольной декартовой системе координат получаем, что OAx2=ax2 и OAy2=ay2, и по построению длина OA равна длине вектора OA→, а это означает, что ОА→=ОАх2+ОАу2.

Поэтому получается, что формула для нахождения длины вектора a→=ax;ay имеет соответствующий вид: a→=ax2+ay2.

Если вектор a→ задан как продолжение в векторах координат a→=ось i→+ay j→, то его длину можно вычислить по той же формуле a→=ax2+ay2, в этом случае действуют коэффициенты ax и ay как координаты к вектору a→ в заданной системе координат.

Пример 1

Вычислите длину вектора a→=7;e, заданного в прямоугольной системе координат.

Решение

Чтобы найти длину вектора, мы используем формулу для нахождения длины вектора, используя координаты a→=ax2+ay2: a→=72+e2=49+e

Ответ: а→=49+е.

Формула для нахождения длины вектора a→=ax;ay;az в его координатах в декартовой системе координат Oxyz в пространстве выводится так же, как и формула для случая на плоскости (см рисунок ниже)

В этом случае OA2=OAx2+OAy2+OAz2 (поскольку OA — диагональ прямоугольного параллелепипеда), следовательно, OA=OAx2+OAy2+OAz2. Из определения координат вектора можно записать следующие равенства OAx=ax; ОАу = да; ОАз=аз; , а длина OA равна длине искомого вектора, поэтому OA→=OAx2+OAy2+OAz2.

Отсюда следует, что длина вектора a→=ax;ay;az равна a→=ax2+ay2+az2.

Пример 2

Вычислить длину вектора a→=4·i→-3·j→+5·k→, где i→,j→,k→ — орты прямоугольной системы координат.

Решение

Расширение вектора a→=4·i→-3·j→+5·k→ задано, его координаты равны a→=4,-3,5. Используя приведенную выше формулу, мы получаем a→=ax2+ay2+az2=42+(-3)2+52=52.

Ответ: а→=52.

Нахождение длины вектора

Допустим, у нас есть вектор a, который задан своими координатами:

а = (ах; е; е).

В этом случае длина вектора вычисляется по формуле:

Таким образом, длина вектора, заданного определенными координатами, равна квадратному корню из суммы квадратов этих координат.

Как можно найти длину вектора по его координатам

Используя прямоугольную систему координат, проведите вектор AB (x, y) из точки (0; 0). Тогда его можно рассматривать как радиус-вектор для векторов AB1 и AA1.

Обозначим длину вектора |AB1| = y, длина вектора |AA1| = х. Треугольники AA1B и AB1B прямоугольные, где AB — гипотенуза. Теперь вспомним, как найти длину гипотенузы, и знаем длину катетов. Правильно, по теореме Пифагора! Создадим выражение для AB:

Это означает, что для нахождения длины вектора нужно извлечь квадратный корень из суммы квадратов его координат. В общем виде эта формула длины вектора записывается так — длина вектора :

Если рассматривать векторы в трехмерном пространстве, то формулу для нахождения длины вектора можно вычислить следующим образом:

Как найти длину вектора по двум точкам

Давайте подумаем, как решить проблемы, если мы не получим координаты вектора. Для этого нужно понять, как найти длину вектора с двумя точками — координатами начала и конца. Помните: координаты вектора с точкой A (x_a; y_a) и B (x_b; y_b) можно вычислить следующим образом: (x_b — x_a; y_b — y_a). Итак, мы определим длину вектора, если подставим эти выражения в формулу для его нахождения:

Как найти длину вектора по теореме косинусов

Пришло время узнать, как длина вектора связана с законом косинусов. К сожалению, не все задачи дают нужное количество информации для определения длины вектора — здесь нам поможет теорема. Давайте вспомним ее!

Квадрат одной стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

Итак, чтобы определить длину одной стороны треугольника, нужно сложить квадраты двух других сторон, вычесть удвоенное произведение длин сторон на косинус угла между ними и извлечь корень из полученного Число. Таким образом, мы получаем формулу для нахождения длины вектора по теореме косинусов.

Предположим, нам нужно знать длину вектора или . Итак, чтобы использовать теорему косинусов, нам нужно найти длины векторов и и угол между ними.

Пример №5

Длины векторов и равны 5 и 12 соответственно, а угол между ними равен π/3. Вычислите длину вектора .

Решение:

Отвечать:

Сегодня мы обсудили с вами все основные моменты, связанные с длиной вектора: изучили теорию и дополнили ее базовыми задачами. Осталось только выучить весь материал и попрактиковаться! В этом вам помогут профильные курсы математики в Skysmart School. Уникальная платформа, профессиональные преподаватели, индивидуальная программа — уроки просто созданы для того, чтобы стать увереннее в математике. Ждем вас на занятиях и до скорой встречи!

Пример задач

Дан вектор a = (2; -5; 6). Найдем длину.

Решение

Все, что нам нужно сделать, это использовать приведенную выше формулу и подставить известные значения.

Примеры вычисления длины вектора для плоских задачи

Пример 1. Найти длину вектора a = {2; 4}.

Решение: |а| = √22 + 42 = √4 + 16 = √20 = 2√5.

Пример 2. Найти длину вектора a = {3; -4}.

Решение: |а| = √32 + (-4)2 = √9 + 16 = √25 = 5.

Примеры вычисления длины вектора для пространственных задачи

Пример 3. Найти длину вектора a = {2; 4; 4}.

Решение: |а| = √22 + 42 + 42 = √4 + 16 + 16 = √36 = 6.

Пример 4. Найти длину вектора a = {-1; 0; -3}.

Решение: |а| = √(-1)2 + 02 + (-3)2 = √1 + 0 + 9 = √10.

Примеры вычисления длины вектора для пространств с размерностью большей 3

Пример 5. Найти длину вектора a = {1; -3; 3; -1}.

Решение: |а| = √12 + (-3)2 + 32 + (-1)2 = √1 + 9 + 9 + 1 = √20 = 2√5

Пример 6. Найти длину вектора a = {2; 4; 4; 6; 2}.

Решение: |а| = √22 + 42 + 42 + 62 + 22 = √4 + 16 + 16 + 36 + 4 = √76 = 2√19.

Применение векторов в других сферах

Понятие и вычисление вектора важно не только в математике, но и в других науках:

• в физике. Для визуального представления таких понятий, как скорость, сила, ускорение и т д. Векторы также помогают моделировать физические процессы;
• в химии. Для изображения химического процессора. С помощью векторов изобразите движение электронов и других частиц;
• в биологии. Биологические процессы также имеют графическое представление с помощью векторов. Например, передача паразитов;
• география. Вектор указывает движение воздушных масс или течение реки;

Векторы используются не только в науке, но и в различных отраслях промышленности и профессиях. В рамках судоходства и аэрофлота, архитектуры и машиностроения, а также многих других направлений. Чтобы найти длину вектора, мы можем использовать одну из формул, в зависимости от того, что мы знаем о нем и в каком пространстве или плоскости находится неизвестный вектор.